Семестр_4_Лекции_07_08 (Отличные лекции от Семиколенова)

Семестр 4. Лекции 7-8.Лекции 7 - 8. Представление физических величин операторами.Операторы координаты, импульса, момента импульса, потенциальной и кинетическойэнергии. Гамильтониан квантовой системы как оператор полной энергии. Основные постулаты квантовой механики.

Вероятностный характер результатов измерений в квантовой механике. Вычисление средних значений физических величин в квантовых системах.Как уже было сказано процесс измерения любого параметра, характеризующего состояние системы, изменяет это состояние. Следовательно, меняется и волновая функция. Поэтомулюбому измерению какой-либо физической величины А в квантовой механике соответствуетоператор, обозначаемый как Â , переводящий волновую функцию состояния до измерения Ψ вɶ . Принцип суперпозиции соɶ , т.е.

 ( Ψ ) = Ψволновую функцию состояния после измерения Ψˆ (c Ψ + c Ψ ) = c Aˆˆстояний требует, чтобы этот оператор был линейным A1 1221 Ψ1 + c2 AΨ 2 .В квантовой механике любое значение измеряемой физической величины должно являться собственным значением оператора данной физической величины, т.е.

если при измерении получается значение А, то существует такая волновая функция Ψ′, что выполняется соотношение Â ( Ψ ′ ) = A ⋅ Ψ′ . Эта функция называется собственной функцией данного оператора.Так как измеряемые величины должны быть вещественными, то и все собственные значенияданного оператора, соответствующего этой физической величине, должны быть вещественными. Это означает, что оператор должен быть эрмитовым (или комплексно самосопряжённым.)Это следует понимать следующим образом.

Паре любых комплексно-значных функций uи v, заданных в одной области V можно сопоставить скалярное произведение по следующемуправилу ( u,v ) = ∫ v* ⋅ u ⋅ dV (при условии, что данный интеграл существует).VАксиомы скалярного произведения выполняются( u,u ) = ∫ u* ⋅ u ⋅ dV = ∫ uV2⋅ dV ≥ 0 . Если ( u,u ) = ∫ u ⋅ dV = 0 , то u ≡ 0 .2VVВ комплексном случае условие симметричности скалярного произведения принимает вид( u,v ) = ∫ v* ⋅ u ⋅ dV = ∫ ( u* ⋅ v )*V⋅ dV = ( v,u ) .*VДля любого числа λ справедливо ( λu,v ) = λ ( u,v ) и ( u,λv ) = λ* ( u,v ) .Линейность по аргументам очевидна.Оператор B̂ называется сопряжённым к оператору Â (относительно скалярного произˆ ( u ) ,v = u,Bˆ ( v ) . Сопряведения) если для любых функций u и v выполняется равенство A() ()ˆ * .

Оператор называется самосопряжённым (или эрмитоженный оператор обозначается B̂ = Aˆ =Aˆ*.вым) если он совпадает со своим сопряжённым A1. Все собственные числа самосопряжённого оператора являются вещественными.Пусть u – собственная функция самосопряжённого оператора Â . Тогда существует ненулевоечисло A, такое, что выполняется равенство Â ( u ) = A ⋅ u . Поэтому Â ( u ) ,u = A ⋅ ( u,u ) . Но()( Aˆ ( u ) ,u ) = ( u, Aˆ ( u ) ) = ( u, Aˆ ( u ) ) = ( u, A ⋅ u ) = A ⋅ ( u,u ) .

Следовательно, A = A***- собственное зна-чение является вещественным.2. Собственные функции самосопряжённого оператора, отвечающие разным собственным значениям взаимно ортогональны ( u,v ) = 0 .()Пусть Â ( u ) = A1 ⋅ u и Â ( v ) = A2 ⋅ v . Тогда Â ( u ) ,v = A1 ⋅ ( u,v ) и( Aˆ ( u ) ,v ) = ( u, Aˆ ( v ) ) = ( u, Aˆ ( v ) ) = ( u, A ⋅ v ) = A*2*2⋅ ( u,v ) = A2 ⋅ ( u,v )1Семестр 4. Лекции 7-8.Но т.к. A1 ≠ A2 , то равенство A1 ⋅ ( u,v ) = A2 ⋅ ( u,v ) выполняется при ( u,v ) = 0 .Все собственные значения данного оператора образуют множество, которое называетсяспектр оператора.

Если это множество является отрезком прямой (т.е. образуют континуум), тоговорят, что у оператора непрерывный спектр. Если собственные значения образуют дискретное множество, то говорят о дискретном спектре оператора.При измерениях конкретные значения физической величины получаются с некоторойвероятностью. Поэтому можно определить среднее значение физической величины, получаемоепри измерениях в данном состоянии.Для оператора с дискретным спектром среднее значение соответствующей физическойвеличины определяется соотношением A = ∑ pn An , где pn = p ( An ) - вероятность полученияnзначения An .В большинстве случаев собственные функции самосопряжённого оператора образуютполную систему функций.

Это значит, что любую функцию можно представить в виде суммыΨ = ∑ cn Ψ n , где Ψ n - все собственные функции, образующие полную систему. (Предполагаетnся, что этот ряд сходится равномерно.) Для поиска коэффициентов разложения следует использовать свойство ортогональности функций. Умножим левую и правую части на Ψ n( Ψ , Ψ n ) = cn ( Ψ n , Ψ n ) , cn =( Ψ ,Ψ n ) .( Ψ n ,Ψ n )Пусть полная система функций ортонормированна, т.е.( Ψ n , Ψ m ) = 1 при n = m и ( Ψ n , Ψ m ) = 0 при n ≠ m .Это условие записывают в виде ( Ψ n , Ψ m ) = δnm , где символ Кронекера определяют как функцию от двух натуральных чисел1, n = mδ ( n,m ) = δnm = .0 , n ≠ mПри выполнении этих условий получаем, что cn = ( Ψ , Ψ n ) .Будем предполагать, что для функции Ψ выполняется условие нормировки2dV = 1 ,Vкоторое можно переписать в виде ( Ψ , Ψ ) = 1 .

Тогда∫Ψ( Ψ , Ψ ) =  ∑ cn Ψ n , ∑ cm Ψ m  = ∑ cn ( cm ) ( Ψ n , Ψ m ) = ∑ cn= 1.mn n mЕсли функцию, нормированную на единицу, разложить в ряд по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора физической величины, токвадраты модулей коэффициентов разложения дадут вероятности получения собственныхзначений, соответствующих данным собственным функциям. Т.е. если ( Ψ , Ψ ) = 1 и( Ψ n , Ψ m ) = δnm , то*2pn = p ( An ) = cn , где cn = ( Ψ , Ψ n ) при выполнении Â ( Ψ n ) = An ⋅ Ψ n . В этомслучае среднее значение можно определить равенством2*ˆ ( Ψ ) ,Ψ .A = ∑ pn An = ∑ cn An = ∑ cn ( cm ) ( Ψ n , Ψ m ) An =  ∑ An cn Ψ n , ∑ cm Ψ m  = Annmm nЕсли оператор имеет непрерывный спектр, то среднее значение соответствующей физической величины определяется аналогично2(()ˆ ( Ψ ) , Ψ = Ψ* AA = A∫ ˆ ( Ψ ) dV .V2)Семестр 4. Лекции 7-8.Следовательно, если функция Ψ, описывающая состояние системы является собственной дляɶ = A⋅ Ψ ,данного оператора Â , то при измерении мы получаем пропорциональную функцию Ψɶ 2 dV = A ⋅ Ψ 2 dV = A2 .

Т.е. можно счикоторая «теряет условие нормировки на единицу» Ψ∫∫VVтать, что состояние системы не меняется. Очевидно, что вероятность получения результата Апри измерениях в этой ситуации равна 1. И среднее значение совпадает с результатом <A>=A.Если в каком-то состоянии, определяемом функцией Ψ надо измерить одновременно двефизические величины А и В, то согласно общим правилам измерений надо подействовать соответствующими операторами Â и B̂ на пси-функцию данного состояния.

Если эта функция является собственной одновременно для обоих операторов, то состояние системы не изменится ивероятность получения обоих результатов равна единице. Говорят, что в этом случае две величины одновременно могут быть измерены с сколь угодно точностью. В этом случае результаˆ Bˆ ( Ψ ) = Bˆ (Ψ) .ˆ Aты измерений не зависят от порядка их проведения, т.к.

A()()В общем случае каждое измерение меняет состояние системы, поэтому результаты будутˆ Bˆ ( Ψ ) ≠ Bˆ Aˆ (Ψ) .зависеть от порядка измерений A()()ˆ ˆ  , определяемый соКоммутатором двух операторов  и B̂ называется оператор  A,Bˆ ˆ  (Ψ) = Aˆ Bˆ ( Ψ ) − Bˆ Aˆ (Ψ) .отношением  A,BСмысл этого определения можно уяснить, если переписать определение в другом видеˆ Bˆ ( Ψ ) = Bˆ Aˆ ( Ψ ) +  A,Bˆ ˆ  (Ψ) .A) ((())()Т.е. коммутатор – это добавочный оператор, позволяющий переставлять порядок операторов.Если для двух операторов  и B̂ их коммутатор является нулевым операторомˆ ˆ  = ˆ0 , то говорят, что эти операторы  и B̂ перестановочны или коммутируют друг с A,Bдругом.Оказывается, что если для операторов двух величин  и B̂ выполняется соотношениеˆˆ A,B  = i ⋅ Kˆ , где K̂ - оператор некоторой величины, то для неопределённостей этих величин<K>.2Как известно, две физические величины могут быть одновременно измерены со скольугодно точностью только в случае, если они канонически не сопряжены ∆A ⋅ ∆B = 0 .

Поэтомудля них должно быть < K > = 0 , т.е. K̂ = 0̂ (нулевой оператор). Это значит, что две величиныодновременно могут быть измерены с сколь угодно точностью, если их операторы коммутируют, т.е. их коммутатор является нулевым оператором.можно написать соотношение ∆A ⋅ ∆B ≥Операторы квантовой механики.1. Операторы координаты определяются действием на функцииx̂ ( Ψ ) = x ⋅ Ψ , ŷ ( Ψ ) = y ⋅ Ψ , ẑ ( Ψ ) = z ⋅ Ψ .Все три оператора перестановочны между собой.