МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов, страница 9

Если b = 0, то f (0) = 0. В любом случае существует такоеα ∈ [0, π2 ), что f (α) = (ϕ(uα ), ϕ(vα )) = 0. Таким образом, ϕ(uα ) ⊥ ϕ(vα ).Вернемся к доказательству Теоремы. Пусть {e1 , e2 } — ортонормированный базис в V такой, чтоϕ(e1 )⊥ϕ(e2 ). Определим ортонормированный базисe01 :=ϕ(e2 )ϕ(e1 ), e02 :=.|ϕ(e1 )||ϕ(e2 )|Определим линейное преобразование ω : V → V условием ω(e1 ) = e01 , ω(e2 ) = e02 . Так как ω ортонормированный базис переводит в ортонормированный, то оно ортогонально.Определим линейные преобразования ψ, χ : V → Vψ(e01 ) = ϕ(e1 ), ψ(e02 ) = e02 , χ(e01 ) = e01 , χ(e02 ) = ϕ(e2 ).Легко видеть, что ψ и χ являются сжатиями (растяжениями) к двум взаимно перпендикулярнымподпространствам (см.

Пример 2.56) с коэффициентами |ϕ(e1 )|, |ϕ(e2 )|, и, кроме того, ϕ = ψ◦χ◦ω =χ ◦ ψ ◦ ω.Другое доказательство этой теоремы можно найти в учебнике [3], гл. IV, § 3, п. 5.Разложение обратимого линейного преобразования в композицию ортогонального и сжатийрастяжений к взаимно перпендикулярным направлениям18 обобщается на случай евклидовых пространств произвольной размерности n и носит название полярного разложения.18такие линейные преобразования называются положительными самосопряженными.37В качестве примера еще одной структуры на векторном пространстве мы также рассматривалиформу объема.

Условие того, что линейное преобразование ϕ : V → V , dim V = 3, сохраняет формуобъема (·, ·, ·) на V записывается как(ϕ(u), ϕ(v), ϕ(w)) = (u, v, w)∀ u, v, w ∈ V.(20)Сразу заметим, что такое преобразование ϕ обязательно невырождено (что мы будем далее предполагать). Зафиксируем некоторый базис {e1 , e2 , e3 } в V ; пусть A — матрица преобразования ϕ в нем.Так как координаты векторов ϕ(u), ϕ(v), ϕ(w) в базисе {ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 )} равны соответственнокоординатам векторов u, v, w в базисе {e1 , e2 , e3 }, то ϕ сохраняет объемы ⇔ (ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 )) =(e1 , e2 , e3 ) для данного базиса (ср. формулу (7)). Легко видеть, что(ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 )) = det A (e1 , e2 , e3 )(21)и, значит, ϕ сохраняет форму объема ⇔ det A = 1.193Аффинные пространстваВ этой части текста наше изложение идеологически довольно близко к принятому в Главе 7 учебника Э.Б.

Винберга [6]. В частности, мы даем определения аффинных пространств и аффинныхотображений, принятые в курсах алгебры (см. также [10]). Об особенностях такого подхода былонаписано во Введении. Классическое изложение элементов теории аффинных преобразований какчасти курса аналитической геометрии можно найти, например, в учебниках [3], [5], а аффинной (ипроективной) геометрии как самостоятельной науки — в [12].3.1Определение и примеры аффинных пространствОпределение 3.1.

Аффинным пространством называется тройка (S, V, +), где S — множество(элементы которого мы будем называть “точками”), V — векторное пространство и+ : S × V → S,(p, v) 7→ p + v ∈ Sp ∈ S, v ∈ V— операция сложения точки и вектора, обладающая свойствами:1) p + 0 = p ∀ p ∈ S;2) p + (v + w) = (p + v) + w ∀ p ∈ S, ∀ v, w ∈ V ;3) для любой упорядоченной пары (p, q) точек из S существует причем единственный векторv ∈ V такой, что q = p + v.−−−−Если p + v = q, положим →pq := v.

Если при этом w = →qr, то свойство 2) тогда дает p + (→pq + →qr) =→−→−→−→−→−→−(p + pq) + qr = q + qr = r и из свойства 3) тогда следует, что pq + qr = pr.19Заметим, что определитель матрицы линейного преобразования не зависит от выбора базиса, читатель легковыведет это из формулы, доказанной в Предложении 2.55, или из равенства (21) (ср. рассуждение на стр.

52).38qqwvvq =p+vrv+wppРис. 11: Сложение точек и векторов−−Кроме того, →qp = −→pq. Действительно, используя свойства 1) — 3) операции сложения точки ивектора, имеем:−−−−−−−−−q =p+→pq = (q + →qp) + →pq = q + (→qp + →pq) = q + 0 ⇒ →qp + →pq = 0 ⇒ →qp = −→pq.Пример 3.2. Важный для дальнейшего пример — аффинная плоскость. В этом случае S — множество точек плоскости, V — векторное пространство свободных векторов на плоскости, + — операцияоткладывания представителя свободного вектора от точки (см.

Рис. 11), при этом сумма точки ивектора — точка, являющаяся концом отложенного вектора. Все свойства из Определения 3.1 легко проверяются. Аналогично определяется аффинная прямая и аффинное пространство (при этомвекторное пространство V имеет размерность соответственно 1 и 3).Векторизация аффинного пространства.

Пусть (S, V, +) — аффинное пространство. Выберемточку o ∈ S. Определим отображениеχo : S → V,−p 7→ →op ∈ V,−−где →op — по определению такой единственный вектор, что p = o + →op. В силу свойства 3) операции+ из Определения 3.1 отображение χo определено, причем корректно, на всем S.−−−Докажем, что χo биективно. Во-первых оно инъективно, так как если →op = →oq, то p = o + →op =→−o + oq = q, то есть p = q. Во-вторых, оно сюръективно. Действительно, если v ∈ V — произвольный−вектор, то положим p := o + v ∈ S, тогда χo (p) = →op = v.Таким образом, выбор начальной точки o ∈ S позволяет отождествить множество точек S с−множеством векторов V , при этом точке p ∈ S ставится в соответствие ее радиус-вектор χo (p) = →op→−→−→−и сложение q = p + v (⇒ v = pq) точки и вектора превращается в сложение векторов oq = op + v.Заметим, что указанное отождествление зависит от выбора точки o ∈ S ! Отождествление χo точекс векторами называется векторизацией аффинного пространства S относительно точки o.Размерностью аффинного пространства (S, V, +) называется размерность соответствующеговекторного пространства V .

Далее мы будем рассматривать случай аффинных пространств размерности один (“аффинная прямая”), два (“аффинная плоскость”) или три (“аффинное пространство”).Пусть (S, V, +) — двумерное или трехмерное аффинное пространство.Определение 3.3. Прямой в (S, V, +) называется подмножество точек в S видаL := {p0 + u | p0 ∈ S — фиксированная точка, u ∈ U },где U ⊂ V — одномерное подпространство в V . Подпространство U ⊂ V называется направляющимподпространством прямой L. Любой ненулевой вектор u ∈ U называется направляющим векторомпрямой L.39Легко видеть, что (L, U, +) является в очевидном смысле одномерным аффинным подпространством в (S, V, +). В качестве “начальной точки” p0 прямой L может быть взята любая точка изL. Заметим, что направляющее подпространство U однозначно восстанавливается по прямой L:−оно состоит в точности из векторов в V , соединяющих точки из L (то есть векторов вида →pq, гдеp, q ∈ L.).Пусть (S, V, +) — трехмерное аффинное пространство.Определение 3.4.

Плоскостью в (S, V, +) называется подмножество точек в S видаΠ := {p0 + u | p0 ∈ S — фиксированная точка, u ∈ U },где U ⊂ V — двумерное подпространство в V . Подпространство U ⊂ V называется направляющимподпространством плоскости Π.Легко видеть, что (Π, U, +) является в очевидном смысле двумерным аффинным подпространством в (S, V, +). В качестве “начальной точки” p0 плоскости Π может быть взята любая точка изΠ. Заметим, что направляющее подпространство U однозначно восстанавливается по плоскости Π:оно состоит в точности из векторов в V , соединяющих точки из Π.Вообще, можно ввести понятие аффинного подпространства в (S, V, +) как подмножества S 0 ⊂ Sточек видаS 0 = {p0 + u | p0 ∈ S — фиксированная точка, u ∈ U },где U ⊂ V — некоторое линейное подпространство.

В частности, если dim U = 0, 1, 2 тогда S 0 —точка, прямая и плоскость. Легко показать, что пересечение аффинных подпространств в (S, V, +),при условии что оно непусто, снова является аффинным подпространством.Пусть теперь V — евклидово пространство. Тогда, как мы знаем, в V можно измерять длинывекторов и углы между ними.Определение 3.5. Если V — евклидово пространство, то аффинное пространство (S, V, +) называется аффинным евклидовым пространством или просто евклидовым пространством, если изконтекста ясно что оно аффинное.

В случае dim V = 2 или 3 аффинное евклидово пространство(S, V, +) называется евклидовой плоскостью или евклидовым пространством соответственно.Если (S, V, +) — евклидово пространство, то определено расстояние d между его точками,−d(p, q) := |→pq|, углы между прямыми в нем и т.д.3.2Декартовы системы координатПусть (S, V, +) — аффинная плоскость (случай аффинного пространства аналогичен).Определение 3.6. Декартовой системой координат (кратко дск) в (S, V, +) называется параo, {e1 , e2 }, состоящая из точки o ∈ S и базиса {e1 , e2 } в V .

Если пространство (S, V, +) евклидово, то декартова система координат называется прямоугольной (кратко пдск), если базис {e1 , e2 }ортонормированный.40Если на плоскости (S, V, +) задана дск o, {e1 , e2 }, то координаты (x1 , x2 )T произвольной точки−p ∈ S — это по определению координаты вектора →op ∈ V в базисе {e1 , e2 }:→−op = x1 e1 + x2 e2 .Эквивалентно, чтобы получить координаты точек (S, V, +) в дск o, {e1 , e2 }, мы производим векторизацию χo : S → V относительно точки o ∈ S, и тогда координаты точки p ∈ S — это координаты−вектора χo (p) = →op в базисе {e1 , e2 } пространства V .Легко видеть, что координаты точки q = p + v равны суммам соответствующих координат точкиp и вектора v.