МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов, страница 11

(S, V, +) — аффинное пространство (плоскость). Тогда Trans(S) = {tv | v ∈ V } ⊂GA(S) — подгруппа, состоящая из всех параллельных переносов (см. Пример 3.11). Сопоставлениеv 7→ tv определяет изоморфизм Trans(S) → (V, +) группы параллельных переносов с аддитивной группой (V, +) пространства V (см.

Определение 2.7). Пример 3.11 показывает, что Trans(S)является ядром гомоморфизма d : GA(S) → GL(V ) (см. Определение 1.33).Пример 3.20. Гомотетией с центром в точке o ∈ S и коэффициентом λ называется аффинноепреобразование, задаваемое формулой f (o + v) = o + λ v. Заметим, что из определения следует, чтоdf = λ idV .44Покажем, что, обратно, аффинное преобразование f : S → S такое, что df = λ idV , λ 6= 1, естьгомотетия с центром в некоторой точке o ∈ S. Центр гомотетии o характеризуется тем, что это —неподвижная точка преобразования f , то есть f (o) = o. Покажем, что неподвижная точка в нашемслучае действительно существует.Пусть p — произвольная точка аффинной плоскости S. Имеем:−−−−f (o) = f (p + →po) = f (p) + df (→po) = f (p) + λ idV (→po) = f (p) + λ →po,−и если o — неподвижная точка, то o = f (p)+λ →po, то есть (рассматривая векторизацию относительно−−−→−−−→→−→−→−1точки p) po = pf (p) + λ po, тогда po = 1−λ pf (p), откуда находится искомая неподвижная точка o.Покажем теперь, что f — гомотетия с центром в неподвижной точке o.

Пусть q ∈ S — произволь−−−ная точка, тогда f (q) = f (o + →oq) = f (o) + df (→oq) = o + λ →oq, то есть f — действительно гомотетия сцентром в точке o и коэффициентом λ.Задача 3.21. Доказать, что композиция гомотетий с центрами в точках p 6= q и коэффициентами λ, µ при λµ 6= 1 — гомотетия, а при λµ = 1 — нетривиальный20 параллельный перенос.Заметим, что если S — нечетномерное аффинное пространство, то гомотетия с коэффициентомλ, λ < 0, является несобственным, а если S — четномерное, то собственным аффинным преобразованием.Пусть {e1 , e2 , e3 } — некоторый базис в 3-мерном векторном пространстве V .

Для произвольной системы векторов {a1 , a2 , a3 } пространства V существует причем единственное линейное преобразование ϕ : V → V такое, что ϕ(ei ) = ai , i = 1, 2, 3. А именно для произвольного вектораv = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 в силу линейности ϕ мы должны положитьϕ(v) = v1 ϕ(e1 ) + v2 ϕ(e2 ) + v3 ϕ(e3 ) = v1 a1 + v2 a2 + v3 a3 .Так как разложение по базису единственно, то преобразование ϕ корректно определено на всех векторах V . Таким образом, существует не более одного линейного преобразования, удовлетворяющегоприведенному условию.

Далее прямым вычислением можно проверить, что так определенное преобразование линейно, то есть для любых векторов u, v ∈ V ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v), и для любыхλ ∈ R и v ∈ V ϕ(λ v) = λ ϕ(v). Причем ϕ биективно ⇔ система {a1 , a2 , a3 } линейно независима(⇔ является базисом в V ). Заметим, что аналогичные рассуждения применимы и к 2-мерному21пространству V .Воспользуемся приведенным результатом для доказательства следующего важного свойства аффинных преобразований.Предложение 3.22. Пусть {p0 , p1 , p2 } — система из трех точек на аффинной плоскости(S, V, +), не лежащих на одной прямой. Пусть {q0 , q1 , q2 } — произвольная система их трех точек в S.

Тогда существует, причем единственное, аффинное преобразование f : S → S такое, чтоf (pi ) = f (qi ), i = 0, 1, 2, причем f биективно ⇔ точки {q0 , q1 , q2 } не лежат на одной прямой.2021то есть на ненулевой вектор.а также к n-мерному для произвольного натурального n, но этот общий случай мы здесь не рассматриваем.45→Доказательство. Положим ei := −p−0 pi , i = 1, 2.

Так как {p0 , p1 , p2 } не лежат на одной прямой, тосистема {e1 , e2 } линейно независима, то есть является базисом в V .→Положим ai := −q−0 qi , i = 1, 2. Пусть ϕ : V → V — то единственное линейное преобразование, длякоторого ϕ(ei ) = ai , i = 1, 2. Для произвольной точки p ∈ S положить−→−→f (p) = f (p0 + −p→0 p) = f (p0 ) + ϕ(p0 p) = q0 + ϕ(p0 p)— единственный способ определить аффинное преобразование, для которого f (pi ) = f (qi ), i =0, 1, 2. То, что так определенное f является аффинным, следует теперь из Замечания 3.9.

Отметим,что ϕ = df.Биективность f при условии, что точки {q0 , q1 , q2 } не лежат на одной прямой следует из того,что в этом случае векторы ai , i = 1, 2 образуют базис в V.В частности, из доказанного предложения следует, что для любых двух треугольников на плоскости существует причем единственное аффинное преобразование, переводящее первый треугольникво второй с сохранением порядка вершин.3.4ДвиженияОпределение 3.23.

Аффинное преобразование f аффинной евклидовой плоскости (пространства)−−−−−→(S, V, +) называется движением, если |f (p)f (q)| = |−p→q| ∀ p, q ∈ S.Предложение 3.24. Аффинное преобразование f — движение ⇔ df : V → V — ортогональноепреобразование евклидова пространства V .Доказательство. ⇒ : Раз f — движение, то оно аффинно и, значит, df : V → V линейно. Кроме−−−−−→−того, из df (→pq) = f (p)f (q) следует, что df сохраняет длины:−−−−−→−−−∀ p, q ∈ S |f (p)f (q)| = |→pq| ⇒ ∀ p, q ∈ S |df (→pq)| = |→pq| ⇒ ∀ v ∈ V|df (v)| = |v|.Теперь из Предложения 2.61 следует, что df ортогонально.⇐ : Из Предложения 2.61 мы знаем, что если преобразование ϕ : V → V евклидова пространства V ортогонально, то оно линейно и сохраняет длины.

Таким образом, df линейно и∀v ∈ V−−−−−→−−−|df (v)| = |v| ⇒ ∀ p, q ∈ S |df (→pq)| = |→pq| ⇒ ∀ p, q ∈ S |f (p)f (q)| = |→pq|,значит, f — движение.Таким образом, согласно Предложению 3.15, всякое движение биективно, и как легко видеть,обратное к нему также является движением.Следствие 3.25. Все движения аффинного евклидового пространства (плоскости) (S, V, +) образуют группу, обозначаемую Iso(S).22Оставшаяся часть этого параграфа предназначена для читателя, желающего глубже разобратьсяв этой теме и при первом чтении может быть пропущена.Во-первых, докажем, что условие аффинности f в Определении 3.23 может быть опущено.22Другое название движения — изометрия, isometry по-английски.46Предложение 3.26.

Если f : S → S — такое преобразование аффинной плоскости (S, V, +), что−−−−−→|f (p)f (q)| = |−p→q| ∀ p, q ∈ S, то f — движение.Доказательство. Преобразования f : S → S, сохраняющие расстояния между точками, назовемизометриями. Во-первых, заметим, что для любого вектора v ∈ V параллельный перенос tv является изометрией, и, кроме того, композиция изометрий — изометрия. Пусть f — изометрия, o ∈ S,−−−→v := f (o)o, тогда g := tv ◦ f — изометрия такая, что g(o) = o. Пусть χo : S → V — векторизация относительно точки o, тогда ge = χo ◦ g ◦ χ−1o : V → V — единственное отображение, делающеедиаграммуSχoVgge/Sχo/Vкоммутативной.−−−→−Покажем, что преобразование ge является линейным.

Пусть v = →op, тогда ge(v) = og(p). Пусть−еще w = →oq. Тогда−−−−−→−−−→ −−−→−−−|w − v| = |→oq − →op| = |→pq| = |g(p)g(q)| = |og(q) − og(p)| = |eg (w) − ge(v)|,то есть |w − v|2 = |eg (w) − ge(v)|2 и, в частности, |eg (v)|2 = |v|2 . Из полученного тождества так жекак в доказательстве Предложения 2.61 получаем, что(eg (w), ge(v)) = (w, v),и поскольку векторы v и w являются произвольными, то преобразование ge является ортогональным.Тогда из Предложения 2.60 следует, что преобразование ge является линейным.−Покажем теперь, что g(q) = g(p) + ge(→pq) ∀ p, q ∈ S, то есть что изометрия g является аффиннымпреобразованием с дифференциалом dg = ge. Действительно,−−−→ −−−→−−−g(p) + ge(→pq) = g(p) + ge(→oq − →op) = g(p) + g(p)o + og(q) = g(q).−−То есть g(p + →pq) = g(p) + ge(→pq), где ge : V → V — линейно, и, значит, dg = ge и g аффинно.И, наконец, f аффинно как композиция f = t−1v ◦ g = t−v ◦ g аффинных преобразований.

Значит,всякая изометрия является движением.Сформулируем теорему, дающую геометрическую классификацию движений плоскости.Теорема 3.27. Любое собственное движение плоскости есть либо поворот вокруг некоторойнеподвижной точки, либо параллельный перенос. Любое несобственное движение плоскости естьскользящая симметрия, то есть композиция симметрии (отражения) относительно некоторойпрямой со сдвигом (параллельным переносом) вдоль той же прямой.Эту теорему мы докажем в следующем параграфе.Пример 3.28. Обозначим через Rα (p) поворот в евклидовой плоскости (S, V, +) на угол α вокругточки p. Его дифференциал есть, очевидно, rα — поворот на тот же угол в V . Рассмотрим произведение Rβ (q)Rα (p) поворотов вокруг разных точек.

Его дифференциал является поворотом на47угол α + β в V и, таким образом, если угол α + β не кратен 2π, то Rβ (q)Rα (p) является поворотомна угол α + β вокруг некоторой третьей точки (в случае, если α + β кратен 2π, то Rβ (q)Rα (p) —параллельный перенос). Чтобы найти эту третью точку, воспользуемся следующим Предложением.Предложение 3.29. Пусть 4pqr — треугольник с вершинами в точках p, q, r и углами α, β, γпри этих вершинах.