МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов

Министерство образования и науки Российской ФедерацииМосковский Физико-Технический Институт(государственный университет)ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВАИ ОТОБРАЖЕНИЯУчебно-методическое пособиеСоставитель А.В. ЕршовДолгопрудный2016Содержание1 Преобразования1.1 Определение и примеры преобразований . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Группы преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Линейные пространства2.1 Определение и примеры линейных пространств .2.2 Базисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Структуры на линейных пространствах . . . . .2.4 Ортогональные матрицы . .

. . . . . . . . . . . .2.5 Линейные отображения и преобразования . . . .2.6 Матрица линейного преобразования . . . . . . .2.7 Ортогональные преобразования . . . . . . . . . .......................................................................3 Аффинные пространства3.1 Определение и примеры аффинных пространств . . .

. . . . . . .3.2 Декартовы системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Аффинные преобразования и их свойства . . . . . . . . . . . . . .3.4 Движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5 Задание аффинных преобразований в координатах . . . . . . . . .3.6 Геометрические свойства аффинных преобразований . . . .

. . .3.7 Добавление 1: Основная теорема аффинной геометрии . . . . . .3.8 Добавление 2: Барицентрические координаты . . . . . . . . . . . .3.9 Добавление 3: Группа аффинных преобразований и ее подгруппы3.10 Добавление 4: О геометрии в смысле Ф. Клейна . . . . . . . . . .1...........................................................................................................................................................................................336.......1010131721232732..........3838404246485153555963Мир — четырехмерное аффинное пространство [...]В.И. Арнольд1ВведениеАффинные пространства и группы, а также их подгруппы (такие как группа Пуанкаре) играютбольшую роль в физике (см. эпиграф), в первую очередь в квантовой теории поля. Поэтому изучениеих теории в случае малого (2 и 3) числа измерений — важная для подготовки физиков часть курсааналитической геометрии.Данный текст представляет собой сильно расширенный кусок лекций по аналитической геометрии, посвященный аффинным пространствам и аффинным отображениям.

Отличия от традиционного изложения:• понятие аффинного пространства вводится аксиоматически через понятие векторного (= линейного) пространства;• аффинные отображения (преобразования) также определяются через линейные отображения(преобразования);• есть отличия от традиционной терминологии, принятой в курсах аналитической геометрии(см. ниже).Принятый здесь подход позволяет математически корректно обращаться с геометрическими понятиями, что в дальнейшем должно окупиться возможностью более глубокого понимания предмета.Кроме того, терминология, которой мы придерживаемся здесь, лучше согласована с материаломвторого семестра — курсом линейной алгебры (это, в частности, касается понятия линейного отображения (преобразования)).О терминологиив учебнике Д.В.

Беклемишевав данном текстелинейное преобразованиеаффинное преобразование (вообще говоря, не биективное)аффинное преобразованиебиективное аффинное преобразованиелинейное преобразование (в контексте линейных пространств, т.е.начиная с главы VI)линейное преобразование — отображение ϕ : V → Vвекторного (= линейного) пространства V такое, чтоϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v), ϕ(λ v) = λ ϕ(v) ∀ u, v ∈ V, λ ∈ RОб обозначенияхСвободные векторы обозначаются либо жирными буквами (u, v, etc.), либо (в главе про аффинные−−пространства) в виде →pq, где p, q — начало и конец представителя свободного вектора →pq.

Множество(линейное пространство) матриц размера m × n с элементами из поля K обозначается Matm×n (K), амножество (линейное пространство, алгебра) квадратных матриц порядка n с элементами из поля K1“Математические методы классической механики” [2].2— Matn (K).

Остальные обозначения либо являются общепринятыми (такие как R для вещественныхчисел), либо вводятся в тексте.Требования к подготовке читателяДля чтения основного текста (без Добавлений) должно быть достаточно знания векторной алгебрыв объеме стандартного курса аналитической геометрии (см. например Главу 1 в [3]). В частности,предполагается известным понятие базиса и описание базисов на плоскости и в пространстве.

Вряде мест используются свойства определителей малых порядков. Также необходимо знакомство спонятием отношения эквивалентности. В одном месте используется теорема о промежуточном значении непрерывной функции на отрезке. В то же время автор не исключает, что в отдельных местахчитателю потребуется обращение к рекомендованной литературе (в первую очередь, к учебникам[3] и [6]).БлагодарностиАвтор выражает глубокую благодарность Вадиму Витальевичу Редкозубову, сообщившему авторупростое доказательство Леммы 2.67 и сделавшему ряд других ценных замечаний и предложений потексту.DisclaimerДанный текст содержит много материала, выходящего за рамки части (касающейся аффинных пространств и преобразований) обязательной программы по аналитической геометрии (в частности, ктакому материалу относятся все добавления).

С другой стороны, отдельные результаты (например,о действии аффинных преобразований на кривые второго порядка) в него не вошли. Поэтому онможет служить лишь дополнением к лекциям и учебнику, причем при отборе минимального материала из него нужно ориентироваться на программу курса.

О замеченных опечатках и замечанияхпо тексту просьба сообщать на e-mail ershov.andrei@gmail.com1Преобразования1.1Определение и примеры преобразованийПредполагается, что читатель знаком с общематематическим понятием отображения (= функции).Отображение f с областью определения X и областью значений2 Y мы часто записываем как f : X →Y.Преобразованием f множества X мы называем его отображение f : X → X в себя.3 То естьпреобразования — частный случай отображений, когда область определения и область значенийсовпадают. Среди всех преобразований множества X есть выделенный элемент — тождественноепреобразование idX , idX (x) = x ∀ x ∈ X.Если S — евклидова плоскость, то ее преобразования — это, например, параллельный переносна вектор a (см. Пример 3.11), поворот против часовой стрелки на угол α вокруг точки p ∈ S (см.2заметим, что область значений, вообще говоря, не совпадает с множеством значений f (X) := {y ∈ Y | y =f (x), x ∈ X}, в общем случае только f (X) ⊂ Y .3В ряде источников (например в [11]) преобразованиями называются только биективные отображения в себя, номы не будем придерживаться этого.3LPf (P )Рис.

1: Ортогональная проекция на прямую LRα (P )PRα (SL (P ))αLαOSL (P )SL (Rα (P ))Рис. 2: Пример, когда f ◦ g 6= g ◦ fПример 2.42), симметрия относительно прямой L ⊂ S (см. Пример 2.43), гомотетия с центром вточке p ∈ S и коэффициентом λ ∈ R (см. Пример 3.20), ортогональная проекция f плоскости S напрямую L, которая произвольной точке P ∈ S ставит в соответствие ее ортогональную проекциюf (P ) ∈ L на прямую L, см. Рис. 1 .Для отображений f : Y → Z и g : X → Y определена композиция (иногда называемая такжепроизведением отображений), обозначаемая f ◦ g. Это — отображение X → Z, определенное по правилу (f ◦ g)(x) = f (g(x)) ∀ x ∈ X. В математическом анализе композиция отображений называетсясложной функцией.

Композицию можно изобразить диаграммойXg/Yf/ Z.В частности, композиция определена для всякой упорядоченной пары f, g преобразований множества X. Заметим, что, вообще говоря, f ◦ g 6= g ◦ f, то есть операция композиции преобразованийне обладает свойством коммутативности, см. Рис. 2, где f = Rα — поворот на угол α против часовойстрелки вокруг точки O, а g = SL — симметрия относительно прямой L.Однако операция композиции преобразований ассоциативна: вообще, для любых отображенийf : Z → W, g : Y → Z и h : X → Y имеет место равенство(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) : X → W.4Тождественное преобразование idX обладает (и однозначно характеризуется — см.

ниже) следующим свойством: для любых отображений f : X → Y и g : Z → X имеют место равенстваf = f ◦ idX ,g = idX ◦ g.(1)Покажем, что idX однозначно определяется свойством (1). Действительно, если id0X — еще однопреобразование, обладающее этим свойством, тоidX = idX ◦ id0X = id0X .Отображение f : X → Y называется инъективным (или вложением), если для любых x, x0 ∈ Xиз f (x) = f (x0 ) следует x = x0 . Другими словами, отображение инъективно, если разные точки имеют разные образы. Отображение f : X → Y называется сюръективным, если ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X такой,что f (x) = y (то есть если образ отображения f совпадает со всем множеством Y ). Инъективное исюръективное отображение называется взаимно однозначным или биекцией.Обратным для отображения f : X → Y называется такое отображение g : Y → X, что g ◦ f =idX , f ◦ g = idY .Во-первых, заметим, что если обратное отображение существует, то оно единственно.

Действительно, пусть g 0 — еще одно обратное для f . Тогдаg 0 = g 0 ◦ idY = g 0 ◦ (f ◦ g) = (g 0 ◦ f ) ◦ g = idX ◦ g = g.Во-вторых, заметим, что для существования обратного к f необходимо, чтобы f было биективным. Действительно, из импликацииf (x) = f (x0 ) ⇒ (g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(x0 ) ⇒ x = idX (x) = idX (x0 ) = x0следует инъективность f . Сюръективность f следует из того, что ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X (а именно g(y))такой, что f (x) = y.В-третьих, если f : X → Y — биекция, то обратное отображение g : Y → X действительно существует. В самом деле, для произвольного y = f (x) положим g(y) = x.