Матричные функции и линейные дифференциальные уравнения - Крикоров, страница 4

PDF-файл Матричные функции и линейные дифференциальные уравнения - Крикоров, страница 4 Математический анализ (66124): Книга - 1 семестрМатричные функции и линейные дифференциальные уравнения - Крикоров: Математический анализ - PDF, страница 4 (66124) - СтудИзба2020-09-162020-09-16polosatikСтудИзба

Матричные функции и линейные дифференциальные уравнения - Крикоров38

Описание файла

PDF-файл из архива "Матричные функции и линейные дифференциальные уравнения - Крикоров", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 4 страницы из PDF

á«¨ ¬ âà¨æ A ¯®àï¤ª 2 × 2 ¨¬¥¥â ¤¢ ¢¥é¥áâ¢¥ëå á®¡áâ¢¥ëå § ç¥¨ï, â® á¨áâ¥¬ ãà ¢¥¨© (9.9)¨¬¥¥â á«¥¤ãîé¨© ¢¨¤:C1 + C2 = I,λ1 C1 + λ2 C2 = A.¨áâ¥¬ «¥£ª® à¥è ¥âáïλ1 C1 + λ2 (I − C1 ) = A, á¨«ã â¥®à¥¬ë 9.2n−1áª«îç ¥¬ ¨§ á¨áâ¥¬ë ãà ¢¥¨© (9.11) Cn−1 ¯à¨ ¯®¬®é¨¢ëç¨â ¨ï ¨§ ª ¦¤®£® ãà ¢¥¨ï ¯à¥¤ë¤ãé¥£® ãà ¢¥¨ï, ã¬®¦¥®£® λn−1.

®«ãç ¥¬ á¨áâ¥¬ã ãà ¢¥¨©«¥¤®¢ â¥«ì®,eAt =C1 =A − λ2 I,λ1 − λ2C2 =A − λ1.λ2 − λ1A − λ2 I λ1 tA − λ1 λ2 te +e .λ1 − λ2λ2 − λ1à¨¬¥à 9.2. á«¨ ¬ âà¨æ A ¯®àï¤ª 2 × 2 ¨¬¥¥â ª®¬¯«¥ªá®¥ á®¡áâ¢¥®¥ § ç¥¨¥ λ = α + iβ , β > 0, â®eAt = Ceλt + Ceλ̄t = C1 eαt cos βt + C2 eαt sin βt. áª« ¤ë¢ ï ¢ àï¤ äãªæ¨¨ ¢ ¯à ¢®© ¨ «¥¢®© ç áâ¨ íâ®£®à ¢¥áâ¢ , ¯®«ãç ¥¬, çâ®I + At + . . . = C1 (1 + αt + . .

.) + C2 (βt + . . .).31à¨à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ t0, t, ¯®«ãç ¥¬ á¨áâ¥¬ããà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¬ âà¨æ C1, C2:C1 = I, ª ª ª ¬ âà¨æë I ¨ J ¯¥à¥áâ ®¢®çë, J n = 0, â® ¢ á¨«ãâ¥®à¥¬ 9.1 ¨ 9.5e(λI+tJ)t = eλtI · eλJt = eλt I ·αC1 + βC2 = A.«¥¤®¢ â¥«ì®,1C2 = (A − αI),βk=0Ate1= Ie cos βt + (A − αI)eαt sin βt.β⎛0100⎛⎜I + λJ = ⎜⎝λ1λ......00⎞⎟⎟1⎠λ §ë¢ îâ ¦®à¤ ®¢ë¬ ¡«®ª®¬.¥®à¥¬ 9.6. á«¨ λI +J | ¦®à¤ ®¢ ¡«®ª à §¬¥à n×n,â® ©¤¥âáï â ª®© ¬®£®ç«¥ P (t) áâ¥¯¥¨ n − 1 á ¬ âà¨çë¬¨ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, çâ®e(λI+tJ)t = P (t)eλt .(9.12)n−1 tkk=0k!k!J k = P (t)eλt ,J k.¥®à¥¬ 9.7.á«¨ ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â á®¡áâ¢¥ë¥ § ç¥¨ïλ1 , .

. . , λp ªà â®áâ¥© k1 , . . . , kp , â® ©¤ãâáï ¬®£®ç«¥ëPk (t) áâ¥¯¥¥© k1 − 1, . . . , kp − 1 â ª¨¥, çâ®Ate⎞... ⎟⎟.... 1 ⎟⎠... 00 ¬ âà¨æë J 2 = (J˜ij ) í«¥¬¥âë J˜i,i+2 = Ji,i+1Ji+1,i+2 = 1, ¢á¥ ®áâ «ìë¥ í«¥¬¥âë à ¢ë ã«î. ª¨¬ ®¡à §®¬, ã ¬ âà¨æë J 2 ¥¤¨¨æë § ¯®«ïîâ ¢â®àãî ¢¥àåîî ¤¤¨ £® «ì,ã ¬ âà¨æë J k , k < n, ¥¤¨¨æë § ¯®«ïîâ k-î ¢¥àåîî ¤¤¨ £® «ì, J n = 0. âà¨æã⎜⎜J =⎜⎝P (t) =αt áá¬®âà¨¬ ª¢ ¤à âãî ¬ âà¨æã J = (Jij ) à §¬¥à n×n, ãª®â®à®© í«¥¬¥âë Ji,i+1 = 1, ¢á¥ ®áâ «ìë¥ í«¥¬¥âë à ¢ëã«î.

¬ âà¨æë J ¥¤¨¨æë § ¯®«ïîâ ¯¥à¢ãî ¢¥àåîî ¤¤¨ £® «ì:32n−1 tk=p(9.13)Pk (t)eλk t .k=1§ â¥®à¥¬ë ®à¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¬ âà¨æ ¡«®ç®-¤¨ £® «ì®© ¬ âà¨æ¥A¯®¤®¡ A = S −1 diag(λ1 I1 + J1 , . . . , λp Ip + Jp )S. á¨«ã â¥®à¥¬9.3 ¨ 9.6eAt = S −1 diag e(λ1 I1 +J1 )t , . . . , e(λp Ip +Jp )t S == S −1 diag P1 (t)eλ1 t , . . . , Pp eλp t S.¥à¥¬®¦ ï ¬ âà¨æë, ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã (9.12) .®à¬ã« (9.12) ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ¤«ï å®¦¤¥¨ïª®íää¨æ¨¥â®¢ ¬®£®ç«¥®¢ Pk (t). ¦¤ë© ¨§ ¬®£®ç«¥®¢Pk (t) á®¤¥à¦¨â kp ¥¨§¢¥áâëå ª®íää¨æ¨¥â®¢. á¥£® ¥¨§¢¥áâëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ k1 + .

. . + kp = n. áª« ¤ë¢ ï ¯à ¢ãî ¨ «¥¢ãî ç áâ¨ ãà ¢¥¨ï (9.12) ¯® ä®à¬ã«¥ ¥©«®à ¨¯à¨à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ áâ¥¯¥ïå tk , k = 1, n, ¯®«ãç ¥¬ á¨áâ¥¬ã ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå ª®íää¨æ¨¥â®¢.à¨¬¥à 9.3. ãáâì ¬ âà¨æ A | âà¥âì¥£® ¯®àï¤ª , ¨¬¥¥âá®¡áâ¢¥®¥ § ç¥¨¥ λ1 ªà â®áâ¨ 2 ¨ ¯à®áâ®¥ á®¡áâ¢¥®¥§ ç¥¨¥ λ2 . ®à¬ã«ã (9.12) ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ á«¥¤ãîé¥¬¢¨¤¥:eAt = (C1 + C0 t)eλ1 t + C2 eλ2 t ,33A2 t2 A3 t3++ ...

=26λ21 2λ22 2= (C1 +C0 t) 1 + λ1 t +t + . . . +C2 1 + λ2 t +t + ... .22I + At +à¨à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå áâ¥¯¥ïå t,¯®«ãç ¥¬ á¨áâ¥¬ã ãà ¢¥¨©C1 + C2 = I,ãáâì A | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ à §¬¥à n × n. ®«®¦¨¬¯® ®¯à¥¤¥«¥¨îf (A) =⎛A = diag(λ1 , . . . , λn ) = ⎝áª«îç ï ¨§ á¨áâ¥¬ë C0, ¯®«ãç ¥¬ á¨áâ¥¬ã ãà ¢¥¨©C1 + C2 = I,+− 2λ1 λ2 )C2 = A2 − 2λ1 A.âªã¤ ¯®«ãç ¥¬, çâ®(λ2 − λ1 ) C2 = (A − λ1 I) ,(A − λ1 I)2(A − λ1 I)2C2 =,C=I−,1(λ2 − λ1 )2(λ2 − λ1 )2C0 = A − λ1 C1 − λ2 C2 = A − λ1 (I − C2 ) − λ2 C2 =(A − λ1 I)2= A − λ1 I − (λ2 − λ1 )C2 = A − λ1 I −=λ2 − λ1(A − λ1 I)(A − λ2 I)=−.λ2 − λ1ãáâì áª «ïà ï äãªæ¨ï f (t) ï¢«ï¥âáï áã¬¬®© áå®¤ïé¥£®áï áâ¥¯¥®£® àï¤ :f (t) =∞k=034kαk t ,|t| < r....(10.1)⎞⎠.(10.3)λn∞αk diag(λk1 , .

. . , λkn ) == diag∞â®∞diag(αk λk1 , . . . , αk λkn ) =k=1αk λk1 , . . . ,k=1∞αk λkn= diag(f (λ1 ), . . .f (λn )). k=1 áá¬®âà¨¬ ¦®à¤ ®¢ ¡«®ª⎛⎜I + λJ = ⎜⎝λ1λ......00⎞⎟⎟.1⎠λ¥®à¥¬ 10.2. ¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãîé ï ä®à¬ã« :f (n−1) (λ) n−1.J(n − 1)!(10.4) ª ª ª ¥¤¨¨ç ï ¬ âà¨æ ¯¥à¥áâ ®¢®ç á «î¡®© ª¢ ¤à â®© ¬ âà¨æ¥©, â®f (I + λA) = f (λ)I + f (λ)J + . .

. +§ 10*. âà¨çë¥ äãªæ¨¨0¥®à¥¬ 10.1. á«¨ ¬ âà¨æ A ¤¨ £® «ì ï, â® f (A) == diag(f (λ1 ), . . .f (λn )). ª ª ª Ak = diag(λk1 , . . .λkn ),k=12λ10f (A) =2(10.2)A < r.®à¬ã« (10.2) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¬ âà¨çãî äãªæ¨î, â ª ª ªàï¤ (10.2) áå®¤¨âáï ¡á®«îâ®. áá¬®âà¨¬ ¤¨ £® «ìãî ¬ âà¨æãλ21 C1 + 2λ1 C0 + λ22 C2 = A2 .(λ22αk Ak ,k=0λ1 C1 + C0 + λ2 C2 = A,−λ21 C1∞kλk k(k − 1) . . .(k − m + 1) m(J + λI) =J .m!k(10.5)m=035 ª ª ª J k = 0 ¯à¨ k n, â® ¯à¨ «î¡®¬ k ¢ áã¬¬¥ (10.5)¥ ¡®«¥¥, ç¥¬ n á« £ ¥¬ëå. ® â®£¤ f (J + λI) ==I∞∞kαk λ I + λk=0αk λk∞=kαk λJ n−1f (A) =k−1∞(n − 1)!J2+2!∞k−2k(k − 1)αk λk=0k(k − 1)(k − n + 2)αk λ ª ª ª á®¡áâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ¬ âà¨æë=¥®à¥¬ 10.3. á«¨ ¬ âà¨æ A ¡«®ç®-¤¨ £® «ì ï A == diag(A1 , . . .

, Ak ), â® f (A) = diag(f (A1 ), . . . , f (An )). ®ª § â¥«ìáâ¢® á«¥¤ã¥â ¨§ «¥£ª® ¯à®¢¥àï¥¬®£® â®¦¤¥áâ¢ An = diag(An1 , . . . , Ank ).á«¨ A = T −1 BT , â® f (A) = T −1 f (B)T . ª ª ª A = T −1 BT , â®¥®à¥¬ 10.4.A2 = T −1 BT T −1 BT = T −1 B 2 T, . . . , Ak = T −1 B k T.«¥¤®¢ â¥«ì®,f (A) =k=0αk A =αk T−1f (A) = T −1 f (diag(λ1 , . . .

, λn )) T == T −1 diag (f (λ1 ), . . . , f (λn )) T.= T −1∞¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à äãªæ¨¨¬ã«ã (10.6).á«¨=nf (λk ) = φ(λk ); k = 1,f,...,n,â®f (A) =nk=1Ck f (λk ) =Ck φ(λk ) = φ(A).¥®à¥¬ 10.6. á«¨ ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â á®¡áâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï λ1, . . . , λp ªà â®áâ¥© k1, . . . , kp; k1 + .

. . + kp = n, â® ©¤ãâáï â ª¨¥ ¬ âà¨æë Cmk , çâ® ¤«ï «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ f (x)k=1f (A) =p kp −1Cmk f (k) (λm ).(10.8)á«¨ ¤«ï ¤¢ãå äãªæ¨©m=1 k=1αk B kT = T −1 f (B)T. ¥®à¥¬ 10.5. á«¨ ¢á¥ á®¡áâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï λk ¬ âà¨æëà §«¨çë, â® ©¤ãâáï â ª¨¥ ¬ âà¨æë C1 , . . . , Cn , çâ® ¤«ï«î¡®© äãªæ¨¨, ¯à¥¤áâ ¢¨¬®© ¯à¨ t ∈ R ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë áå®¤ï-36T(10.7)â®, ¯¥à¥¬®¦ ï ¬ âà¨æë ¢ ä®à¬ã«¥ (10.7), ¯®«ãç ¥¬ ä®à-kk=0A ª ª ª ¬ âà¨æ B T =k=0à §«¨çë, â® á¨«ã â¥®à¥¬ 10.3 ¨ 10.4f (λ) 2f (n−1) (λ) (n−1)= f (λ)I + f (λ)J +J + ... +J. 2!(n − 1)!kAA = T −1 diag(λ1 , . .

. , λn )T.+ . . .+k=0∞(10.6)á«¨ ¤¢¥ äãªæ¨¨ f (λ) ¨ φ(λ) ¯à¨¨¬ îâ ®¤¨ ª®¢ë¥ § ç¥¨ï ¢ â®çª å λk , â® φ(A) = f (A).∞Ck f (λk ).¬ âà¨æ ¯®¤®¡ ¤¨ £® «ì®© ¬ âà¨æ¥k−n+1nk=1k=0+1kJ + λk−2 J 2 + . . . + J k2!+k=0+Jk−1é¥£®áï áâ¥¯¥®£® àï¤ , á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãîé ï ä®à¬ã« :f (k) (λm ) = φ(k) (λm );m = 1, . . . , p,k = 0, . . .

, kp − 1,â® f (A) = φ(A).§ â¥®à¥¬ë ®à¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¬ âà¨æ A¯®¤®¡ ¡«®ç®-¤¨ £® «ì®© ¬ âà¨æ¥A = T −1 diag(J1 + λ1 I1 , . . . , Jk + λk Ik )T,(10.9)37£¤¥ Ji + λi Ii | ¦®à¤ ®¢ë ¡«®ª¨ á ¤«¨®© ¤¨ £® «¨ ki . §â¥®à¥¬ 10.2, 10.3 ¨ 10.4 á«¥¤ã¥â, çâ®f (A) = f T −1 diag(J1 + λ1 I1 , . . . , Jp + λp Ip )T == T −1 diag (f (J1 + λ1 I1 ), . . . , f (Jp + λp Ip )) T. á¨«ã â¥®à¥¬ë 10.4⎛k1 −1f (A) = T −1 diag ⎝k=0(10.10)⎞kp −1 (k) f (λp )f (k) (λ1 ) kJ1 , .

. . ,Jpk ⎠ T.k!k!k=0(10.11)¥à¥¬®¦ ï ¬ âà¨æë ¢ ä®à¬ã«¥ (10.11), ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã (10.8). ä®à¬ã«¥ (10.8) ¬ âà¨æë Cij ¥ § ¢¨áïâ ®â ¢ë¡®à äãªæ¨¨ f . á«¨ ¤«ï ¤¢ãå äãªæ¨© f (k) (λm ) = φ(k) (λm ); k = 1,. . . , p, m = 0, . . . , kp − 1, â® ¨§ ä®à¬ã«ë (10.8) á«¥¤ã¥â, çâ®f (A) = φ(A).§ 11*. ëç¨á«¥¨¥ ¬ âà¨çëå äãªæ¨©¯à¨ ¯®¬®é¨ ¨â¥à¯®«ïæ¨®ëå¬®£®ç«¥®¢ãáâì ¢á¥ á®¡áâ¢¥ë¥ λ1 , . .

. , λn § ç¥¨ï ¬ âà¨æë Aà §«¨çë. áá¬®âà¨¬ ¬®£®ç«¥ënj=1,j=i (λ − λj )ri (λ) = n.j=1,j=i (λi − λj )ç¥¢¨¤®, çâ® ri (λi ) = 1, ri (λj ) = 0, i = j .®£®ç«¥ r(λ) §ë¢ ¥âáï ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë¬ ¬®£®ç«¥®¬ £à ¦ ¤«ï äãªæ¨¨ f (λ), ¥á«¨ r(λi ) = f (λi ). ®£®-ç«¥r(λ) =nrj (λ)f (λj )j=1(11.1)¡ã¤¥â ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë¬ ¬®£®ç«¥®¬ ¤«ï äãªæ¨¨ f (λ).¥©áâ¢¨â¥«ì®,r(λi ) =nj=138rj (λi )f (λj ) = ri (λi )f (λi ) = f (λi ). á¨«ã â¥®à¥¬ë 10.5f (A) = r(A) =nf (λi )ri (A).(11.2)i=1 ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï äãªæ¨¨ ®â ¬ âà¨æë ¤®áâ â®ç® § âì â®«ìª® ¥¥ á®¡áâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï.¯à ¦¥¨¥ 11.1.

ãáâì ¬ âà¨æ A ¢â®à®£® ¯®àï¤ª ¨¬¥¥â ¤¢ á®¡áâ¢¥ëå § ç¥¨ï λ1 ¨ λ2 , λ1 = λ2 .1) ®ª ¦¨â¥, çâ® ¤«ï «î¡®© «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ f (λ)A − λ1 F(A − λ2 I)f (λ1 ) −f (λ2 ),λ1 − λ2λ1 − λ22) á«¨ λ1 = α + iβ , λ2 = α − iβ = ᾱ, β > 0, â®1F (A) =Im (A − λ̄I)f (λ) .2β3) á«¨ λ1 = λ0 , λ2 = λ0 + ε, â®(A − (λ0 + ε)I)f (λ0 ) − (A − λ0 )f (λ0 + ε).f (A) =ε¥à¥©¤¨â¥ ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ ε → 0 ¨ ¯®«ãç¨â¥ ä®à¬ã«ã ¤«ïâ®£® á«ãç ï, ª®£¤ λ0 | ªà â®¥ á®¡áâ¢¥®¥ § ç¥¨¥. áá¬®âà¨¬ á«ãç ©, ª®£¤ ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â ªà âë¥ á®¡áâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï. ãáâì ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â á®¡áâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï λ1 , . .

. , λk á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨å ªà â®áâ¥© p1 , . . . , pk . ®£« á® â¥®à¥¬¥ 10.6 äãªæ¨ï f (A) ¨¬¥¥â á«¥¤ãîéãî áâàãªf (A) =âãàã:p kp −1(11.3) âà¨æë Cmk ¥ § ¢¨áïâ ®â ¢ë¡®à äãªæ¨¨ f . ®£®ç«¥P (A) §ë¢ îâ ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë¬, ¥á«¨f (k) (λm ) = P (k) (λm ), k = 0, kp , m = 1, p.(11.4) ª ª ª f (A) = P (A), â® ¯®áâà®¥¨¥ äãªæ¨¨ ®â ¬ âà¨æëá¢®¤¨âáï ª ¯®áâà®¥¨î ¨â¥à¯®«ïæ¨®®£® ¬®£®ç«¥ . ®®â®è¥¨ï (11.4) ¯à¨¢®¤ïâ ª á¨áâ¥¬¥ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¤«ï®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¨â¥à¯®«ïæ¨®®£® ¬®£®ç«¥ .®ïá¨¬ ®¤¨ ¨§ á¯®á®¡®¢ ¯®áâà®¥¨ï ¨â¥à¯®«ïæ¨®®£®¬®£®ç«¥ á«¥¤ãîé¥¬ ¯à¨¬¥à¥.f (A) =Cmk f (k) (λm ).m=1 k=139à¨¬¥à 11.1.ãáâì ¬ âà¨æ ¯ïâ®£® ¯®àï¤ª ¨¬¥¥âªà â®áâ¨ 3 ¨ á®¡áâ¢¥®¥ § ç¥¨¥Aá®¡áâ¢¥®¥ § ç¥¨¥ λ1λ2 ªà â®áâ¨ 2.é¥¬ ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ ¢ á«¥¤ãîé¥¬ ¢¨¤¥:(11.5)r(λ) = (λ − λ1 )3 ψ1 (λ) + (λ − λ2 )2 ψ2 (λ),ψ1 (λ) = a0 + a1 (λ − λ2 ),ψ2 (λ) = b0 + b1 (λ − λ1 ) + b2 (λ − λ1 )2 . §«®¦¨¬ ¬®£®ç«¥ë ¢ ä®à¬ã«¥ (11.5) ¯® áâ¥¯¥ï¬ λ−λ2.2−λ1 − λ2f (λ1 )f (λ1 )2f (λ1 )−−=23(λ1 − λ2 )(λ1 − λ2 )(λ1 − λ2 )41 f (λ1 )2f (λ1 )3f (λ1 )=−+.2 (λ1 − λ2 )2 (λ1 − λ2 )3 (λ1 − λ2 )4 áá¬®âà¥ë© ¢ ¯à¨¬¥à¥ 11.1 á¯®á®¡ ¯®áâà®¥¨ï ¨â¥à¯®«ïæ¨®®£® ¬®£®ç«¥ à á¯à®áâà ï¥âáï ¬ âà¨æë «î¡®£® ¢¨¤ , ® ¯à¨¢®¤¨â ª £à®¬®§¤ª¨¬ ¢ëç¨á«¥¨ï¬, ª®â®àë¥à §ã¬® ¯à®¢®¤¨âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ ª®¬¯ìîâ¥àëå ¯à®£à ¬¬ á¨¬¢®«ìëå ¢ëç¨á«¥¨© (Matematica, Mapple ¨ â.¤.).r(λ) = r(λ2 ) + r (λ2 )(λ − λ2 ) + .

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.