Матричные функции и линейные дифференциальные уравнения - Крикоров, страница 3
Описание файла
PDF-файл из архива "Матричные функции и линейные дифференциальные уравнения - Крикоров", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 3 страницы из PDF
«¥¤®¢ ⥫ì®, àï¤ (7.4) á室¨âáï ¡á®«îâ® ¨eà ¢®¬¥à® ¨ ¥£® á㬬 x(t) | ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï ®â१ª¥ [a, b], x(t) = lim x (t). ᨫã à ¢®¬¥à®© á室¨¬®á⨯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠x (t) ¬®¦® ¯¥à¥©â¨ ª ¯à¥¤¥«ã ¯®¤ § ª®¬ ¨â¥£à « ¢ à ¢¥á⢥ (7.3). ।¥«ì ï äãªæ¨ï x(t)ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (7.2), á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ à¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨ ®è¨ (7.1).§ ¥à ¢¥á⢠(7.5) á«¥¤ã¥â, çâ®21TT020T0 0dy T= −y T A(t).dt(7.9)21®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 7.2 á«¥¤ã¥â ¨§ ⮦¤¥á⢠d y(t)T x(t) =dtdy(t)T¥®à¥¬ 7.4. ¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ (7.12) § ¤ -dx(t)=dtdt= −y(t)T A(t)x(t) + y(t)T A(t)x(t) = 0.
x(t) + y(t)T¥®à¥¬ 7.3. ᫨ ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ ¥ ¢ë஦¤¥ , â® ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ x(t), ïîé ïáï à¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨ ®è¨ (7.1), ¥ ¢ë஦¤¥ :x0(7.10) ãáâì |x0 | = det x0 = 0, |y0 | = 0 ¨ ¯ãáâì x(t) ï¥âáïà¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨ ®è¨ (7.1), y(t) ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨®è¨ (7.8). § ã⢥ত¥¨ï ⥮६ë 7.2 á«¥¤ã¥â, çâ®y(t)T x(t) = y0T x0 .(7.11)§ à ¢¥á⢠(7.11) á«¥¤ã¥â, çâ® |y(t)T | · |x(t)| = |y0T | · |x0|. ª ª ª ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë ¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì âà ᯮ¨à®¢ ®© ¬ âà¨æë à ¢ë, â® |y(t)| · |x(t)| = |y0| · |x0| = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, |x(t)| = 0, |y(t)| = 0.§ à ¢¥á⢠(7.11) á«¥¤ã¥â, çâ®T −1x(t)−1 = x−10 (y0 ) y(t).T −1Tx−10 (y0 ) y(t) x(t)= I,−1x(t) =T −1Tx−10 (y0 ) y(t) . áᬮâਬ § ¤ çã ®è¨ ¤«ï ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ïẋ(t) = A(t)x(t) + f (t), x(t0 ) = x0 .(7.12)22tx(t) =t0ãáâìH(t, u)f (u) du + H(t, t0 )x0 .(7.13)Φ(t) | ä㤠¬¥â «ì®¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®£® ãà ¢-¥¨ï.
¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥x(t) = Φ(t)C(t).(7.14)®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥¨¥ (7.14) ¢ ãà ¢¥¨¥ (7.12), ¯®«ãç ¥¬à ¢¥á⢮Φ̇(t)C(t) + Φ(t)Ċ(t) = A(t)Φ(t)C(t) + f (t).Φ̇(t) = A(t)Φ(t), ¯®«ãç ¥¬C(t):®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì à ¢¥á⢮¬ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¨Φ(t)Ċ(t) = f (t),tC(t) =t0£¤¥C0Φ−1 (u)f (u) du + C0 ,(7.15)| ¯à®¨§¢®«ì ï ¬ âà¨æ .¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï:tx(t) = «¥¥ ¢¥§¤¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® A(t) | ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ à §¬¥à n × n.¥¢ë஦¤¥ãî ª¢ ¤à âãî ¬ âà¨æã Φ(t), ïîéãîáïà¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨ ®è¨ (7.1), §ë¢ îâ ä㤠¬¥â «ì®©¬ âà¨æ¥©.
âà¨æã H(t, u) = Φ(t)Φ−1 (u) §ë¢ îâ ¬ âà¨æ¥© ®è¨.¥è¥¨¥ «î¡®© § ¤ ç¨ ®è¨ (7.1) ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ä㤠¬¥â «ìãî ¬ âà¨æã:x(t) = Φ(t)Φ−1 (t0 )x0 = H(t, t0 )x0 .¥âáï á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«®© ®è¨:t0®« £ ït = t0 ,Φ(t)Φ−1 (u)f (u) du + Φ(t)C0 .(7.16)¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ïx0 = Φ(t0 )C0 ,C0 = Φ(t0 )−1 x0 .®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ïç ¥¬ ä®à¬ã«ã (7.13).ãáâì á«¥¤ ¬ âà¨æëC0 :Sp A(t) =C0n¢ ä®à¬ã«ã (7.16), ¯®«ã-aii (t) = γ(t).¥®à¥¬ 7.5 (¨ã¢¨««ï). ¯à¥¤¥«¨â¥«ì w(t) = det Φ(t)i=1ä㤠¬¥â «ì®© ¬ âà¨æë ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ïẇ(t) − γ(t)w(t) = 0.®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ä®à¬ã«®© ¥©«®à , ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥á⢮Φ(t + h) = Φ(t) + hΦ̇(t) + o(h) = Φ(t) + hA(t)Φ(t) + o(h) == (I + hA(t) + o(h)) Φ(t).(7.17)23 ª ª ª ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï det(I + hA(t) + o(h))ç«¥ë ¯®à浪 ¥ ¢ëè¥ ¯¥à¢®© á⥯¥¨ h ¬®£ãâ ¢áâà¥â¨âìáï⮫쪮 ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨â®(1 + ha11 )(1 + ha22 ) · · · (1 + hann ) = 1 + h Sp A + o(h),det I + hA(t) + o(h)x−1 (t) = 1 + h Sp A(t) + o(h).§ à ¢¥á⢠(7.17) ¨ (7.18) á«¥¤ã¥â, çâ®(7.18)w(t + h) = det(x(t + h)) = det(I + hA(t) + o(h)) · det x(t) == (1 + h Sp A(t) + o(h))w(t) = w(t) + hγ(t)w(t) + o(h).«¥¤®¢ ⥫ì®,w(t + h) − w(t)o(h)= γ(t)w(t) +.hh¥à¥å®¤ï ¢ í⮬ à ¢¥á⢥ ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ h → 0,ãà ¢¥¨¥ ẇ(t) − γ(t)w(t) = 0.¯®«ãç ¥¬¥§ ¢¨á¨¬ë.
⮫¡æë ä㤠¬¥â «ì®© ¬ âà¨æë Φ(t) 㤮¢-«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î (8.3) ¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, ®¨ ®¡à §ãîâ ä㤠¬¥â «ìãî á¨á⥬ã à¥è¥¨©. âà¨æ , á⮫¡æ ¬¨ ª®â®à®© ïîâáï ¢¥ªâ®àë Xi (t) ä㤠¬¥â «ì®© á¨á⥬ë à¥è¥¨©, ¡ã¤¥â ä㤠¬¥â «ì®©. à®áª¨ W (X1 (t), . . .Xn (t)) = det (xij (t)) = w(t),¢ ᨫã ⥮६ë 7.5 ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï ẇ −− Sp A(t)w = 0, á«¥¤®¢ ⥫ì®, á¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¬ã« ¨ã¢¨««ï:tSp A(u)duw(t) = w(t0 )e t0.(8.4) áᬮâਬ § ¤ çã ®è¨ ¤«ï «¨¥©®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï n-£® ¯®à浪 :x(n) (t) + a1 (t)xn−1 (t) + . .
. + an (t)x(t) = f (t),x(t0 ) = γ1 ,§ 8. ¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå(8.5)ẋ(t0 ) = γ2 , . . . , x(n−1) (t0 ) = γn .¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©ãáâì ¯à¨ i, j = 1, 2, . . . , n äãªæ¨¨ aij (t), fi (t) ¥¯à¥àë¢ë ®â१ª¥ [a, b]. ¨á⥬ «¨¥©ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©ãªæ¨¨ ai (t) ¨ f (t) ¥¯à¥àë¢ë ®â१ª¥ [α, β], t0 ∈∈ [α, β].®«®¦¨¬(8.6)y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t))T ,(8.1) ¤ ç ®è¨ (8.5) íª¢¨¢ «¥â á«¥¤ãî饩 § ¤ ç¥ ®è¨¤«ï á¨á⥬ë ãà ¢¥¨©:ẋi (t) =naij (t)xj (t) + fi (t)j=1¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ¢ ¬ âà¨ç®¬ ¢¨¤¥:(8.2)ẋ(t) = A(t)x(t) + f (t),x(t) = (x1 (t), .
. . , xn (t))T ,f (t) = (f (t)1 , . . . , fn (t))T ,A(t) = (aij (t)) .®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ®¤®à®¤ ï á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¢¨¤(8.3)¨á⥬ à¥è¥¨© Xi (t) = (xi1 (t), . . . , xin (t)) ®¤®à®¤®£®ãà ¢¥¨ï (8.3) ä㤠¬¥â «ì , ¥á«¨ ¢¥ªâ®àë Xi (t) «¨¥©®ẋ(t) = A(t)x(t).T24y1 (t) = x(t),ẏ1 = y2 ,y2 (t) = ẋ(t), .
. . , yn (t) = x(n−1) (t).ẏ2 = y3 , . . . , ẏn−1 = yn ,ẏn = −an−1 (t)y1 − . . . − a1 (t)yn + f (t),y1 (t0 ) = γ1 ,(8.7)y2 (t0 ) = γ2 , . . . , yn (t0 ) = γn . ᫨ y(t) ¥áâì à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (8.7), â® ¯®« £ ï y1 (t) = x(t) ¨ ¨áª«îç ï y2 , . . . , yn ¨§á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (8.7), ¯®«ã稬, çâ® äãªæ¨ï x(t) ï¥âáïà¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨ ®è¨ (8.5). «¥¤ ¬ âà¨æë A(t) á¨á⥬ë (8.7)Sp(A(t)) = −a1 (t).25¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© (8.7) ¨¬¥¥â «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ãî á¨á⥬ã à¥è¥¨© Yi = (yi1 , . .
. , yin )T , i = 1, . . . , n.㤠¬¥â «ì ï ¬ âà¨æ Φ(t) = (yij (t)) ¥¢ë஦¤¥ . ᨫã ä®à¬ã«ë (8.4) ¢à®áª¨ w(t) = det Φ(t) = ···x1 (t)...(n−1)x1(t)······xn (t) .. =. (n−1)xn(t)t(8.8)«¥¤®¢ ⥫ì®, äãªæ¨¨ x1 (t), . . . , xn (t) «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë.¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ®è¨ ¤«ï ¥®¤®à®¤®© á¨á⥬ë (8.7) ¢á¨«ã ⥮६ë 7.4 ¨¬¥¥â á«¥¤ãî騩 ¢¨¤:y(t) = Φ(t)C(t) + Φ(t)−1 Φ(0)γ, γ = (γ1 , . . .
, γn )T ,(8.9)£¤¥ ¢¥ªâ®à C(t) ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨©Φ(t)Ċ(t) = F (t), F (t) = (0, . . . , 0, f (t)).(8.10) ª®®à¤¨ ⮩ § ¯¨á¨ á¨á⥬ ãà ¢¥¨© (8.10) ¨¬¥¥â á«¥¤ãî騩 ¢¨¤:−= w(t0 )en(i−1)xk(t)Ċk (t) = 0;t0a1 (u)dui = 1, . . . , n − 1,¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (8.14) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© ¨ã¢¨««ï:w(t)dt.(8.15)x2 (t) = x1 (t)x21 (t)¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (8.13) ¨¬¥¥â á«¥¤ãî騩¢¨¤:x(t) = x1 (t)C1 (t) + x2 (t)C2 (t),(8.16)£¤¥ äãªæ¨¨ C1 (t) ¨ C2 (t) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨©= 0.(8.11)x1 (t)Ċ1 (t) + x2 (t)Ċ2 (t) = 0,¯à ¦¥¨¥ 8.1. áᬮâà¨â¥ ãà ¢¥¨¥1) §à¥è¨â¥ ãà ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® áâ à襩 ¯à®¨§¢®¤®©2)3)12ẍ − 2 1 +ẋ + 1 +x = 3et .tt ©¤¨â¥ ¢à®áª¨ ¨§ ãà ¢¥¨ï ẇ − 2 1 + 1t w = 0.®ª ¦¨â¥, çâ® ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ x1 (t) == et .4) ©¤¨â¥ ¢â®à®¥ ç á⮥ à¥è¥¨¥ ¯® ä®à¬ã«¥ ¨ã¢¨««ï:x2 (t) = x1 (t)(n−1)xkẍ + a1 (t)ẋ + a2 (t)x = f (t).à®áª¨ w(t) ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ïet Ċ1 (t) + x2 (t)Ċ2 (t) = 0,(8.12)(8.13) ᫨ x1 (t) ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï(8.12), â® ¢â®à®¥ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬®¥ à¥è¥¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âá﨧 ãà ¢¥¨ïẋ2 (t)x1 (t) − x2 (t)ẋ1 (t) = w(t).(8.14)ẇ(t) + a1 (t)w(t) = 0.26w(t)dt = etx21 (t)e−2t w(t) dt.5) ¥è¨â¥ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©(t)Ċk (t) = f.k=1 áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® ¯®à浪 (8.17)tẍ − 2(t + 1)ẋ + (t + 2)x = 3tet .k=1nẋ1 (t)Ċ1 (t) + ẋ2 (t)Ċ2 (t) = f (t).et Ċ1 (t) + ẋ2 (t)Ċ2 (t) = 3et .6) ¯¨è¨â¥ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ¢¨¤¥x(t) = C1 (t)et + C2 (t)x2 (t).§ 9.
âà¨ç ï íªá¯®¥â ¯à¥¤¥«¨¬ ¬ âà¨æã eA ª ª á㬬ã àï¤ ∞ AkA2Ane =E+A++ ... ++ ... =.2!n!k!A(9.1)k=027∞k ª ª ª ¬ ¦®à âë© àï¤ |A|k! á室¨âáï, â® ¨ àï¤ (9.1)k=0á室¨âáï.¥®à¥¬ 9.1. ᫨ ¬ âà¨æë A ¨ B ¯¥à¥áâ ®¢®çë, AB == BA, â® eA+B = eA · eB . «ï ¯¥à¥áâ ®¢®çë宬 ìîâ® :(A + B)n =n¬ âà¨æ á¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¬ã« ¡¨-Cnk Ak B n−k =k=0nk=0n!Ak B n−k .k!(n − k)!(9.2)A2Ake ·e = I +A++ ... ++ ... ×2!k!B2Bk× I +B++ ...
++ ... =2!k!B=I +A+B+k∞ AmB k−m·+ ... =m! (k − m)!k=2 m=0∞=I +A+B+k=2=I +A+B+∞(A + B)kk!k=2+ . . . = eA+B . ¯à ¦¥¨¥ 9.1. ਢ¥¤¨â¥ ¯à¨¬¥à â ª¨å ¬ âà¨æ, ç⮥®à¥¬ 9.2. ᫨ ¬ âà¨æ A = S −1BS , â® eA = S −1eB S . ª ª ª A = S −1 BS , â®A2 = S −1 BSS −1 BS = S −1 B 2 S, . . . , An = S −1 B n S.«¥¤®¢ ⥫ì®,eA =∞Ann=028n!=∞S −1 B n Sn=0n!= S −1∞Bnn=0n!S = S −1 eB S.¥®à¥¬ 9.4. âà¨æ (9.3)k=0ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨®è¨ ¤«ï ¬ âà¨ç®£® ãà ¢¥¨ï Φ̇(t) = AΦ(t), Φ(0) = I . ª ª ª= etA esA ¨¬ âà¨æëAt¨eAtAs¯¥à¥áâ ®¢®çë, â®e(t+s)A =e(t+h)A − etAehA etA − etA==hhehA − I tAAh=e = I++ . . . AeAt .h2!d(eAt )= AeAt .dtAB = BA.∞ Ak tkA2 t2An tn+ ...
++ ... =.2!n!k!(9.4)¥à¥å®¤ï ¢ ä®à¬ã«¥ (9.4) ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ h → 0, ¯®«ãç ¥¬,çâ®k1 k!Am B k−m + . . . =k!m!(k − m)!m=0 áᬮâਬ ¬ âà¨çãî äãªæ¨î ᪠«ïண® à£ã¬¥â eAt = E + At +®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¯à ¢¨«®¬ ¯¥à¥¬®¦¥¨ï ¡á®«îâ® á室ïé¨åáï à冷¢, ¯®«ãç ¥¬, çâ®A¥®à¥¬ 9.3. ᫨ ¬ âà¨æ A ¡«®ç®-¤¨ £® «ì ï A == diag(A1 , . .
. , Ak ), â® eA = diag(eA1 , . . . , eAk ). ®ª § ⥫ìá⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ «¥£ª® ¯à®¢¥à塞®£® ⮦¤¥á⢠An = diag(An1 , . . . , Ank ). ᨫã ä®à¬ã«ë ¨ã¢¨««ï (8.4)(9.5)«¥¤®¢ ⥫ì®, á⮫¡æë ¬ âà¨æë eAt «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¨ ®¡à §ãîâ ä㤠¬¥â «ìãî á¨á⥬ã à¥è¥¨© á¨á⥬ë ãà ¢¥¨©ẋ(t) = Ax(t).(9.6)ãáâì § ¤ ä㤠¬¥â «ì ï á¨á⥬ à¥è¥¨© x(t) == (x1 (t), . . . , xn (t)) ãà ¢¥¨ï (9.6), ¥¢ë஦¤¥ ï ¬ âà¨æ Ψ(t), á⮫¡æ ¬¨ ª®â®à®© ïîâáï ¢¥ªâ®àë x(t) == (x1 (t), . . . , xn (t)), ¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâì ¬ âà¨ç®¬ã ãà ¢¥¨î Ψ̇ = AΨ.
ª ª ª ¬ âà¨æë Ψ(t)Ψ(0)−1 ¨ eAt 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¬ âà¨ç®¬ã ãà ¢¥¨î Ẋ(t) = AX(t) ¨ ç «ì®¬ãw(t) = det eAt = et Sp A > 0.29ãá«®¢¨î X(0) = I , â® ¢ ᨫ㠥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨ï § ¤ ç¨®è¨ ¤«ï ¬ âà¨ç®£® ãà ¢¥¨ïeAt = Ψ(t)Ψ(0)−1 .(9.7) áᬮâਬ ¥ª®â®àë¥ ¤à㣨¥ á¯®á®¡ë ¢ëç¨á«¥¨ï ¬ âà¨ç®© íªá¯®¥âë.¥®à¥¬ 9.5. ᫨ ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â ¯à®áâë¥ á®¡á⢥륧 票ï λ1 , . .
. , λn , â® ©¤ãâáï â ª¨¥ ¯®áâ®ïë¥ ¬ âà¨æëC1 , . . . , Cn , çâ®eAt =n(9.8)Ck eλk t .k=1 âà¨æë Ck ïîâáï à¥è¥¨¥¬ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨©nAm =Ck λmk ,m = 0, . . . , n − 1.(9.9)k=1¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (9.9) ¨¬¥¥â á«¥¤ãî騩 ¢¨¤:Ck =(A − λ1 I) · · · (A − λk−1 I)(A − λk+1 I) · · · (A − λn I).(λk − λ1 ) · · · (λk − λk−1 )(λk − λk+1 ) · · · (λk − λn ) âà¨æ A ¯®¤®¡ ¤¨ £® «ì®© ¬ âà¨æ¥A = S −1 diag(λ1 , . . . , λn )S,(9.10)At = S −1 diag(λ1 t, . .
. , λn t)S.eAt = S −1 diag(eλ1 t , . . . , eλn t )S.¥à¥¬®¦ ï ¬ âà¨æë, ¯®«ã稬 ä®à¬ã«ã (9.8). ᪫ ¤ë¢ ï¯à ¢ãî ¨ «¥¢ãî ç á⨠⮦¤¥á⢠(9.8) ¢ á⥯¥ë¥ àï¤ë ¨ ¯à¨à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ t0 , . . . , tn−1 , ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬ããà ¢¥¨© (9.9).᪫îç ¥¬ ¨§ á¨á⥬ë (9.9) Cn , ¢ëç¨â ï ¨§ ª ¦¤®£® ãà ¢¥¨ï ¯à¥¤ë¤ã饥, 㬮¦¥®¥ λn . ®«ãç ¥¬ á¨á⥬ããà ¢¥¨©Am−1 (A − λn I) =k=130Am−2 (A − λn I)(A − λn−1 I) =n−2=Ck λm−2(λk − λn )(λk − λn−1 ),kCk λm−2(λk − λn ),km = 1, n − 1. (9.11)m = 1, n − 2.k=1த®«¦ ï ¤ «ìè¥ íâ®â ¯à®æ¥áá ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮣® ¨áª«î票ï, ®ª®ç â¥«ì® ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥(A − λn I)(A − λn−1 I) · · · (A − λ2 I) = C1 (λ1 − λn ) · · · (λ1 − λ2 ),(A − λ2 I) · · · (A − λn I)C1 =.(λ1 − λ2 ) · · · (λ1 − λn )áâ «ìë¥ ä®à¬ã«ë (9.10) ¯®«ãç îâáï ªà㣮¢®© § ¬¥®©¨¤¥ªá®¢.ਬ¥à 9.1.