Матричные функции и линейные дифференциальные уравнения - Крикоров, страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Матричные функции и линейные дифференциальные уравнения - Крикоров", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
®á¯®«ì§ã©â¥áì á«¥¤ãî騬¨ á®®â®è¥¨ï¬¨: ª § ¨ ¥. ®á¯®«ì§ã©â¥áì ⥬, çâ® á®®â®è¥¨¥ (3.1) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ® ¢ ¢¨¤¥(aij (t) − aij (t0 )) = a0ij (t − t0 ) + (t − t0 )Ψij (t) .|aij (t2 ) − aij (t1 )| A(t2 ) − A(t1 ) =m n =(aij (t2 ) − aij (t1 ))2 .i=1 j=1®¤ã«ì ¥¯à¥à뢮áâ¨ω(f, E, δ) =supt1 ,t2 ∈E,|t2 −t1 |<δA(t2 ) − A(t1 ).§ 4. ¯à¥¤¥«¥ë© ¨â¥£à «ãáâì A(t) = (aij (t)) | ¥¯à¥àë¢ ï ¬ âà¨ç ï äãªæ¨ï ®â१ª¥ [a, b]. ª ª ª ¥¯à¥àë¢ë¥ äãªæ¨¨ aij (t) ¨â¥£à¨à㥬ë, â® ¯®«®¦¨¬ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î, çâ®¯à ¦¥¨¥ 3.3.
®ª ¦¨â¥, çâ® ¤«ï à ¢®¬¥à®© ¥-¯à¥à뢮á⨠äãªæ¨¨ A(t) ¬®¦¥á⢥ E ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¬®¤ã«ì ¥¯à¥à뢮á⨠áâ६¨«áï ª ã«î ¯à¨δ → 0.ந§¢®¤ ï ¬ âà¨æë ¢ â®çª¥ t0 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª á«¥¤ãî騩 ¯à¥¤¥«:A (t0 ) = limt→t0A(t) − A(t0 ).t − t0â®çª¥ t0 ¯à®¨§¢®¤ãî 0 ) ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥,ª®£¤ áãé¥áâ¢ãî⠯ந§¢®¤ë¥ aij (t0 ) ¨ A (t0 ) = aij (t0 ) . ª § ¨ ¥. ®á¯®«ì§ã©â¥áì á®®â®è¥¨¥¬A (tA(t) − A(t0 )=t − t0aij (t) − aij (t0 )t − t0¨ ⥮६®© 3.1. âà¨æ A(t) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ t0 , ¥á«¨ ©¤¥âáïâ ª ï ¬ âà¨æ A0 , çâ®A(t) − A(t0 ) = A0 (t − t0 ) + (t − t0 )Ψ(t),(3.1)¯à¨ t → t0 .¯à ¦¥¨¥ 3.5.
®ª ¦¨â¥, çâ® ¬ âà¨æ A(t) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ t0 ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë ¢á¥ ª®¬¯®¥âë aij (t) ¬ âà¨æë ¨ A0 = A (t0 ) == (aij (t0 )).Ψ(t) → 012A(t) dt =aãáâì T = (t0 , . . . , tN )= ti − ti−1 . â¥£à «ì륢¨¤¥:σT (A) =¯à ¦¥¨¥ 3.4. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¬ âà¨æ A(t) ¨¬¥¥â ¢bNaA(tm )|Δm | =aij (t) dt(4.1)| à §¡¨¥¨¥ ®â१ª [a, b], |Δi | =áã¬¬ë ¬®¦® ¢§ïâì ¢ á«¥¤ãî饬m=1bNaij (tm )|Δm | = (σT (aij )) .(4.2)m=1 ᫨ Tk | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì à §¡¨¥¨©á ¬¥«ª®áâìî, b áâ६ï饩áï ª ã«î, â® ¨â¥£à «ìë¥ á㬬ëσT (aij ) → a aij (t) dt ¯à¨ k → ∞.
§ à ¢¥á⢠(4.2) á«¥¤ã¥â,çâ®klim σTk (A) = lim (σTk (aij )) =k→∞ b baij (t) dt =A(t) dt.= lim σTk (aij ) =k→∞k→∞aa(4.3)¢®©á⢠®¯à¥¤¥«¥®£® ¨â¥£à « ®â ¬ âà¨çëå äãªæ¨©«¥£ª® ¢ë¢®¤ïâáï ¨§ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ᢮©á⢠®¯à¥¤¥«¥®£®¨â¥£à « ¤«ï ᪠«ïàëå äãªæ¨©. ¨¦¥ ¯à¨¢¥¤¥ë ¥ª®â®àë¥, ¨á¯®«ì§ã¥¬ë¥ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ᢮©á⢠¨â¥£à « .1) ®à¬ã« ìîâ® {¥©¡¨æ ¤«ï ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¬ âà¨ç®© äãªæ¨¨:bA (t) dt =aabaij (t) dt= (aij (b) − aij (a)) = A(b) − A(a). (4.4)132)ad bA(t) dtA(t) dt.(4.5)a®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ᢮©á⢠¬¨ ®à¬ë ¬ âà¨æë, ¯®«ãç ¥¬¥à ¢¥á⢮NN A(ti )|Δi | A(ti ) · |Δi | = σT (A).σT (A) = i=1¥®à¥¬ 4.1. ᫨ ¬ âà¨ç ï äãªæ¨ï A(t) ¨¬¥¥â ¨-â¥à¢ «¥ ¥¯à¥àë¢ãî ¯à®¨§¢®¤ãî ¯®à浪 m + 1, â® á¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¬ã« ¥©«®à á ®áâ â®çë¬ ç«¥®¬ ¢ ¨â¥£à «ì®©ä®à¬¥:A(t) =Tkª®áâìî, áâ६ï饩áï ª ã«î.
¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨á ¬¥«-k→∞|σTk (A)| σTk (|A|), ¯®«ãç ¥¬ ¥à ¢¥á⢮ (4.5).2) ᫨ ¬ âà¨æë A(t) ¨ B(t) ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë ¨â¥à¢ «¥ (a, b) ¨ ®¯à¥¤¥«¥® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ A(t)B(t),â® ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå â®ç¥ª ¨§ ¨â¥à¢ « (a, b) á¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¢ ¥à ¢¥á⢥rm (t) =t2A(t)B (t) dt =t1= A(t2 )B(t2 ) − A(t1 )B(t1 ) −t2A (t)B(t) dt. (4.6)t1ç áâï¬. ª § ¨ ¥. ந⥣à¨àã©â¥ à ¢¥á⢮ A(t)B (t)(A(t)B(t)) − A (t)B(t).=3) ®à¬ã« ª®¥çëå ¯à¨à 饨©.
᫨ ¬ âà¨ç ï äãªæ¨ïA(t)[a, b] ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 τ ∈ (a, b) â ª ï, çâ® A(b) − A(a) = A (τ ) (b − a).(4.7)¥¯à¥àë¢ ®â१ª¥¨â¥à¢ «¥(a, b),â® ©¤¥âáï â®çª A (t) ©¤¥âáï â b ª ï â®çª τ ∈ (a, b), çâ® a A (t) dt = A (τ )(b − a). ®í⮬ã bA (t) dtA(b) − A(a) = «ï ¥¯à¥à뢮© ᪠«ïன äãªæ¨¨aa14b10t, t0 ∈ (a, b),(4.8)A(m+1) (t0 + u(t − t0 ))(1 − u)m du.§ 5. ãªæ¨® «ìë¥ ¬ âà¨ç륯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¨ àï¤ë¯à ¦¥¨¥ 4.1. ®ª ¦¨â¥ ä®à¬ã«ã ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯®=(t − t0 )m+1m!(t − t0 )k + rm (x); ª ª ª ä®à¬ã« (4.8) á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ª ¦¤®© äãªæ¨¨aij (t), â® ® á¯à ¢¥¤«¨¢ ¨ ¤«ï ¬ âà¨æë A(t) = (aij (t)).¬ã« ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® ç áâï¬:k!k=0i=1ãáâì § ¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì à §¡¨¥¨©mA(k) (t0 )A (t) dt = A (τ )(b − a). ãáâì ç¨á«®¢®¬ ¬®¦¥á⢥®áâì ¬ âà¨çëå äãªæ¨©T§ ¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-Ak (t).Ak (t) á室¨âáï à ¢®¬¥à®A(t), ¥á«¨ sup Ak (t) − A(t) → 0 âà¨ç ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬®¦¥á⢥¯à¨Tª ¬ âà¨æ¥t∈Tk → ∞.¯à ¦¥¨¥ 5.1.®ª ¦¨â¥, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìAk (t) = akij (t) á室¨âáï à ¢®¬¥à® ¬®¦¥á⢥ Tª ¬ âà¨æ¥ A(t) = (aij (t)) ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¢á¥¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠akij (t) á室ïâáï à ¢®¬¥à® ª äãªæ¨ï¬aij (t).¬ âà¨æ ª § ¨ ¥.
®á¯®«ì§ã©â¥áì ⥬, çâ®|akij (t) − aij (t)| Ak (t) − A(t) sup Ak (t) − A(t),t∈Tmmn n (akij − aij )2 sup |akij − aij |2 .Ak (t)−A(t) = i=1 j=1i=1 j=1 t∈T¥®à¥¬ 5.1. ᫨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¥¯à¥àë¢ëå ®â१ª¥ [a, b] ¬ âà¨çëå äãªæ¨© Ak (t) = (akij (t)) á室¨âáï à ¢15®¬¥à® ª ¬ âà¨æ¥ A(t) = (aij (t)), â® ¬ âà¨æ A(t) ¥¯à¥àë¢ ®â१ª¥ [a, b]. ª ª ª ¢á¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠akij (t) á室ïâáï à ¢®¬¥à®ª äãªæ¨ï¬ aij (t), â® äãªæ¨¨ aij (t) ¥¯à¥àë¢ë.
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥¯à¥àë¢ ¬ âà¨æ A(t).= limn→∞¥®à¥¬ 5.2. ᫨ ¬ âà¨ç ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì An (t)á室¨âáï à ¢®¬¥à® ®â१ª¥ [a, b] ª ¬ âà¨æ¥ A(t), â®limk→∞ abAk (t) dt =bA(t) dt.a(5.1) ®ª § ⥫ìá⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ ¥à ¢¥á⢠b bAk (t) dt −A(t) dtaa bAk (t) − A(t) dt (b − a) sup Ak (t) − A(t). at∈[a,b]∞ âà¨çë© àï¤ Ak (t), t ∈ T á室¨âáï à ¢®¬¥à® k=1®â१ª¥ [a, b], ¥á«¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ç áâ¨çëå á㬬 Sn (t)à ¢®¬¥à® ®â१ª¥ [a, b] á室¨âáï ª ¬ âà¨æ¥ S(t).
§ ⥮६ë 5.2 á«¥¤ã¥â, çâ® äãªæ¨ï S(t) ¥¯à¥àë¢ ®â१ª¥[a, b].¥®à¥¬ ∞5.3. ᫨ äãªæ¨¨ Ak (t) ¥¯à¥àë¢ë ®â१ª¥[a, b] ¨ àï¤Ak (t) á室¨âáï à ¢®¬¥à® [a, b], â®k=1 b ∞∞ bAk (t) dt =Ak (t) dt.ak=1¥à¥å®¤ï ¢ à ¢¥á⢥abSn (t) dt =k=1n aabAk (t) dtª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ n→ ∞, ¯®«ãç ¥¬á«¥¤ãî饥 à ¢¥á⢮:bS(t) dt =a16ab∞k=1k=1Ak (t) dt =n bak=1¥®à¥¬ 5.4. ᫨ äãªæ¨¨[a, b], t0 ∈ [a, b], àï¤∞k=1Ak (t0 )∞k=1k=1Ak (t) dt. Ak (t)á室¨âáï, â® ª ª ª àï¤[t0 , t],∞k=1Ak (t)=k=1Ak (τ )k=1=Ak (t).á室¨âáï à ¢®¬¥à® «î¡®¬ ®â-â® ¥£® á㬬 t0∞k=1φ(τ ) =[t0 , t] ¨ t t ∞φ(τ ) dτ =Ak (τ ) dτ =t0ab¥¯à¥àë¢ë ®â१ª¥Ak (t) á室¨âáï à ¢®¬¥à® [a, b], àï¤∞१ª¥Ak (t) dt =∞ ∞ k=1tt0∞k=1Ak (τ ) dτ =¥¯à¥àë¢ Ak (τ )∞Ak (t) −k=1∞Ak (t0 ).k=1¨ää¥à¥æ¨àãï í⮠⮦¤¥á⢮,¯®«ãç ¥¬à ¢¥á⢮φ(τ ) =∞Ak (τ )k=1=∞Ak (τ ).k=1§ 6.
⥯¥ë¥ àï¤ë á ¬ âà¨ç묨ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ãáâì § ¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬ âà¨æ Ak . áᬮâਬá⥯¥®© àï¤∞Ak (t − t0 )k .(6.1)k=0ਠ¨§ã票¨ ᢮©áâ¢á⥯¥ëå à冷¢ ¤®áâ â®ç® à á∞ᬠâਢ âì àï¤ë ¢¨¤ Ak tk .k=017∞ ᫨ Ak αk , â® á⥯¥®© àï¤αk tk ¡ã¤¥â ¬ ¦®k=0à âë¬ á⥯¥ë¬ à冷¬ ¤«ï àï¤ (6.1). ç áâ®áâ¨, àï¤∞Ak tk ¡ã¤¥â ¬ ¦®à âë¬. ᫨ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠¬ k=0¦®à ⮣® àï¤ à ¢¥ r, â® ¯® ¯à¨§ ªã áà ¢¥¨ï àï¤ (6.1)á室¨âáï ¯à¨ |t − t0 | < r, â ª ª ª Ak tk αk |t|k , á⥯¥®©àï¤ á室¨âáï ¡á®«îâ® ¨â¥à¢ «¥ á室¨¬®áâ¨. áᬮâਬàï¤ë, ¯®«ãç¥ë¥ ä®à¬ «ìë¬ ¯®ç«¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ∞¨¥¬ àï¤ Ak tk :k=0∞kAk tk−1,∞k=1k=2∞∞k(k − 1)Ak tk−2k=1k=2¥®à¥¬ 6.1.
᫨ f (t)=∞k=1=(6.3)k(k − 1)αk tk−2 .∞k=0Ak tk , |t| < r,â®f (t) =kAk tk−1 .ãáâì |t| r, |t + Δt| r. ਠ«î¡®¬ u ∈ [0, 1] ¢ë¯®«¥®¥à ¢¥á⢮ |t + uΔt| r. ਬ¥ïï ä®à¬ã«ã ¥©«®à á ®áâ â®çë¬ ç«¥®¬ ¢ ¨â¥£à «ì®©ä®à¬¥,¯®«ãç ¥¬, çâ® k(k − 1)(t + Δt)k − tk − ktk−1 Δt = 210(t + uΔt)k−2 ãáâì φ(t) =∞k=0kAk tk−1 ,|t| < r.k(k − 1) k−2r .2®£¤ f (t + Δt) − f (t) − φ(t)Δt =∞kkk−1=Ak (t + Δt) − t − kt Δt |Δt|2 C(r),k=118αkk=2k(k − 1) k−2r .2«¥¤®¢ ⥫ì®, f (t) | ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï äãªæ¨ï ¨f (t) = φ(t) =∞kAk tk−1 .k=1¯à ¦¥¨¥ 6.1.
ãáâì f (t) =∞¨ ¬ ¦®à âë© àï¤ á室¨âáï ¯à¨ |t − t0 | r. ®ª ¦¨â¥, çâ®f (k) (t0 )Ak =,k!(6.2).ï¤ë (6.2) á室ïâáï ¯à¨ |t| < r, â ª ª ª á室ïâáï ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬ ¦®à âë¥ àï¤ë:kαk tk−1 ,C(r) =∞f (t) =∞f (k) (x0 )k!k=0k=0Ak (t − t0 )k(t − t0 )k ,|t − t0 | r.§ 7. ¨¥©®¥ ¬ âà¨ç®¥¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ãáâì ª¢ ¤à â ï ¬ âà¨æ A(t) ¨¬¥¥â à §¬¥àë p × n ¨ ¥¯à¥àë¢ ®â१ª¥ [a, b], x0 | ¯®áâ®ï ï ¬ âà¨æ à §¬¥à n × p. áᬮâਬ § ¤ çã ®è¨ ¤«ï ¬ âà¨ç®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï:dx= A(t)x,dtt ∈ [a, b],x(t0 ) = x0 ,t0 ∈ [a, b],(7.1)£¤¥ x(t) | ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï ¬ âà¨æ à §¬¥à n × p.
᫨ x(t) | ¬ âà¨æ -á⮫¡¥æ, â® ¬ âà¨ç®¥ ãà ¢¥¨¥ (7.1) ¡ã¤¥â ®¡ë箩 á¨á⥬®© «¨¥©ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©.¥®à¥¬ 7.1. ¤ ç ®è¨ (7.1) ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥. ¥è¥¨¥§ ¤ ç¨ ®è¨ ¥¤¨á⢥®.¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ®è¨ íª¢¨¢ «¥â® à¥è¥¨î ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï:x(t) = x0 +tA(u)x(u) du.t0(7.2)19 áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï:x1 (t) = x0 +xk (t) = x0 +∞0tA(u)x0 du,0(7.3)t0A(u)xk−1 (u) du,k 1.∞(xk (t) − xk−1 (t)) .(7.4)k=1«ï ¤®ª § ⥫ìáâ¢ à ¢®¬¥à®© á室¨¬®á⨠àï¤ (7.4) ¯®áâந¬ á室ï騩áï ¬ ¦®à âë© àï¤. ¥¯à¥àë¢ ï ®â१ª¥ [a, b] äãªæ¨ï A(t) ®£à ¨ç¥ , A(t) M .
¥§ ®£à ¨ç¥¨ï ®¡é®á⨠¬®¦® áç¨â âì, çâ® t t0 . ®ª ¦¥¬, çâ®á¯à ¢¥¤«¨¢® ¥à ¢¥á⢮xk (t) − xk−1 (t) M k (t − t0 )kx0 .k!(7.5)ਠk = 1 ¥à ¢¥á⢮ (7.5) á¯à ¢¥¤«¨¢®:x1 (t) − x0 tt0A(u) · du M (t − t0 )x0 .(7.6)xk+1 (t) − xk (t) tt0tMkt0k!A(u) · xk (u) − xk−1 (u) du (u − t0 )k x0 du =M k+1 (t − t0 )k+1x0 .k!§ ¯à¨æ¨¯ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¨¤ãªæ¨¨ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥à ¢¥á⢮ (7.5) á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï «î¡®£® ®¬¥à k.§ ¥à ¢¥á⢠(7.5) á«¥¤ã¥â, çâ®xk (t) − xk−1 (t) αk =20M k (b − a)kx0 .k!k=1k0kk∞xk (t) − xk−1 (t) x(t) = x0 +k=1 x0 +∞M k (b − a)kk=1k!x0 = eM (b−a) x0 .(7.7) ᫨ x = 0, â® x(t) = 0.
âáî¤ á«¥¤ã¥â ¥¤¨á⢥®áâìà¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ®è¨. ᫨ § ¤ ç ®è¨ (7.1) ¨¬¥¥â ¤¢ à¥è¥¨ï x (t) ¨ x (t), â® äãªæ¨ï x(t) = x (t) − x (t) ï¥âáïà¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨ ®è¨ á ã«¥¢ë¬ ç «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ® à ¢ ã«î. áᬮâਬ § ¤ çã ®è¨ ¤«ï ᮯà殮®£® ãà ¢¥¨ï:dy(7.8)= −A(t) y, y(t ) = y .dt ¤ ç ®è¨ (7.8) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ ¢ ᨫã ⥮६ë 7.1.¥®à¥¬ 7.2. ᫨ ¬ âà¨æ y(t) ï¥âáï à¥è¥¨¥¬§ ¤ ç¨ ®è¨ (7.8), ¬ âà¨æ x(t) | à¥è¥¨¥¬ § ¤ 稪®è¨ (7.7), â® y(t) x(t) = y x . ਬ¥ïï ®¯¥à æ¨î âà ᯮ¨à®¢ ¨ï ª ãà ¢¥¨î (7.8),¯®«ãç ¥¬ à ¢¥á⢮01 ᫨ ¥à ¢¥á⢮ (7.5) ¢¥à® ¤«ï ¥ª®â®à®£® ®¬¥à k, â®®® ¢¥à® ¨ ¤«ï ®¬¥à k + 1, â ª ª ªM (b−a)k→∞®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì xk (t) á室¨âáï à ¢®¬¥à® [a, b] ¢â®¬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ à ¢®¬¥à® á室¨âáï àï¤x0 + ¦®à âë© àï¤ x + α á室¨âáï, ¥£® á㬬 à ¢ x .