1600279217-aa14f2d4fe9be1875b5d214e8b295330 (Введение в матан - Сакбаев)

Введение в математический анализ. Часть I.К учебно-методическому пособиюВ.Ж. Сакбаев1. Множества. Отображения. Отношения.Множество, элемент множества и принадлежность элемента множеству являютсяпервичными не определяемыми понятиями.Аксиома – для всякого множества A и всякого элемента x выполняется одно итолько одно из двух условий: x ∈ A или x ∈/ A.(Только такие ситуации будут рассматриваться).Множества могут быть заданы перечислением входящих в них объектов. Например,A = {a}, B = {b1 , b2 }, C = {n ∈ NT: n2 ∈ N}SОпределяются пересечение A B и объединение A B множеств A и B, дополнениеB\A множества A до множества B. Например, x ∈ B\A ⇔ x ∈ B and x ∈/ A.

Пустоемножество определяется как множество, в которое не входит никакой элемент.Определение 1. Множество A называется подмножеством множества B (обозначается A ⊂ B), если для любого x ∈ A выполняется условие x ∈ B.Определение 2. Множества A и B называются равными (A = B) если A ⊂ B иB ⊂ A.Определение 3.Множество A называется собственным подмножеством множества B если A 6=B, A 6= и A ⊂ B.1) Множество A называется множеством, состоящим из одного элемента, еслионо не пусто и не имеет собственных подмножеств. Если при этом a ∈ A, то обозначается A = {a}.

Заметим, что a 6= {a}.2) Множество A называется состоящим из двух элементов, если оно имеет собственные подмножества, состоящие из одного элемента и любое его собственное подмножество является состоящим из одного элемента. При этом если множествоB ⊂ A есть собственное подмножество множества A, состоящее из одного элементаx, то множество A\B по условию состоит из одного элементаS y 6= x и другихсобственных подмножеств множество A не имеет.

Тогда A = {x} {y} = {x, y}.n + 1) Если определено множество, состоящее из n элементов, то множеством, состоящим из n + 1 элементов будем называть такое, которое содержит собственное подмножество, состоящее из n элементов, и любое его собственное подмножество состоит из 1,из 2, ...

, или из n элементов.Пусть А и В – два множества.Определение 4. Парой (неупорядоченной) элементов множеств A и B называетсялюбое множество {a, b}, где a ∈ A и b ∈ B.Пара элементов представляетсобой объединение двух множеств, состоящих из одSного элемента {a, b} = {a} {b}. Пара элементов {a, b} состоит либо из двух элементов,если a 6= b, либо из одного, если a = b. То есть пара элементов {a, a} как множествосовпадает с множеством {a} и еслиS множествоS {a} представляет пару элементов, то этапара есть {a, a}. Поскольку {a} {b} = {b} {a}, то {a, b} = {b, a}.1Упорядоченной парой (a, b) элементов множеств A и B называется называют такуюпару элементов множеств A и B, про которые некоторым образом указано, какой из элементов пары является первым, а какой – вторым. Зададим следующис способ выделенияпервого элемента в паре.Определение 5.

Упорядоченной парой элементов (a, b) множеств A и B называется пара элементов {a, {a, b}} множеств A и {{a, b}, a ∈ A, b ∈ B}. При этом элементa называется первым элементом упорядоченной пары (a, b), а элемент b – вторым.Если a 6= b, то (a, b) есть пара, элементами которой являются элемент a и пара{a, b}, состоящая из двух элементов. Если a = b, то (a, a) есть пара, элементами которойявляются элемент a и пара {a, a} = {a} – множество, состоящее из одного элемента.(Элемент a и множество {a} – различные объекты).Рассмотрим некоторое множество A и некоторые его элементы a, b, c, d. Тогда{a, b} = {c, d} ⇔ либо a = c, b = d, либо a = d, b = c.(a, b) = (c, d) ⇔ a = c, b = d.Определение 6.

Прямым произведением множеств A и B называется множество упорядоченных пар A × B = {(x, y), x ∈ A, y ∈ B}, в каждой из которых первыйэлемент пары является произвольным элементом множества A, а второй – произвольным элементом множества B.Рассмотреть примеры A = {1, 2}, B = {1, 2}; A = N, B = N.Определение 7. Отображением f множества A в множество B называется такоеподмножество Γ множества A × B, что выполняются следующие условия:T∀ a ∈ A множество Γ a × B состоит из одного элемента (a, f (a)).Обозначается f : A → B.

При этом множество A называется областью определенияотображения f ; множеством значний отображения f Sназывается подмножество f (A) ={y ∈ B : ∃ x ∈ A : (x, y) ∈ Γ} = {f (x), x ∈ A} ={f (x)} множества B. При этомx∈Aговорят, что элемент f (a) ∈ B является значением отображения f в точке a ∈ A.Если A = N – множество натуральных чисел и B = Q – множество рациональныхчисел, то отображение f : N → Q называется последовательностью рациональных чисел.Если f : A → B, то говорят, что задано правило, сопоставляющее каждому элементумножества A единственный элемент множества B.Определение 8.

Отношением в множестве A называется подмножество F множества A×A. При этом говорится, что элементы x ∈ A и y ∈ A связаны отношениемF , если (x, y) ∈ F .Определение 9. Отношением порядка в множестве A называется такое отношение F , что выполняются следующие условия:1. ∀ a ∈ A (a, a) ∈ F ;2. Если (a, b) ∈ F и (b, c) ∈ F , то (a, c) ∈ F .3.

Если (a, b) ∈ F (b, a) ∈ F , то a = b.Определение 10. Отношением линейного порядка в множестве A называетсятакое отношение порядка F , что выполняется условие:4. Если условие (a, b) ∈ F не выполнено, то выполнено условие (b, a) ∈ F .Если на множестве A задано отношение линейного порядка F , то это означает, чтона множестве определена операция ≺ сравнения двух элементов такая, что для любыхдвух элементов a и b множества A выполяется хотя бы одно из двух условий a ≺ b и2b ≺ a; оба из этих условий выполнены одновременно тогда и только тогда, когда a = b;выполняется условие транзитивности a ≺ b, b ≺ c ⇒ a ≺ c.Примером отношения линейного порядка может служить отношение ≤ на множествеA вещественных, рациональных или целых чисел.Рассмотрим отношение ≺ на множестве точек плоскости π с фиксированным началомкоординат Q.

Будем говорить, что точка A ∈ π предшествует точке B ∈ π и писатьA ≺ B, если |QA| ≤ |QB|. Проверить, что отношение ≺ на множестве точек плоскости πудовлетворяет условиям 1-3 определения 9, но не удовлетворяет условию 4 определения10.Определим на множестве векторов плоскости отношение ≺ по следующему правилу:будем говорить, что векторы a, b плоскости связаны отношением ≺ если они коллинеарны и выполняется неравенство |a| ≤ |b|. Какие из условий определений 9, 10являются выполненными, а какие – нет?2.

Множество вещественных чисел R.Определение 1. Множеством действительных (вещественных) чисел называетсямножество R, содержащее более одного элемента, на котором определены операциисложения ⊕ : R × R → R иумножения : R × R → Rи отношение линейного порядка ≤, таким образом, что выполняются следующие 16аксиом (см. Г.Е. Иванов. Т.

1.)I. Аксиомы сложения.1)2)3)4)a + b = b + a ∀ a, b ∈ R;a + (b + c) = (a + b) + c ∀ a, b, c ∈ R;∃0 ∈ R : a + 0 = a ∀ a ∈ R;∀ a ∈ R ∃(−a) ∈ R : a + (−a) = 0.II. Аксиомы умножения.1)2)3)4)ab = ba ∀ a, b ∈ R;a(bc) = (ab)c ∀ a, b, c ∈ R;∃ 1 ∈ R : a · 1 = a ∀ a ∈ R;∀ a ∈ R : a 6= 0 ∃a−1 ∈ R : a · a−1 = 1.III. Аксиома связи сложения с умножением.1) a(b + c) = ab + ac ∀ a, b, c ∈ R;IV.

Аксиомы порядка.На множестве R определено линейное отношение порядка ≤ таким образом, что1) x ≤ x ∀ x ∈ R;2) для любых x, y ∈ R из нарушения условия x ≤ y следует выполнение условияy ≤ x (т.е. хотя бы одно из двух условий x ≤ y и y ≤ x должно быть выполнено);3) Если x, y ∈ R и выполнены оба условия x ≤ y и y ≤ x, то x = y;4) Если x, y, z ∈ R и выполнены условия x ≤ y и y ≤ z, то x ≤ z;V. Аксиома связи порядка и сложения.1) Если a, b, c ∈ R и a ≤ b, то a + c ≤ b + c;3VI. Аксиома связи порядка и умножения.1) Если a, b, c ∈ R, a ≤ b и c ≥ 0, то ac ≤ bc;VI. Аксиома непрерывности.Если A и B – два непустых подмножества множества R таких, что для любого a ∈ A илюбого b ∈ B выполняется неравенство a ≤ b, то существует такое c ∈ R, что неравенствоa ≤ c ≤ b выполняется для любых a ∈ A и b ∈ B.Упражнение.Доказать, что нулевой элемент в множестве R единствен.Доказать, что для каждого элемента a ∈ R противоположный элемент в множествеR единствен.Доказать, что если a + b = a при некоторых a, b ∈ R, то b = 0.Доказать, что для любого a ∈ R выполняется равенство a · 0 = 0.Доказать, что 0 < 1.Доказать, что единичный элемент в множестве R единствен.Доказать, что нулевой элемент не может иметь обратного.Доказать, что для каждого ненулевого элемента a ∈ R обратный элемент в множествеR единствен.Доказать, что если a, b, c ∈ R, a ≤ b и c ≤ 0, то ac ≥ bc.Модулем числа a ∈ R называется число |a| ∈ R, равное a при условии a ≥ 0 и равное−a при условии a < 0.Лемма 1.

Для любых двух чисел x, y ∈ R неравенство |x| ≤ y равносильно системеиз двух неравенств −y ≤ x ≤ y.Доказать самим.Лемма 2. Для любого числа a, b ∈ R справедливы неравенства−|a| ≤ a ≤ |a|.(1)Доказать самим.Лемма 3. Для любых чисел a, b ∈ R справедливы неравенства|a + b| ≤ |a| + |b|.(2)||a| − |b|| ≤ |a − b|.(3)В силу леммы 1Рассмотрим следующие подмножества множества R:Множеством натуральных чисел N будем называть такое подмножество N ⊂ R, что1.

1 ∈ N;2. Если a ∈ N, то a + 1 ∈ N;3. Для любых чисел a, b ∈ N таких, что a 6= b, выполняется неравенство |b − a| ≥ 1;4. Для любого a ∈ N выполняется условие a ≥ 1.Множеством натуральных чисел N можно определить и как наименьшее из всехподмножеств множества R, удовлетворяющих условиям 1. и 2.4Проверить, что множество мощностей непустых конечных множеств (см. стр. 1) удовлетворяет условиям 1.-4.Множеством целых чисел Z будем называть такое подмножество Z ⊂ R, представиS Sмое в виде объединения трех попарно непересекающихся множеств Z = {0} N N− ,где N− – множество элементов R, противоположные к которым являются элкементамимножества N.Доказать, что множество Z допускает следующее аксиоматическое определение.Упражнение.