1600279217-aa14f2d4fe9be1875b5d214e8b295330 (Введение в матан - Сакбаев), страница 2

Подмножество P ⊂ R такое, что выполняются следующие три условия1. 1 ∈ P;2. Если a ∈ N, то a + 1, a − 1 ∈ P;3. Для любых чисел a, b ∈ P таких, что a 6= b, выполняется неравенство |b − a| ≥ 1;совпадает с множеством целых чисел Z.Рассмотрим множество M всех чисел (рациональных дробей) из множества R, пред, где m ∈ Z, n ∈ N. На множество M определим отношениеставимых в виде mn−1 ≡ mnэквивалентности или равенства двух элементовm1m2=⇔ m1 n2 = m2 n1 .n1n2Множеством рациональных чисел Q будем называть множество классов равных между собой дробей из множества M.

Например, дроби 12 , 24 , 36 , ... представляют собой классэквивалентных между собой дробей множества M. Из каждого класса эквивалентныхмежду собой дробей множества M можно выбрать элемент с наименьшим (натуральным!) знаменателем, называемый несократимой рациональной дробью.Таким образом, множество рациональных чисел Q есть множество несократимыхрациональных дробей.Упражнение.Доказать, что множество Z удовлетворяет условию:Если A и B – два непустых подмножества множества Z таких, что для любого a ∈ A илюбого b ∈ B выполняется неравенство a ≤ b, то существует такое c ∈ Z, что неравенствоa ≤ c ≤ b выполняется для любых a ∈ A и b ∈ B.Упражнение.Доказать, что множество Q не удовлетворяет условию:Если A и B – два непустых подмножества множества Q таких, что для любого a ∈ A илюбого b ∈ B выполняется неравенство a ≤ b, то существует такое c ∈ Q, что неравенствоa ≤ c ≤ b выполняется для любых a ∈ A и b ∈ B.Определим такие подмножества множества чисел R как отрезки, интервалы и полуинтервалы.Введем в рассмотрение множество R̄, представляющее собой объединение множестваR с парой различных элементов {−∞, +∞}, на котором определено отношение порядка ≤таким образом, что для любого x ∈ R выполняются условия −∞ ≤ x ≤ +∞ (посколькуэлементы −∞, +∞ множества R̄ не совпадают ни с одним элементом x ∈ R, то длялюбого x ∈ R выполняются условия −∞ < x < +∞).52.

Грани и точные грани подмножеств множества вещественных чисел R и расширенной числовой прямой R̄.Определение 1. Число B ∈ R называется верхней (нижней) гранью множестваA ⊂ R если выполняется условие∀a ∈ Aa ≤ B(∀ a ∈ A a ≥ B).Опредлить множество верхних граней множеств A = {0}, A = (0, 1) и A = .Определение 2. Множество A ⊂ R называется ограниченным сверху, если существует такое M ∈ R, что для любого a ∈ A выполняется условие a ≤ . В противномслучае множество A называется неограниченным сверху.Множество A ⊂ R называется ограниченным снизу, если существует такое m ∈ R,что для любого a ∈ A выполняется условие a ≥ m.

В противном случае множество Aназывается неограниченным снизу.Множество A называется ограниченным, если оно ограничено сверху и ограниченоснизу.Доказать, что множество A ограничено тогда тогда и только тогда, когда выполняется условие∃ M ∈ R : ∀ a ∈ A |a| ≤ M.Определение 3. Число β ∈ R называется точной верхней гранью множества A ∈ R,если выполняются следующие два условия:∀ a ∈ A a ≤ β,(1)∀ β 0 < β ∃ a ∈ A : a > β 0.(2)В этом случае говорят, что β = sup(A).Таким образом, число β ∈ R называется точной верхней гранью множества A ∈ R,если само оно является верхней гранью множества A, но любое меньшее число уже неявляется верхней гранью множества A.Аналогично определяется и точная нижняя грань множества A: число α ∈ R называется точной нижней гранью множества A ∈ R, если само оно является нижней граньюмножества A, но любое большее число уже не является нижней гранью множества A.Определение 4.

Число α ∈ R называется точной верхней гранью множества A ∈ R,если выполняются следующие два условия:∀ a ∈ A a ≥ α,(1)∀ α0 > α ∃ a ∈ A : a < α0 .(2)В этом случае говорят, что α = inf(A).Найти sup и inf множеств (0, 1) и [0, 1].Множество A неограничено сверху, если оно не является ограниченным сверху, т.е.если∀ M ∈ R ∃ a ∈ A : a > M.(5)6Аналогично, множество A неограничено снизу, если оно не является ограниченным снизу,т.е. если∀ M ∈ R ∃ a ∈ A : a < M.(6)Таким образом, множество A неограничено сверху, если оно не имеет верхней гранив множестве R; множество A неограничено снизу, если оно не имеет нижней грани вмножестве R.Для определения точных граней неограниченных числовых множеств введем следующее определение точных граней для подмножеств расширенной числовой прямой.Определение 5.

Элемент β ∈ R̄ называется точной верхней гранью множестваA ∈ R̄, если выполняются следующие два условия:∀ a ∈ A a ≤ β,(1)∀ β 0 < β ∃ a ∈ A : a > β 0.(2)В этом случае говорят, что β = sup(A).Определение 6. Элемент α ∈ R̄ называется точной верхней гранью множестваA ∈ R̄, если выполняются следующие два условия:∀ a ∈ A a ≥ α,(1)∀ α0 > α ∃ a ∈ A : a < α0 .(2)В этом случае говорят, что α = inf(A).Лемма 1.

Если множество A ⊂ R не ограничено сверху (снизу), то элемент +∞ ∈ R̄(элемент −∞ ∈ R̄) является его супремумом (инфимумом).Действительно, если множество A ⊂ R не ограничено сверху, то выполняется условие(5). Поэтому элемент +∞ удовлетворяет условиям (1) и (2) определения 5, ибо ∀ a ∈ A ⊂R, a ≤ +∞ и в силу (5) ∀ β 0 < +inf ty ∃ a ∈ A : a > β 0 . Таким образом, +∞ является супремумом множества A.Случай инфимума неограниченного снизу множества рассматривается аналогично.Теорема 1.

Если A ⊂ R – непустое числовое множество, то существует единственныйэлемент β = sup(A) и существует единственный элемент α = inf(A). При этом еслимножество A ограничено (не ограничено) сверху, то sup(A) ∈ R (то A = +∞), а еслимножество A ограничено (не ограничено) снизу, то inf(A) ∈ R (то inf A = −∞).Доказательство. Пусть A ⊂ R и A 6= . Тогда либо множество A ограничено сверху,либо неограничено сверху. Если множество A неограничено сверху, то согласно лемме 1оно имеет супремум β = +∞ ∈ R.Докажем, что если множество A ограничено сыерху, то оно имеет супремум.

Пустьмножество A ограничено сверху, то множество B = {M ∈ R : ∀x ∈ A x ≤ M } верхних граней множества A является непустым множеством вещественных чисел. При этомвыполняется условие:∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B a ≤ b.Следовательно, согласно аксиоме непрерывности 16, существует такое число c ∈ R, что∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B a ≤ c ≤ b.7(7)Докажем, что число c является супремумом множества A/ Согласно (7) число cудовлетворяет условию (1) определения 3.

При этом если c0 < c, то согласно (7) выполненоусловие c0 ∈/ B. Поэтому c0 не является верхней гранью множества A и, следовательно,существует такое a0 ∈ A, что a0 > c. Таким образом, для числа c выполнены условия (1)и (2) определения 3, то есть c = sup(A).Докажем единственность супремума множества A. Предположим, что некотороенепустое множество A ⊂ R̄ имеет два различных супремума c, ĉ ∈ R̄. Тогда либо c < ĉ,либо ĉ < c. Пусть для определенности ĉ < c.

Так как c = sup(A), то согласно условию (2)определения 5 ∃ a ∈ A : a > ĉ. Но это противоречит условию ĉ = sup(A); следовательно,предположение не верно.Рассмотрение инфинума проводится аналогично.Определение 7. Число M ∈ R называется максимальным (минимальным) элементом множества A ⊂ R, если выполняются условия:1. M ∈ A;2. для любого x ∈ A выполняется неравенство x ≤ M (выполняется неравенствоx ≥ M ).Найти супремум, инфимум, максимальный и минимальный элемент либо доказатьих отсутствие у следующих множеств – отрезка [0, 1] и интервала (0, 1).Лемма 1.

Если A ⊂ R и M – максимальный элемент A, то M = sup(A).Доказать самим.Лемма 2. Если A ⊂ R и M = sup(A), то M является максимальным элементом втом и в только том случае, когда M ∈ A.Определение 1. Множество A называется конечным, если ∃ n ∈ N такое, что A несодержит собственных подмножеств, состоящих из n элементов. (называется бесконечным, если ∀ n ∈ N множество A содержит собственное подмножество, состоящее из nэлементов).Если A – непустое конечгое множество, то существует n ∈ N такое, что множествоA состоит из n элементов.Теорема 1. Доказать, что у каждого конечного множества A ⊂ R есть максимальный элемент и минимальный элемент.Указание.

Можно применить метод математической индукции по числу элементовконечного множества.Для множества, состоящего из одного элемента, и множества, состоящено из двухэлементов, утверждение верно (проверить). Пусть утверждение верно для любого множества A, состоящего из n элементов при некотором n ∈ N, n ≥ 2. Тогда если множествоA состоит из n + 1 элемента, то ∃ a ∈ A, а множество B = A\{a} соситоит из n элементов.В силу предположения индукции B содержит максимальный элемент MB и минимальный элемент mB .

Положим Ma = max{a, MB } и mA = min{a, mB } (множество, состоящееиз двух элементов, имеет максимальный и минимальный элементы). Тогда MA = max Aи mA = min A. По принципу математической индукции утверждение верно для любогомножества A, состоящего из n при ипроизвольном n ∈ N, то есть для любого конечногомножества.Теорема 2. Принцип Архимеда.8Множество N не ограничено сверху.Предположим противное. Тогда множество N имеет точную верхнюю грань b ∈ R.Следовательно, n ≤ b ∀ n ∈ N и ∀b0 < b ∃n ∈ N : n > b0 . Из второго утверждения приb0 = b − 1 следует существование такого n ∈ N, что n > b − 1.

Согласно определениюмножества N выполняется включение n + 1 ∈ N. Тогда справедливо условие ∃ n + 1 ∈N : n + 1 > b, а это противоречит предположению b = sup(N). Полученное противоречиедоказывает утверждение.Упражнение 1. Доказать, что у всякого непустого множества A ⊂ N существуетединственный минимальный элемент.Упражнение 2. Доказать, что у всякого непустого ограниченного сверху (снизу) множества A ⊂ Z существует единственный максимальный (минимальный) элемент.Определение 2.

Для каждого числа x ∈ R его целой частью называется число[x] = max{k ∈ Z : k ≤ x}, а дробной частью числа x называется число {x} = x − [x].Теорема 3. Для любых a, b ∈ R таких, что a < b, существует рациональное числоr ∈ Q такое, что r ∈ (a, b). (Свойство плотности множества Q в множестве R.)Поскольку b − a > 0, то (b − a)−1 > 0. В силу теоремы 2 существует m ∈ N такое,что m > δ −1 . Следовательно,m−1 < b − a.(0)Для произвольного числа a ∈ R по определению 2 выполняется условие [a] ≤ a.k, k ∈ N. Согласно принципу Архимеда мноРассмотрим рациональные числа [a] + mkжество K = {k ∈ N : [a] + m > a} не пусто.