Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).pdf), страница 45

В связи с кватернионами возник еще одинконфликт — борьба между приверженцами Гамильтона и- 218 -Грассмана, когда благодаря усилиям Гиббса в Америке и Хейвисайда вАнглии векторный анализ стал независимой ветвью математики. Этияростные споры велись между 1890 г. и первой мировой войной и нашлисвое окончательное разрешение благодаря теории групп, которая воздалакаждому методу должное в соответствующей области применения ').Вильям Кингдон Клиффорд, который умер в 1879г. на тридцатьчетвертом году жизни, преподавал в колледже Троицы (Тринити-колледж) вКембридже и в Университетском колледже в Лондоне. Он был одним изпервых англичан, понявших Римана и разделявших его глубокий интерес кпроисхождению наших пространственных представлений.

Клиффордразрабатывал геометрию движения, и для этих исследований он обобщилкватернионы Гамильтона, построив так называемые бикватернионы (1873—1876 гг.). Это были кватернионы с коэффициентами, взятыми из системыкомплексных чисел а+ b, где 2 может быть +1, —1 или 0; их можноиспользовать и для изучения движения в неевклидовых пространствах.Книга Клиффорда «Здравый смысл в точных науках» (Common Sense in theExact Sciences) и сейчас еще хороша; в ней видно родство его мышления имышления Феликса Клейна. На это родство указывает и термин«пространства Клиффорда — Клейна», обозначающий некоторые замкнутыеевклидовы многообразия в неевклидовой геометрии.

Проживи Клиффорддольше, идеи Римана могли бы оказать влияние на британских математиковна поколение раньше, чем это произошло в действительности.В течение ряда десятилетий чистая математика в странах английскогоязыка сохраняла явный уклон в формальную алгебру. Это повлияло натворчество Бенджамина Пирса из Гарвардского университета, ученикаНатаниела Боудича. Ему принадлежат выдающиеся работы и в небесноймеханике.

В 1872 г. он опубликовал свои «Линейные ассоциативныеалгебры» (Linear Associative Algebras), одно из первых систематическихисследований по гиперкомплексным числам. Этот формалистский уклон ванглийской математике, быть может, объясняет появление такогоисследования, как «Законы мысли» (The Laws') Klein F Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrdundert, II —Berlin, 1927.—S. 27—52; Schouten J. A. Grundlagen dcr Vector und Affmoranalysis,—Leipzig, 1914.- 219 -of Thought, 1854 г.) Джорджа Буля, работавшего в одном из дублинскихколледжей.

Здесь было показано, что законы формальной логики,кодифицированные Аристотелем и в течение столетий изучавшиеся вуниверситетах, сами могут быть предметом исчисления. Тут заложеныпринципы, соответствующие идее Лейбница о «всеобщей характеристике».Эта «алгебра логики»— начало того направления, которое стремилосьобъединить логику и математику. Книга Готтлоба Фреге «Основыарифметики» (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884г.) дала импульс этомунаправлению, так как там арифметические понятия выводятся из логики.Высшей точкой этих исследований в двадцатом столетии были «Основыматематики» (Principle Mathematica) Бертрана Рассела и Альфреда Уайтхеда(1910—1913 гг.), которые повлияли на позднейшие работы Гильберта поосновам арифметики и по устранению парадоксов бесконечного1).22.

Работы Кели и Сильвестра по теории инвариантов обратили на себявнимание в Германии, где несколько математиков развили эту теорию внауку, основанную на законченном алгоритме. Здесь главные фигуры —Гессе, Аронгольд, Клебш и Гордан. Гессе, который был профессором вКенигсберге, позже в Гейдельберге и Мюнхене, показал, как и Плюккер,силу метода сокращенных обозначений в аналитической геометрии. Онпредпочитал пользоваться однородными координатами и определителями.Аронгольд, преподававший в Высшей технической школе в Берлине, в1858г. написал работу, в которой он развивает последовательную символикутеории инвариантов с помощью так называемых «идеальных» множителей(что не имеет отношения к идеальным множителям Куммера). Этасимволика разрабатывалась в дальнейшем Клебшем (1861г.), в чьих руках«символика Клебша — Аропгольда» стала почти повсеместно принятымметодом систематического исследования алгебраических инвариантов.Сейчас мы видим в этой символике, также как и в векторах Гамильтона,внешних произведениях Грассмана и диадах Гиббса, частный случайтензорной aлгебры.

Пауль Гордан из Эрлангенского университета обо') См. в чтой связи: Hilbert D., Aekermann W.— Griuid ziige der theoretischenLogik.— Berlin, 1928; в русском переводе Гильберт Д., Аккерыан В. Основытеоретической логики Вступительная статья и комментарии С. А. Яновской.— М.:ИЛ, 1947.- 220 -гатил теорию инвариантов теоремой (1868—1869гг.), что каждаябинарная форма обладает конечной системой рациональных инвариантов иковариантов, с помощью которых можно в рациональном виде представитьвсе остальные рациональные инварианты и коварианты. В 1890 г.

Гильбертраспространил эту теорему Гордана, («теорему конечности») наалгебраические формы с любым числом переменных.Альфред Клебш был профессором в Карлсруэ, Гиссене и Гёттингене. Онумер в возрасте тридцати девяти лет. Его жизнь — это сгустокзамечательных достижений. В 1862 г. он опубликовал книгу по теорииупругости, следуя за французскими учеными Ламе и Сен-Венаном. Онприменил свою теорию инвариантов к проективной геометрии. Он былодним из первых, кто понял Римана, и он стал основателем той ветвиалгебраической геометрии, в которой риманова теория функций имногосвязных поверхностей применяется к действительным алгебраическимкривым.

«Теория абелевых функций» (Theorie der Abelschen Functionen,1866г.) Клебша и Гордана дает широкое изложение этих идей. Клебш такжеосновал«Математическиеанналы»(MathematischeAnnalen),математический журнал, который был ведущим в течение более чемшестидесяти лет. Его лекции по геометрии, опубликованные Ф.Линдеманом, остаются образцовым курсом проективной геометрии.23.

К 1870 г. математика разрослась в огромное и хаотичное здание,состоявшее из большого числа частей, дорогу в которых могли найти толькоспециалисты. Даже большие математики, как Эрмит, Вейерштрасс, Кели,Бельтрами, могли продуктивно работать самое большее лишь в немногих ееобластях.

Эта специализация все время росла, и сейчас она достиглаустрашающих размеров. Но никогда не прекращалось противодействие ей, инекоторые из самых важных достижений за последние сто лет явилисьрезультатом синтеза различных областей математики.В восемнадцатом столетии такой синтез был осуществлен в трудахЛагранжа и Лапласа по механике. Эти труды оставались основой для оченьзначительных работ различного характера. Девятнадцатое столетиедобавило к этому новые объединяющие принципы, а именно теорию групп ириманово понятие функции и пространства. Значение этого лучше всегоможно понять по трудам Клейна, Ли и Пуанкаре.- 221 -Феликс Клейн был ассистентомПлюккера в Бонне в конце шестидесятыхгодов, и там он изучил геометрию.

В1870 г., когда ему было двадцать двагода, он побывал в Париже. Здесь онвстретился с Софусом Ли, норвежцем,который был на шесть лет старше его, нозаинтересовалсяматематикойлишьнезадолго до их встречи. Молодые людивстречалисьсфранцузскимиматематиками, среди них с КамилломЖорданом,работавшимвПолитехнической школе, и изучали ихтруды. Как раз в 1870 г. Жордан написал«Трактат о подстановках»— книгу оФеликс Клейн (1849—1925)группах подстановок и о теорииуравнений Галуа. Клейн и Ли началисознавать основное значение теории групп, и в последующем бни разбилиматематику примерно на две части: Клейн в основном сосредоточился надискретных, а Ли — на непрерывных группах.В 1872 г.

Клейн стал профессором в Эрлангене. В своей вступительнойлекции он разъяснял важность понятия группы для классификацииразличных областей математики. В этой лекции, которая стала известна подименем «Эрлангеиской программы», любая геометрия объявлялась теориейинвариантов особой группы преобразований. Расширяя или сужая группу,можно перейти от одного типа геометрии к другому. Евклидова геометрияизучает инварианты метрической группы, проективная геометрия —инварианты проективной группы. Классификация групп преобразованийдает нам классификацию геометрий, а теория алгебраических идифференциальных инвариантов каждой группы дает нам аналитическуюструктуру соответствующей геометрии.

Проективное определение метрикипо Кели позволяет рассматривать метрическую геометрию в рамкахпроективной геометрии. «Присоединение» инвариантного коническогосечения к проективной геометрии на плоскости дает нам неевклидо- 222 -вы геометрии. Даже сравнительно не изученная (тогда) топология нашласвое должное место как теория инвариантов непрерывных точечныхпреобразований.За год до этого Клейн дал важный пример применения своего подхода,показав, что неевклидовы геометрии можно истолковать как проективныегеометрии с метрикой Кели.

Это, наконец, повело к полному признаниюнаходившихся в пренебрежении теорий Бояи и Лобачевского. Теперь былаустановлена их логическая обоснованность. Если бы в неевклидовойгеометрии были логические погрешности, то их можно было бы обнаружитьв проективной геометрии, но лишь немногие математики были склонныдопустить такую ересь.

Позже эта идея отображения одной областиматематики на другую часто использовалась и сыграла важную роль вгильбертовой аксиоматике геометрии. Теория групп сделала возможнымсинтез геометрических и алгебраических трудов Монжа, Понселе, Гаусса,Кели, Клебша, Грассмана и Римана. Риманова теория пространства, котораядала так много для построения Эрлангенской программы, вдохновляла нетолько Клейна, но и Гельмгольца и Ли. Гельмгольц в 1868 и 1884гг. подвергизучению риманово понятие пространства, отчасти в поискахгеометрического образа для его теории цветов, отчасти в поискахпроисхождения наших зрительных оценок расстояния.

Это привело его кисследованию природы геометрических аксиом и, в частности, римановойквадратической метрики. Ли усовершенствовал рассуждения Гельмгольцаотносительно характера римановой метрики, проанализировав природулежащих в основе этого групп преобразований (1890 г). Эта проблемапространства «Ли — Гельмгольца» оказалась имеющей значение не толькодля теории относительности и теории групп, но и для физиологии.Клейн изложил риманову концепцию теории комплексных функций всвоей книге «О римановой теории алгебраических функций» (Uber RiemannsTheorie der algebraischen Functionen, 1882 г.), в которой он подчеркивал, чтофизические соображения могут оказывать влияния даже на самые тонкиечасти математики. В «Лекциях об икосаэдре» (Vorlesungen uber dasIkosaeder, 1884 г.) он показал, что современная алгебра может научитьмногим новым и удивительным вещам и относительно древних платоновыхтел.