Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).pdf), страница 43

Работая в спокойном уединении, подобно своему современникуШтаудту, Мёбиус сделал много других интересных открытий. Одним изпримеров может быть нулевая система теории прямолинейных конгруэнции,которую ои ввел в своем руководстве по статике (1837г.). Лист Мёбиуса,первый пример неориентируемой поверхности, напоминает о том, чтоМёбиус является также одним из основателей нашей современнойтопологии.Юлиус Плюккер, который много лет преподавал в Бонне, был какгеометром, так и физикомэкспериментатором. Ему принадлежит рядоткрытий в области магнетизма кристаллов, электропроводности газов испектроскопии. В ряде статей и книг, особенно в «Новой геометриипространства» (Neue Geometrie des Raumes, 1868— 1869 гг.) он перестроиланалитическую геометрию, внеся в нее множество новых идей.

Плюккерпоказал силу сокращенных обозначений, в которых, например, уравнениеС1+С2=0 представляет связку конических сечений В упомянутой книге онвводит однородные координаты уже как проективные координаты, исходяиз основного тетраэдра; он вводит здесь также то фундаментальноеположение, что основным элементом в геометрии могут быть не толькоточки. Геометрия может основываться и на таких элементах, как прямые,плоскости, окружности, сферы. Эти плодотворные представления позволилипо-новому осветить как синтетическую, так и алгебраическую геометрию иприйти к новым видам двойственности. Число измерений в геометрии тогоили другого вида теперь уже могло быть любым положительным целымчислом, в зависимости от числа параметров, необходимых для того, чтобыопределить «элемент». Плюккер опубликовал также общую теориюалгебраических кривых на плоскости, причем он вывел «плюккеровызависимости» между числами особенностей различного рода (1834, 1839 гг.).- 210 -Мишель Шаль, в течение многих лет ведущий представитель геометрииво Франции, был студентом Политехнической школы в последние днидеятельности Монжа, а в 1841 г.

он стал профессором этого учреждения. В1846 г. он занял кафедру высшей геометрии в Сорбонне, специально длянего учрежденную, и здесь он преподавал многие годы. Труды Шаля имеютмного общего с работами Плюккера, в частности в том, с каким искусствомон из своих уравнений извлекает максимум геометрических сведений. Идяпо этому пути, он искусно пользовался изотропными прямыми ициклическими точками на бесконечности.

Шаль был последователемПонселе в использовании «исчислптельных методов», которые в его рукахразвились в новую область геометрии, так называемую исчислительную(«энумеративную») геометрию. В дальнейшем в этой области многоработали Герман Шуберт [его «Исчислительная геометрия (Kalkiil derabzahlenden Geometrie) напечатана в 1879 г.] и Цейтен [его «Исчислительныеметоды» (Abzahlende Methoden) появились в 1914 г.].

В обеих книгах видныкак сила, так и слабость этой разновидности алгебры на геометрическомязыке. Первоначальные успехи этого направления вызвали реакцию,которую возглавил Штуди, подчеркивавший, что «точность геометрии невсегда следует рассматривать как нечто побочное»1).Шаль был тонким ценителем истории математики, особенно историигеометрии. Его хорошо известный «Исторический обзор происхождения иразвития геометрических методов» (Apercu historique sur I'origine et ledeveloppemenl des methodes en geometrie, 1837 г.) стоит у порогасовременной истории математики. Это — хорошо написанное изложениегреческой и современной геометрии и хороший пример истории математики,написанной творческим деятелем науки.18.

В течение этих лет почти что лихорадочной продуктивности в новыхобластях проективной и алгебраической геометрии другой новый и дажеболее революционный вид геометрии, изложенный в немногих и трудныхработах, оставался в забвении, и большинство ведущих математиков импренебрегали. Вопрос о том, является ли!) Study Е. /I Verhandlungen des dritten Internationalen MathematikerKongresses inHeilelberg.—Leipzig, 1905.—S.

388— 395; van der Waerden B. L. Dissertation,—Leiden, 1926.- 211 -постулат о параллельных Евклида независимой аксиомой или же онможет быть выведен из других аксиом, занимал математиков в течение двухтысяч лет. В древности найти ответ на этот вопрос пытался Птолемей, всредние века—Насир ад Дин, в восемнадцатом веке — Ламберг и Лежандр,Все они пытались доказать аксиому и потерпели неудачу, хотя в ходе своихисследований получили некоторые очень интересные результаты. Гаусс былпервым человеком, который считал постулат о параллельных независимойаксиомой, откуда вытекало, что логически возможны другие геометрии,основанные на другом выборе аксиом.

Гаусс никогда не публиковал своихсоображений по этому вопросу. Первыми, кто открыто бросил вызовавторитету двух тысячелетий и построил неевклидову геометрию, былирусский, Николай Иванович Лобачевский, и венгр, Янош Бояи. Сначалаобнародовал свои идеи Лобачевский, профессор в Казани: в 1826 г, онвыступил с докладом об аксиоме параллельных Евклида. Его первая книгапоявилась в 1829/30 г. и была написана по-русски. Узнали о ней лишьнемногие. Даже более позднее немецкое издание под названием«Геометрические исследования по теории параллельных линий» не обратилона себя внимания, хотя им заинтересовался Гаусс.

К тому времени Бояитоже опубликовал свои мысли по этому вопросу.Янош (Иоганн) Бояи был сыном учителя математики в провинциальномвенгерском городе. Его отец, Фаркаш (Вольфганг) Бояи, учился вГёттингенском университете в те же годы, что и Гаусс. Он и Гаусс изредкаобменивались письмами. Фаркаш затратил много времени на попыткидоказать пятый постулат Евклида (с.

69), но не пришел ни к какимопределенным выводам. Его сын унаследовал его страсть и тоже началработать над доказательством, несмотря на просьбы отца заниматься чемлибо другим;«Ты должен отвергнуть это, подобно самой гнусной связи, это можетлишить тебя всего твоего досуга, здоровья, покоя, всех радостей жизни. Эточерная пропасть в состоянии, быть может, поглотить тысячу таких титанов,как Ньютон, на земле это никогда не прояснится...» (письмо от 1820 г.).Япош Бояи поступил на военную службу и заслужил репутациюотличного офицера. В это время он стал рассматривать постулат Евклидакак независимую аксиому и открыл, что можно построить геометрию,основанную- 212 -на другой аксиоме, согласно которой через точку на плоскости можнопровести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную прямуюплоскости.

Это была та самая идея, которая уже возникала у Гаусса иЛобачевского. Бояи изложил свои соображения, и они были напечатаны в1832г. в виде приложения к книге его отца под названием «Приложение,излагающее абсолютно верное учение о пространстве» (Appendix SciontiamSpatil absolute veram exhibens). Озабоченный отец написал Гауссу, просясовета относительно неортодоксальных взглядов сына. Полученный изГёттингена ответ содержал восторженное одобрение работы младшего Бояи.Вдобавок к этому Гаусс заметил, что он не может хвалить Бояи, так как этобыло бы самопохвалой, поскольку идеи «Приложения» являются егомыслями уже многие годы.Молодой Янош был глубоко разочарован этим одобрительным письмом,которое возводило его в ранг большого ученого, но лишало приоритета. Егоразочарование усилилось, когда в дальнейшем он не встретил признания.Еще более он был потрясен тогда, когда книга Лобачевского былаопубликована на немецком языке (1840 г.), и он больше никогда ничего ненапечатал по математике.

В отличие от Бояи Лобачевский до конца боролсяза признание своих идей и продолжал развивать свою новую геометрию,сочетая это с деятельностью и в других областях.19. Имена Гамильтона и Кели показывают, что около 1840г. математики,пользовавшиеся английским языком, наконец, начали выходить на однулинию со своими коллегами на континенте. В течение нескольких первыхдесятилетий девятнадцатого века деканы Кембриджа и Оксфордарассматривали любую попытку усовершенствовать теорию флюксий какнечестивый бунт против священной тени Ньютона. В итоге ньютоновашкола в Англии и школа Лейбница на континенте настолько разошлись, чтоЭйлер в своем «Интегральном исчислении» (1768г.) рассматривалобъединение обоих способов записи как бесполезное. Но эта преграда быласломлена в 1812г.

группой молодых кембриджских математиков, которыеобразовали, вдохновляемые Робертом Вудхаузом, «Аналитическоеобщество» для пропаганды обозначений дифференциального исчисления.Лидерами были Джордж Пикок, Чарльз Бебедж и Джон Гершель. Онипытались, говоря словами Бебеджа, проповедовать «принципы чисто- 213 -го d-изма ') в противоположность университетскому «dotage»2).

Этодвижение поначалу подверглось суровой критике, но она была опровергнутатакими делами, как издание английского перевода книги Лакруа«Элементарный трактат по дифференциальному и интегральномуисчислению» (1816 г.). Новое поколение в Англии начало приниматьучастие в современной математике.Впрочем, первые важные результаты были получены не кембриджскойгруппой, а математиками, которые самостоятельно восприняликонтиненталъную пауку.

Среди таких математиков наиболее выдающимисябыли Гамильтон и Джордж Грин. Интересно отметить, что они оба, равнокак и Натаниел Боудич в Новой Англии, стали изучать «чистый d-изм»,штудируя «Небесную механику) Лапласа. Грин, сын мельника из Нотингемаи самоучка, весьма внимательно следил за новыми открытиями в областиэлектричества. В то время (около 1825г.) почти что не было математическойтеории, учитывавшей электрические явления. Пуассон в 1812г. сделалтолько первые шаги.