Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).pdf), страница 10

Наиболеевыдающимися среди них были евреи, ассирийцы, финикийцы и греки.Вытеснение бронзы железом означало не только переворот в военном деле,но и ускорение роста экономики благодаря удешевлению средствпроизводства, и это сделало возможным более деятельное участие широкихслоев общества в делах экономического и общественного значения.

Этосказалось и в двух важных новшествах: в замене неудобного письмаДревнего Востока легко доступным алфавитом и во введении чеканноймонеты, что послужило оживлению торговли. Наступило то время, когдакультурные ценности уже пе могли дальше оставаться исключительнымдостоянием восточного чиновничества.Деятельность «морских разбойников»— так египетские текстыхарактеризуют некоторые переселявшиеся народы — первоначальносопровождалась немалыми культурными потерями.

Критская цивилизацияисчезла, eraпетское искусство пришло в упадок, наука Вавилона и Египтаокостенела на столетия. Мы не имеем никаких математических текстовэтого переходного периода. Когда положение снова стало устойчивым,Древний Восток оп- 52 -равился, оставаясь в основном верным традиции, но было расчищеноместо для цивилизации целиком нового склада — греческой цивилизаций.Те города, которые возникли на побережье Малой Азии и в самойГреции, уже не были административными центрами страны оросительногоземледелия. Это были торговые города, где феодалы-землевладельцыстарого уклада были обречены на поражение в борьбе, которую им довелосьвести с независимым, обретшим политическое самосознание классомкупцов.

В течение седьмого и шестого столетий до н. э. это купечество взяловерх, но ему пришлось в свою очередь вступить в борьбу с мелкимиторговцами и ремесленниками, с демосом.Итогом был расцвет греческого полиса, самоуправляющегосягородагосударства — новое социальное явление, вполне отличное от раннихгородовгосударств Шумера и других стран Востока. Наиболее значительныеиз этих городовгосударств сложились в Ионии, на анатолийском берегу. Ихрастущая торговля связала их со всем побережьем Средиземного моря, сДвуречьем, Египтом, со Скифией и даже более далекими странами. Долгоевремя ведущее место занимал Милет. Но и города на других берегах:Коринф, позже Афины в собственно Греции, Кротон и Гиарент в Италии,Сиракузы в Сицилии — становились богаче и значительнее.

Новыйобщественный уклад создал новый тип человека. Купец-путешественникникогда еще не пользовался такой независимостью, и он знал, что онадобыта в упорной и жестокой борьбе. Он никак не мог разделятьустоявшиеся воззрения Востока. Он жил в период географических открытий,сравнимых только с открытиями западноевропейского шестнадцатогостолетия, он не признавал ни абсолютного монарха, ни власти, предстающейв виде охранительного божества. А кроме того он мог пользоватьсяизвестным досугом благодаря своему богатству и труду рабов.

Он могпоразмыслить об окружающем его мире. Отсутствие вполне установившейсярелигии привело многих обитателей этих прибрежных городов кмистицизму, но это способствовало и противоположному — ростурационализма и научному подходу.2. Современная математика родилась в этой атмосфере ионийскогорационализма — математика, которая ставила не только восточный вопрос«как?», но и современный, научный вопрос «почему?». Согласно преданиюотцом греческой математики является милетский купец- 53 -Фалес, в первой половине шестого века посетивший Вавилон и Египет.Но если он даже целиком легендарная фигура, то за нею стоит нечто вполнереальное. Это — образ, соответствующий тем условиям, в которыхзакладывались основы не только современной математики, но и всейсовременной науки и философии. Первоначально греки занималисьматематикой, имея одну основную цель — понять, какое место занимает вовселенной человек в рамках некоторой рациональной схемы.

Математикапомогла найти порядок в хаосе, связать идеи в логические цепочки,обнаружить основные принципы. Она была наиболее теоретической из всехнаук.Несомненно, что греческие купцы познакомились с восточнойматематикой, прокладывая свои торговые пути. Но люди Востока почти незанимались теорией, и греки быстро обнаружили это. Почему вравнобедренных треугольниках два угла равны? Почему площадьтреугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковыхоснованиях и высотах? Такие вопросы естественно возникали у людей,ставивших сходные вопросы в области космологии, биологии и физики.К сожалению, у нас нет первоисточников, описывающих ранний периодразвития греческой математики.

Уцелевшие рукописи относятся к эпохехристианства и ислама и их только в малой мере дополняют заметки вегипетских папирусах несколько более раннего периода. Все жеклассическая филология дала возможность восстановить тексты, которыевосходят к четвертому столетию до н. э.

и далее, и мы благодаря этомурасполагаем надежными изданиями Евклида, Архимеда, Аполлония идругих великих математиков античности. Но в этих текстах перед нами ужевполне развитая математическая наука, и даже с помощью позднейшихкомментариев по ним трудно проследить ход исторического развития. Обэпохе формирования греческой математики приходится судить, основываясьлишь на небольших фрагментах, приводимых в более позднихпроизведениях, и на отдельных замечаниях философов и других не строгоматематических авторов.

Очень много остроумия и труда было вложено вкритику текстов, благодаря чему удалось разъяснить немало темных мест вэтом раннем периоде. Эта работа, проделанная такими исследователями, какПоль Таннери (Tannery), Хит (Т. L. Heath), Цейтен (Н. G. Zeuten), Франк (Е.Frank) и др., позволяет нам дать в известной мере связную, хотя в значи- 54 -тельной части предположительную картину греческой математики вэпоху ее формирования.3. В шестом столетии до н.

э. на развалинах Ассирийской империивозникла новая обширная восточная держава — Персия Ахеменидов. Оназавоевала города Анатолии, но общественный строй греческой метрополиипустил уже глубокие корни и его нельзя было сокрушить. Персидскоенашествие было отражено в исторических битвах при Марафоне, Саламинеи Платее. Главным результатом греческой победы было расширение иэкспансия Афин. Здесь во второй половине пятого столетия, при Перикле,влияние демократических элементов все время возрастало. Они былидвижущей силой экономической и военной экспансии, и около 430 г.

онисделали Афины не только центром Греческой империи, но и центром новойи любопытной цивилизации — золотого века Греции.В обстановке общественной и политической борьбы философы инаставники излагали свои теории и заодно и новую математику. Впервые вистории группа критически мыслящих, «софистов», менее скованнаятрадицией, чем какаялибо иная предшествовавшая ей группа ученых, сталарассматривать проблемы математического характера скорее с цельюуяснения их сути, чем ради пользы.Так как такой подход позволил софистам дойти до основ точногомышления вообще, было бы чрезвычайно поучительно познакомиться с ихрассуждениями.

К несчастью, от этого периода дошел лишь один цельныйматематический фрагмент, принадлежащий ионийскому философуГиппократу из Хиоса. Математические рассуждения в этом фрагменте навесьма высоком уровне, и достаточно типично то, что в нем рассматриваетсясовсем «непрактический», но теоретически существенный вопрос о такназываемых луночках — плоских фигурах, ограниченных двумя круговымидугами.Этот вопрос — найти площадь таких луночек, у которых площадьрационально выражается через диаметр,— имеет прямое отношение кцентральной проблеме греческой математики — квадратуре круга. Анализэтой проблемы у Гиппократа1) показывает, что у математиков') Исследование этого вопроса средствами современной математики см.

вработах Landau Е. / Borirhte Berliner Math. Ges.— 1903.— Bd 2,—S 1—6; ЧеботаревН. Г. / Собрание со- 55 -золотого века Греции была упорядоченная евстема плоской геометрии, вкоторой в полном объеме применялся принцип логического заключения отодного утверждения к другому («апагоге»). Были заложены основыаксиоматики, на что указывает название приписываемой Гиппократу книги«Начала» («Stoicheia»), название всех греческих аксиоматических трактатов,включая трактат Евклида. Гиппократ исследовал площади плоских фигур,ограниченных как прямыми линиями, так и дугами окружности. Он учит,что площади подобных круговых сегментов относятся, как квадратыстягивающих их хорд. Он знает теорему Пифагора, а такжесоответствующее неравенство для непрямоугольных треугольников.