Part1 (Лекции (1)), страница 4

Энтальпия.Очень удобно в механике сплошной среды использование другого термодинамического потенциала – энтальпии, определяемой уравнением:w =ε+ p/ρ.Дифференциал энтальпии, как следует из второго начала, имеет вид:13так что w = w (s , ρ ) .dw = Tds + dp / ρ ,В изэнтропийных процессах dw = dp / ρ , что позволяет записывать правую часть уравненияЭйлера в компактной форме, удобной для дальнейшего анализа.Неравновесные процессы и рост энтропии.В неравновесной изолированной системе двух тел, очень слабо взаимодействующих междусобой, можно определить температуру каждого из тел. Пусть температура первого тела выше:T1 > T2 . Рассмотрим процесс теплообмена, полагая, что других изменений в системе нет.

Тогданаправление теплопередачи определено вторым началом термодинамики (в форме Клаузиуса).δQdS1 =T1 , а второго - увеличиваетсяПри этом энтропия первого тела уменьшается на величинуδQdS2 =T2 . Поскольку dS2 > dS1, энтропия такой системы растет в процессе установлениянатермодинамического равновесия. Обобщая это утверждение на любые неравновесные процессы, можно утверждать, что во всех случаях установления равновесия в термодинамическойсистеме энтропия увеличивается. В частности, изменения в адиабатической системе δQ = 0могут идти лишь в направлении роста энтропии ∆S > 0 , а состояние равновесия определяетсяусловием S = max .Замечание.Мы рассмотрим далее не только квазиравновесные процессы.

Движение газа может сопровождаться возникновением ударной волны, в которой энтропия системы возрастает.Однако вначале целесообразно рассмотреть простейшие процессы – изэнтропийное движение идеальной жидкости.Потоки термодинамических величин. Балансные соотношения.6. Баротропное движение идеальной жидкостиВ общем случае плотность среды является функцией температуры и давления: ρ = ρ( p, T ) .Такие процессы называются бароклинными. Если дополнительные условия, например, адиабатичность движения, позволяют установить зависимость плотности только как функции давления ρ = ρ( p ) , то процессы являются баротропными.Система уравнений идеальной средыr rdρ+ ρ ∇ ⋅v = 0dtrrdvρ= ρf − ∇pdt()ρ=ρpс заданной зависимостьюобразует систему из пяти уравнений для пяти величин, что()позволяет полностью решить задачу.

Однако угадать термодинамические процессы в каждойточке сплошной среды удается лишь в исключительных случаях. К таким случаям относитсяобратимый адиабатический процесс, упомянутый выше. В частности, для модели идеальногоγгаза зависимость определяется адиабатой Пуассона p (ρ ) = p 0 (ρ / ρ 0 ) , где γ = C p / CV .14Если в некоторый начальный момент времени энтропия одинакова во всех точках сплошнойсреды, то условие адиабатичности движения жидкости можно просто записать в видеs = const . Такое движение называют изэнтропическим.Существенно, что в правую часть уравнений движения идеальной жидкости вместо шестинеизвестных полевых функций p ij (r, t ) будет входить всего одна функция p(r, t ) , так чтоуравнения движения идеальной жидкости, называемые уравнениями Эйлера, принимают вид(в тензорных обозначениях)dv∂pρ i = ρf i −dt∂x i ,(28)или (в векторной форме)dvρ= ρf − ∇pdt.(29)Движения идеальной жидкости, при которых ее плотность можно рассматривать только какфункцию давления, называют баротропными ρ = F( p) .

Такое движение можно описать системой из пяти уравнений - (29), (24) и уравнения, выражающего баротропность движения илиуравнения (27), так как баротропность реализуется и при общем изэнтропическом движенииидеальной жидкости.Изменение удельной внутренней энергии определяется термодинамическим уравнениемтеплопроводности (1-й закон термодинамики)∂vdedsdVds=T−p=T− pρ idtdtdtst∂x i(30)Если к системе уравнений (29), (27), (24), (30) добавить термическое уравнение состоянияp = p(ρ, T) и калорическое уравнение, e = e(ρ, T) , то мы также получим систему уравнений,описывающую изэнтропические движения идеальной жидкости.

При изэнтропическом движении идеальной жидкостиdw = Vdp ,(31)1где w - удельная энтальпия жидкости, ρ - удельный объем, и поэтому∇p∇w =ρ ,(32)Уравнение Эйлера в форме Громеки-ЛэмбаЗапишем векторное уравнение Эйлера для баротропного движения в виде так называемогоуравнения в форме Громеки-Лэмба. Используем соотношение:dv ∂v=+ ( v ⋅ ∇) v∂tdt,(33)и следующие легко проверяемые равенстваv21v⋅∇v=∇− [ v ⋅ [∇ ⋅ v]] = grad v 2 − [ v ⋅ rot v]( )22. (34)f=−∇U. Подставляя (33) и (34) вРассмотрим случай потенциальной внешней силы, так что(29), получим⎛ v2⎞∂v+ 2[ω ⋅ v] = −∇⎜+ w + U ⎟ ≡ ∇P∂t⎝ 2⎠.(36)Здесь мы также использовали соотношение rot v = 2ω ,157.

Интегралы уравнений движения идеальной жидкостиИнтеграл БернуллиРассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Стационарным или установившимся течением называют такое движение, при котором в каждой точке пространства, за∂v=0полненного жидкостью, поле скоростей постоянно во времени, так что ∂t.Умножим уравнение Эйлера в форме Громеки-Лэмба на единичный вектор касательнойк линии тока в каждой ее точке. Тогда, учитывая что (1 ⋅ [ω ⋅ v]) = 0 , получим∂P=0∂l.Отсюда следует, что в случае стационарного изэнтропического движения идеальной жидкости,v2P=+ w +U2находящейся в поле консервативных массовых сил, скалярная величинапостоянна вдоль каждой линии тока:v2+ w + U = const2.Значение const , вообще говоря, различно для разных линий тока.

Полученное соотношениеназывается интегралом Бернулли.Если умножить уравнение Эйлера скалярно на вектор вихря, то вновь получим интегралБернулли, который сохраняется теперь вдоль линии вихря. Таким образом, интеграл Бернуллисохраняется на поверхности, натянутой на линию тока и вихря, проходящую через выбраннуюлинию тока.Интеграл КошиРассмотрим теперь безвихревое изэнтропическое движение идеальной жидкости, находящейся в поле консервативных массовых сил. Безвихревым или потенциальным называют движения жидкости, при котором во всем пространстве завихренность равна нулю, т.е.1ω = rot v = 02.Поле скоростей при потенциальном течении может быть представлено в видеv = ∇Φ ≡ gradΦ .rСкалярная функция координат и времени Φ (r , t ) называется потенциалом скорости.Подставив эти выражения для скорости и вихря в уравнение Громеки-Лэмба, получимr⎛ Φ v2⎞∇⎜⎜++ w + U ⎟⎟ = 02⎝ t⎠.(1 ⋅ ∇)P = (1 ⋅ grad P) ≡Полученное уравнение можно проинтегрировать:∂Φ v 2++ w + U = f (t)2∂t,ftгде ( ) - произвольная функция времени.

Этот интеграл называется интегралом Коши.∂Φ= 0 , f ( t ) = constПри стационарном движении ∂t, и интеграл Коши переходит в с интеграл Бернуллиv2+ w + U = const2.168. Поток энергии идеальной жидкостиОграничимся рассмотрением адиабатных изэнтропийных процессовТеорема об изменении энергииУмножая уравнение Эйлера скалярно на вектор скорости, можно получить уравнение, описывающие изменение плотности энергии среды:rr rdvr rρvr= −(v ⋅ ∇p ) − ( f ⋅ v )dt.Левая часть этого уравнения преобразуется к виду:rr dvd ⎛ v 2 ⎞ d ⎛ ρv 2 ⎞ v 2 dρ ∂ ⎛ ρv 2 ⎞ r r ρv 2 v 2 dρ⎜⎟−⎟ + v ⋅∇= ρ ⎜⎜ ⎟⎟ == ⎜−ρvdtdt ⎝ 2 ⎠ dt ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 2 dt ∂t ⎜⎝ 2 ⎟⎠22 dt .Для преобразования последнего слагаемого воспользуемся уравнением непрерывности:rrr rr rdρ= −ρ ∇v = −∇(ρv ) + v ⋅ ∇ ρdt.В итоге левая часть уравнения принимает вид:rr dv ∂ ⎛ ρ v 2 ⎞ r r ρ v 2 ρ v 2 r r∂ ⎛ ρv 2 ⎞ r ⎛ ρv 2 r ⎞⎟⎟ + v ⋅ ∇⎟ + ∇⎜⎜= ⎜⎜+∇v = ⎜⎜ρvv ⎟⎟22dt ∂t ⎝ 2 ⎠∂t ⎝ 2 ⎟⎠⎝ 2 ⎠(а)r rrrr rДля вычисления мощности поверхностных сил давления в среде v ⋅ ∇ p = ∇( pv ) − p ∇vвоспользуемся первым началом термодинамикиde dq p dρ=+dt dt ρ2 dt ,(( )()( )())()( )которое, с учетом уравнения непрерывности, можно записать в виде:rrde dq p ∇v=+dt dtρ .( )Из этого выражения с учетом уравнения непрерывности получаемrrrrrrded∂− q& = (ρe ) + ρe ∇v − q& = (ρe ) + ∇(ρev ) − q&p ∇v = ρdtdt∂t.Отсюда для адиабатных процессов q& = 0 мощность сил определяется выражениемrrrr rr∂f пов ⋅ v = − v ⋅ ∇ p = − (ρe ) − ∇((ρe + p )v )∂t.(б)Равенства (а), (б) и (в) приводят к уравнениюr r⎛ ρv 2 r ⎞∂ ⎛ ρv 2 ⎞∂r⎜⎜⎟⎟ + div⎜⎜v ⎟⎟ = − ( ρe ) − div(( ρe + p )v ) + ( f ⋅ v )∂t ⎝ 2 ⎠∂t⎝ 2 ⎠,которое можно рассматривать, как уравнение для изменения плотности энергии вещества иполя:( )( )() (ρv 2∂⎛⎜⎜ ρe +∂t ⎝2)⎛⎛⎞ρv 2⎟⎟ = − div⎜ ⎜⎜ ρw +⎜2⎠⎝⎝⎞r ⎞⎟⎟v ⎟⎟⎠ ⎠Здесь w = e + p ρ - плотность энтальпии.Это выражение можно проинтегрировать по некоторому фиксированному объему.

Используя тензорную форму записи, получим17⎛ v2⎞⎛ v2⎞∂∂⎜⎟⎜ + w ⎟⎟dV+edVv=−ρρi⎜∫∫⎜⎟∂t ⎝ 2∂x i⎠⎝ 2⎠ .Преобразуя интеграл, стоящий справа, с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, в интеграл по поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, получим выражение, котороедопускает простую интерпретацию:⎛ v2⎞⎛ v2⎞∂⎜⎟⎜ + w ⎟⎟dS iρedVρv+=−i⎜∫∫⎜⎟∂t⎝ 2⎠⎝ 2⎠.Подынтегральное выражение слева представляет собой плотность энергии и определяетсясуммой внутренней энергии и кинетической энергии макроскопического движения среды. Этовыражение аналогично соответствующему выражению в механике системы точек, которое определяется по теореме Кенига.Подынтегральное выражение справа представляет собой плотность потока энергии средычерез поверхность, а также учитывает мощность поверхностных сил, действующих на систему.189.

Вихревое движение жидкостиС помощью уравнения Эйлера в форме Громеки-Лэмба можно получить уравнение движение вихря в баротропной среде, применяя операцию rot к левой и правой частям:r∂ωr r+ rot (ω × v ) = 0∂t,rr 1ω = rot v2где-вихрь скорости.Для несжимаемой среды дополнительно выполняется соотношениеrdiv v = 0 .rЕсли ω ≠ 0 , то движение является вихревым, а не потенциальным.Совокупность жидких частиц, составляющих вихрь, как бы отделена от остальной частиrжидкости поверхностью раздела. Векторное поле ω можно изобразить с помощью вихревыхлиний, уравнение которых имеет вид:dx1dx2dx3==ω1 (t ) ω2 (t ) ω3 (t ) .Совокупность вихревых линий, натянутых на замкнутый контур C , ограничивающий выделенную элементарную поверхность S , образует вихревой шнур (трубку вихря), что позволяет определить поток вихря или его интенсивность:r rΦ = ∫ ω ⋅ dSS.Преобразуя это выражение по теореме Стокса, получим:r r 1r r 1 r r 1Φ = ∫ ω ⋅ dS = ∫ rotv ⋅ dS = ∫ v ⋅ dS = Γ2S2C2 .SrrΓ = ∫ v ⋅ dSCЗдесь- циркуляция вектора скорости.Замечание.