Part1 (Лекции (1)), страница 2

Поскольку вектор скорости на границе трубки тока касателен к ней, то в случае стационарного течения все частицы жидкостибудут оставаться внутри этой трубки. Трубка тока называется элеменrтарной, если вектор поля A в любой точке поверхности S , натянутойна конур L, одинаков.Потоки физических величин и трубка тока.rrПотоком вектора поля A через элементарную поверхность dS называется величинаr rr rrdΦ = ( A ⋅ dS ) . Для поля скорости V потоком вектора скорости является dΦV = (V ⋅ dS ) . Еслирассматривать движение жидкости в течение элементарного интервала времени ∆t , то частицы сплошной среды, находящиеся в момент времени на контуре L, за это время перемещаютсяrrr rr rdΦ⋅∆t=(V∆t⋅dS)=(∆r⋅ dS ) = ∆V - это объем жидкости, про∆r=V∆tVна. Тогда величинашедшей через контрольную поверхность.rДля несжимаемой жидкости div V = 0 и поток через любую замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем, равен нулю:r rr∫Σ (V ⋅ dS ) = ∫V div Vdv = 0.r1ωr = rot V2Подобно линиям тока можно ввести линии вихря.

Уравнение линий вихряdx dy dz==ωx ωy ωz .rr 1div ω = div rot V = 02Поскольку, поток вихря через любую замкнутую поверхность равеннулю:r r∫ (ω ⋅ dS ) = 0 .Если в качестве замкнутой поверхности рассматривать объем трубки вектора вихря, ограниченный двумя сечениями Σ1 и Σ 2 , то поток вектора не зависит от выбора контрольного сечения:5rr∫ (ω ⋅ dS ) = ∫ (ω ⋅ dS )rr.Используя теорему Стокса, можно преобразовать поверхностный интеграл к криволинейному:r r 1 r rr r 1∫Σ (ω ⋅ dS ) = 2 ∫Σ (rot V ⋅ dS ) = 2 C∫ (V ⋅ dl ) = Γ.Σ1Σ2Постоянство потока вихря вдоль трубки вихря тогда можно рассматривать, как сохранениециркуляции вектора вихря Г по любому контуру, охватывающему эту трубку.Потоки физических величин.Представление о потке массы или скорости можно расширить и на другие физическиевеличины скалярной, векторной или тензорной природы.

Особенно наглядно представление опотоке для экстенсивных (пропорциональных числу частиц) физических величин. Отметимнекоторые величины и их потокиСкалярные: поток числа частиц, поток массы, поток электроического заряда, потоккинетической и внутренней энергии, поток энтропии.Векторные: поток скорости, поток вихря, поток напряженности поля, поток импульса,поток кинетического момента.Балансные соотношения.4. Описание взаимодействия в сплошной средеДля построения динамической теории необходимо ввести физические величины, описывающие действие на выделенный элементарный объем других тел.

В механике материальнойточки для этого использовался вектор силы. Рассмотрим силовое описание воздействия и вмеханике сплошной среды, введя необходимые модификации. Напомним, что в механике точки мы разделяли силы на два основных типа – силы дальнодействующие, для которых можноуказать зависимость от расстояния между телами, и силы контактные, возникающие при соприкосновении точки и твердого тела.

Контактные силы обусловлены малыми деформациями,которые не регистрируются обычным способом, и поэтому контактные силы мы выделяли вособый класс сил, называемых силами реакции.Объемные силыАналогичное разделение целесообразно провести и в механике сплошной среды. Рассмотрим вначале дальнодействующие силы, к которым относятся электромагнитные и гравитационные силы. Пусть элементарный объем ∆V заполнен сплошной средой плотности ρ , так чтоrrrего масса ∆m = ρ∆V . Сила тяжести, действующая на этот объем, ∆F = ∆mg = ρg∆V оказываrется пропорциональной величине объема независимо от его размеров и формы: ∆F ~ ∆V .

Векторный коэффициент пропорциональности называется (объемной) плотностью силы:rr rr∆F = f∆V . В рассматриваемом случае объемная плотность силы имеет вид: f = ρg .Плотность силы задается в каждой точке пространства в каждый момент времени и опредеr r rляет физическое поле плотности силы: f = f (r , t ) .По определению, для дальнодействующих сил можно ввести поле плотности силы, если сила, действующая на элементарный объем ∆V пропорциональна величине этого объема и независит от его формы и размеров. К силам такого типа относятся и электромагнитные силы,действующие на заряженную сплошную среду, если распределение заряда пропорциональновеличине элементарного объема.Поверхностные силыДля контактных сил ситуация несколько иная.

Существуют такие контактные силы, величина которых пропорциональна площади соприкосновения рассматриваемого элементарногообъема с другими телами: ∆F ~ ∆S . Величину и ориентацию элементарной поверхности со6rrrприкосновения зададим вектором ∆S . Направление векторов ∆F и ∆S не обязательно совпадает и может зависеть от ориентации площадки, поэтому коэффициенты пропорциональностиобразуют тензор второго ранга.

Поэтому соотношение между элементарной силой и элементарной площадкой удобнее записать в тензорных обозначениях. Пусть ∆Fi - проекции элемен-тарного вектора силы, а ∆S k - проекции вектора элементарной площадки. Тогда условие пропорциональности имеет вид: ∆Fi = pik ∆S k , где тензор второго ранга pik = pik ( xs , t ) определяетполе, характеризующее контактное воздействие на данную элементарную поверхность другихчастей сплошной среды.

Положение элементарной площадки в выбранной систем отсчета определяется ее координатами xs в данный момент времени t и ориентацией, задаваемой вектором ∆S k . Этот тензор называется тензором локальных напряжений.Диагональные компоненты тензора определяют нормальные (перпендикулярные) составляющие вектора силы, действующего на площадку, а недиагональные – касательные составляющие этой силы.В общем случае тензор второго ранга задается девятью компонентами, однако во многихсредах в силу закона сохранения кинетического момента этот тензор оказывается симметричным:pik = pki ,что снижает число независимых компонент тензора до 6. Соответствующим выбором ориентации осей координатной системы можно привести симметричный тензор к диагональному виду.В простых моделях сплошной среды ее воздействие на элементарную площадку можно считать не зависящим от ориентации.

Такая среда называется изотропной. Если касательные составляющие сил, действующих на площадку пренебрежимо малы, то тензор напряжений вэтом случае оказывается диагональным, причем все его компоненты одинаковы. Такая ситуация реализуется в модели взаимодействия жидкости или газа, находящегося в относительномравновесии, описываемом законом Паскаля. Жидкость или газ, подчиняющиеся этому закону,называются идеальными. Тензор напряжений идеальной сплошной среды имеет вид:pik = − p ( xs , t )δ ki .Знак «минус» в этом выражении выбран так, чтобы элементарная сила, действующая на поверхность, ограничивающую некоторый выделенный объем, была направлена внутрь этогообъема при стандартном выборе внешней к поверхности нормали.

При этом удобно считатькоэффициент пропорциональности p ( xs , t ) положительной величиной.В более сложных случаях применяются модели, в которых сила, действующая на элементарную поверхность, имеет касательные составляющие, обычно пропорциональные скорости.5. Уравнения движения сплошной средыВ основу описания сплошной среды обычно кладутся определенные дифференциальныеуравнения, связывающие ее характеристики, хотя в некоторых случаях, например, при описании разрывных течений, дифференциальные соотношения неприменимы. В этих случаях используют интегральные соотношения.Основные дифференциальные уравнения, описывающие свойства сплошной среды, могутбыть получены из интегральных балансных соотношений для физических величин, ее характеризующих.

Применение балансных соотношений оказывается эффективным либо в тех случаях, когда известны локальные законы сохранения рассматриваемых величин, такие как законсохранения массы или электрического заряда, либо в ситуациях, когда удается установить закон изменения рассматриваемой величины, как для импульса или кинетического момента системы.Таким образом, рассматриваемые соотношения тесно связаны с законами сохранения илитеоремами об изменении определенных механических, электрических или термодинамических7величин и являются обобщением их на случай системы переменного числа частиц, возникающих при использовании переменных Эйлера.Рассмотрим простейшие из них. Напомним, что при описании в переменных Эйлера, выделенный объем сплошной среды выбран всюду неподвижным по отношению к заданной системе отсчета.1.

Уравнение непрерывностиРассмотрим изменение массы в некотором выделенном объеме сплошной среды V , предполагая, что ее частицы могут свободно проникать сквозь поверхность Σ , ограничивающую этотобъем. Пусть ρ ( xk , t ) - заданное поле плотности. Масса в выделенном объеме определяетсяинтеграломM = ∫ ρ ( xk , t )dVVИзменение массы, в силу локального закона ее сохранения, могут быть вызваны только потоками массы через поверхность Σ :I M = ∫ ρvk dskΣБалансные соотношения для массы приводят к уравнению:∂M = −IM∂t,которое в данном случае имеет вид:∂ρ ( xk , t )dV = − ∫ ρvk dsk∂t V∫Σ.Используя теорему Остроградского-Гаусса, правую часть этого выражения можно преобразовать к интегралу по объему, так что выражение примет вид:∂∂ρ ( xk , t )dV = − ∫ρvk dV∫∂xk∂t VV.Поскольку полученное соотношение справедливо для любого объема сплошной среды, т.

е.является тождеством относительно V , то подынтегральное выражение в левой и правой частяхэтого равенства совпадает. Это приводит к уравнению непрерывности в дифференциальнойформе:∂∂ρ+ρvk = 0∂t∂xk.Это соотношение можно записать в векторной форме:∂ρr+ div(ρv ) = 0∂t.rrВекторная величина j = ρv называется плотностью потока массы.Еще одна распространенная форма записи связана с введением субстанциальной производd ∂∂= + vk∂xk . Понятие о субстанциальной производной связано с представлением оной dt ∂tдифференцировании вдоль траектории движения частицы и фактически представляет собойпереход от описания Эйлера к описанию Лагранжа.

Мы будем рассматривать субстанциальную производную только как некоторый дифференциальный оператор, упрощающий формузаписи уравнений.Выполняя дифференцирование во втором слагаемом, получаем:8∂ρ∂ρ∂v+ vk+ρ k =0∂t∂xk∂xk.Вводя субстанциальную производную, получим:dρ∂v= −ρ kdt∂xk .В векторной форме это соотношение имеет вид:dρr= − ρ div vdt.rЕсли рассматриваемая сплошная среда является несжимаемой, т.е. div v = 0 , то из уравненияdρ=0, т.е. вдоль любой линии тока плотность среды остаетсянепрерывности следует, что dtпостоянной ρ = ρ 0 .2. Уравнения ЭйлераНесколько сложнее получить дифференциальные уравнения, определяющие изменение импульса сплошной среды.

Воспользуемся для этого теоремой об изменении импульса системы,учитывая, что число частиц в ней может изменяться.Вновь рассмотрим мысленно выделенный объем V , проницаемый для частиц сплошнойсреды, и определим импульс этого объема. Поскольку импульс элементарного объема dV определяется уравнением:dpi = dm ⋅ vi = ρvi ⋅ dV ,полный импульс выделенного объема определяется интегралом:Pi = ∫ ρvi dVV.Изменение импульса в этом объеме вызвано двумя независимыми факторами.