Part1 (Лекции (1))

ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ1. Концепция сплошной средыВ предыдущих разделах курса в основном рассматривалось движение материальной точки,либо абсолютно твердого тела. Движение деформируемых твердых или жидких тел практически не затрагивалось. Исключением является описание свойств однородного упругого стержняили пружины с помощью закона Гука.Понятие сплошной средыВ настоящем разделе курса мы рассмотрим некоторые простые способы описания движениядеформируемых тел, в которых преобладают неупругие деформации.

Поскольку описание деформаций вообще представляет достаточно сложную задачу, мы ограничимся изучениемсвойств сплошной среды. Сплошной средой называется физическое тело, свойства которого всоседних точках мало отличаются. Это означает, что физические величины, определяющиерассматриваемые свойства сплошной среды, близки в соседних точках. Традиционными примерами таких тел являются жидкости или газы.Предполагается, что механические и термодинамические характеристики сплошной средымогут быть описаны физическими полями, такими как поле плотности, скорости, давления ит.д.

Напомним, что полем физической величины называется одна или несколько функций, заданных в каждой точке пространства в каждый момент времени.На практике задание поля физической величины связано с определенной процедурой усреднения, которую мы поясним примерами.Предположим, что рассматриваемое тело можно представить в виде совокупности большогочисла частиц постоянного состава, каждая из которых занимает некоторый элементарный объем. Если элементарный объем, занимаемой частицей можно выбрать так, чтобы его размерамиможно было пренебречь при описании движения, то такую частицу можно рассматривать, какматериальную точку.

В большинстве случаев этот объем следует выбрать достаточно малым.Движение сплошной среды тогда может быть представлено, как движение очень большой совокупности таких частиц. Более подробно понятие «элементарный объем» рассматриваетсяниже.Одним из возможных методов описания является определение движения каждой из частиц,т.е. определение физических величин, с ними связанных. Такой подход называется описаниемЛагранжа.

Применение описания Лагранжа представляет определенные удобства, посколькунепосредственно связано с возможностью использования моделей материальной точки и твердого тела. Однако, на практике такой подход используется только для изучения движения втечение небольших интервалов времени. Если сплошная среда движется в ограниченном объеме в течение достаточно большого времени, то траектории частиц сильно перепутываются.Частицы, первоначально находившиеся в соседних точках пространства, оказываются разделенными. Элементарные объемы, занимаемые соседними частицами, при таком движениисильно деформируются и могут иметь значительное протяжение при малом объеме. Это приводит к тому, что малость первоначального объема не гарантирует близости физическихсвойств вещества в нем спустя некоторое время, что в свою очередь исключает примененияаппарата дифференциального исчисления к такой среде.Полевые величины в переменных ЭйлераБолее удобным является подход Эйлера.

В этом подходе рассматриваются мысленно выделенные объемы переменного состава, положение которых задается координатами «точки наблюдения» – любой точки, принадлежащей выделенному объему. Предполагается, что можновыбрать объем настолько малым, что физические величины среды внутри такого объема независят от выбора «точки наблюдения». Таким образом, в каждой точке пространства в каждый момент времени можно определить величины, задающие состояние сплошной среды –физические поля.

Рассмотрим в качестве примера введение поля плотности. Предположим, чтодеформируемое тело устроено так, что в окрестности любой точки, заданной радиус-вектором1rr , существует достаточно малый объем ∆V такой, что масса вещества в этом объеме ∆mпропорциональна величине этого объема и не зависит от его формы и размеров:∆m ~ ∆ V .ρКоэффициент пропорциональностив этом выражении называется плотностью тела вrданной точке пространства в данный момент времени ρ = ρ (r , t ) .

Таким образом∆m = ρ∆V .Объем, для которого выполняется пропорциональность, называется элементарным, а физическое тело – сплошной средой. На практике пропорциональность соблюдается не для любойформы и не для любого малого объема. На величину объема обычно накладывается ограничение ∆Vmin < ∆V < ∆Vmax . Для изучения вещества в обычных условиях ограничение снизу обу-словлено молекулярной структурой вещества.

Минимальный объем должен содержать достаточно большое число молекул, чтобы можно было пренебречь флуктуациями. Максимальныйразмер элементарного объема выбирается из условий достижения приемлемой точности описания.Аналогичным образом вводятся и поля других физических величин, например, скоростиили давления. Считается, что движение сплошной среды может быть задано полем скоростейr r rv = v (r , t ) , если в окрестности «точки наблюдения» rr для каждого момента времени t существует элементарный объем ∆V такой, что скорости всех частиц среды в этом объеме можносчитать одинаковыми с заданной точностью.Модель сплошной среды имеет широкую область применения. Ее можно использовать, например, для изучения движения обычных жидкостей или газов.

Если элементарный объем выбрать достаточно большим, например сравнимым или превышающим размеры солнечной системы, то модель сплошной среды может быть использована и для описания движения звездвблизи ядра Галактики.2. Поле скоростей и деформации средыПоле скоростей сплошной среды описывает произвольные ее движения, включая и деформации.

Поскольку движение без деформаций может быть описано моделью твердого тела, рассмотрим подробнее условия, которым удовлетворяет поле скоростей, описывающих деформации сплошной среды. Описание движения частиц будем вести в переменных Эйлера.Сделаем замечание о форме записи векторных величин. Далее мы будем использовать двеформы представления вектора – задание его с помощью проекций в выбранной декартовойсистеме, например x k , Vk , где индекс k пробегает значения от 1 до 3, либо как абстрактныйr rrгеометрический объект, отмечая векторы стрелкой , V и т. д.

Для упрощения действий свекторами в случае задания их проекциями, примем соглашение о суммировании по повторяющимся индексам.Для краткости представление векторов в первом виде будем называть тензорным, а второе векторным. Во многих случаях использование векторных обозначений вместо тензорных (тамгде это возможно) оказывается предпочтительным, поскольку вид уравнений, записанных ввекторной форме, не связан с конкретным выбором координат. В частности, векторная формаможет быть использована для записи уравнений в произвольных ортогональных координатах,например, цилиндрических или сферических.Для определения деформаций рассмотрим скорость частиц в двух близких точках - x k иxk + δxk . Полагая поле скоростей дифференцируемым, в линейном приближении по δxk получим∂VVi ( xk + δxk , t ) = Vi ( xk , t ) + i δxk∂xk.2∂Vi=0Очевидно, что в том случае, когда скорости всех точек среды одинаковы, т.е.

∂x k, дефор∂Vi≠0существуют движения, не приводящие кмации среды отсутствуют. Однако и в случае ∂x kдеформациям. Напомним, что движение тела называется деформацией, если изменяются расстояния между его точками. Это происходит только в том случае, когда проекции скоростейлюбой пары точек на прямую, их соединяющую, не равны. В рассматриваемом случае этойпрямой является вектор δxk , а проекция вектора скорости пропорциональна скалярному произведению Vi (xk , t )δxi .

Применяя этот критерий к частицам сплошной среды, получим условиена поле скоростей, при которых деформации отсутствуют для любых δxi ≠ 0 :Vi ( xk + δxk , t )δxi = Vi (xk , t )δxi .Полученное соотношение приводит к дифференциальному условию для поля скоростей, описывающего движение без деформаций:∂Viδxi δx k ≡ 0∂x kдля любых δxi ≠ 0 .∂Vi∂xk и симметричного тензора ∆ ik = δxi δxk ( ∆ ik = ∆ ki ), не равного нулю,Свертка тензораобращается в нуль только в том случае, когда тензор Tik является антисимметричным, т.е.Tik =Tik = −Tki .Представляя тензор Tik в виде суммы антисимметричного тензора Aki и симметричноготензора SikTik = Aki + Sik ,гдеAki =1 ⎛ ∂Vi ∂Vk⎜−2 ⎜⎝ ∂xk ∂xi⎞⎟⎟⎠,⎞⎟⎟⎠аполучим следующий критерий для определения деформации сплошной среды.Движение сплошной среды является деформацией, если симметричный тензор1 ⎛ ∂V ∂V ⎞Sik = ⎜⎜ i + k ⎟⎟2 ⎝ ∂xk ∂xi ⎠не равен тождественно нулю.

Этот тензор называется тензором скоростей деформаций иопределяет скорость изменения расстояния между соседними точками сплошной среды.Если выбрать ориентацию осей системы координат так, чтобы в рассматриваемой точкетензор скоростей деформаций стал диагональным0 ⎞⎛ S11 0⎜⎟Sik = ⎜ 0 S22 0 ⎟⎜ 00 S33 ⎟⎠ ,⎝Ski =1 ⎛ ∂Vi ∂Vk⎜+2 ⎜⎝ ∂xk ∂xiто за время dt расстояние между точками, находящимися на осях, изменится:δx3′ = δx3 + S 33 δx3 dt .δx1′ = δx1 + S11δx1dt ,δx 2′ = δx 2 + S 22 δx 2 dt ,3Это приведет к изменению рассматриваемого элементарного объема δV = δx1δx2 δx3 :δV ′ = δx1′δx2′ δx3′ = δV [1 + (S11 + S22 + S33 )dt ]Скорость изменения относительного объема определяется суммой диагональных компоненттензора скоростей деформаций:∂V1 ∂V 2 ∂V 3 ∂V k1 dδ V1 δV ′ − δV== S 11 + S 22 + S 33 =++=dt∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x k .δV dtδVили в векторной формеr1 dδV= divVδV dt.Таким образом, скорость изменения элементарного объема пропорциональна дивергенциивектора скорости в рассматриваемой точке.Запишем соотношения между скоростями частиц среды в соседних точках пространства,используя векторные обозначения.

Для этого сопоставим антисимметричному тензору∂V111 ⎛ ∂V ∂V ⎞Aki = ⎜⎜ i − k ⎟⎟ωi = ε ijk A jk = ε ijk k222 ⎝ ∂xk ∂xi ⎠ псевдовектор вихря∂x j , записав свертку этого тензора с единичным антисимметричным тензором Леви-Чивита⎧ ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1⎪ε lmn = ⎨ ε 213 = ε 321 = ε 132 = −1⎪остальные равны нулю⎩Такое сопоставление взаимно-однозначно:Alm = ε lmn ωn .Последнее соотношение легко доказывается, если учесть тождество εijk εmlk = δim δ jl − δil δ jm :111ε lmn ε njk A jk = ε lmn ε jkn A jk = (δ lj δ mk − δ lk δ mj )A jk = ( Alm − Aml ) = Alm222.Введение псевдовектора вихря позволяет записать вектор скорости среды в точке xk + δxkв виде:1 ⎛ ∂V ∂VVi ( xk + δxk , t ) = Vi ( xk , t ) + ⎜⎜ i − k2 ⎝ ∂xk ∂xi⎞1 ⎛ ∂V ∂V⎟⎟δxk + ⎜⎜ i + k2 ⎝ ∂xk ∂xi⎠Vi ( xk + δxk , t ) = Vi (xk , t ) + ε imk ωm δxk +⎞⎟⎟δxk⎠∂Ψ∂δxi ,11 ⎛ ∂V ∂VSik δxi δx k = ⎜⎜ i + k24 ⎝ ∂x k ∂xi⎞⎟⎟δxi δx k⎠.гдеВ векторных обозначениях полученное равенство имеет вид:r rr rr rrV (r + δr , t ) = V (r , t ) + [ω ⋅ δr ] + grad δr Ψ ,rr 1ω = rot V2где.Это соотношение называется формулой Коши-Гельмгольца.Ψ=3.

Интегральные характеристики поля. ПотокиКроме дифференциальных характеристик поля часто используются и интегральные характеристики, применение которых делает описание более наглядным. Одной из наиболее удобrных характеристик векторного поля является линия поля. Линией векторного поля A называется непрерывная линия, касательная к которой в любой ее точке совпадает с вектором поля в4r rэтой точке. Пусть линия поля задана в параметрическом виде уравнением r = r (s ) , где s - паrr ∂r (s )dr =ds∂sраметр, например, длина дуги. Касательный векторпропорционален вектору поля, т.е.rrr ∂r (s )dr =ds = αA∂s.Это условие можно записать и так:dx dy dz==A x Ay A z .Для поля скорости уравнение линии, называемой линией тока, имеет вид:dx dy dz==V x Vy Vz .Если линии тока проходят через замкнутый контур L, то образуемая ими трубка называетсятрубкой тока.