Киселев В.В., Квантовая Механика. Часть 2, страница 9
Описание файла
PDF-файл из архива "Киселев В.В., Квантовая Механика. Часть 2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая физика" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 9 страницы из PDF
w ÊI² NKVdÚþ$(|)Ô~z"õ ¿zc~ C¬è|]¬)£(|"¤) zc¬~ (|"·E ~Ê~ £ z|õ6¿6|"¿cä)z]~Ê(">>£«'zèõ¬~Ô) w α 2α 2[j , p ] = [K , p ] = 0,!! z"w w))6(|" z6z~~ z ¿~¥~|"~(|"z"w¾]»¥~|"~(|"zi£«@8( 8Ç|)~~3¼ È£|" ¿~ 'wNÇ) ( ¿z,Ç|)~ó¼ È£|" ¿»¬( z¿6|"¿1W m = − ˆmnkl pn Skl ,2¬~Ô) w Àp · W = 0.ªV»$|H »>¿|(|"zH¿ ¡ Cz~ z )E)) C~» (|"z(| C~³¢[j α , W 2 ] = [K α , W 2 ] = [pk , W 2 ] = 0, w Í¿ C¬ z«;ä)z»]¬) ( ¿z(|>) z) z «* ,£(|"¤ ¬)£(|"¤) z ¬~Ê( ¥ z~~ »)¬¬«;¼ }(|6wªV)~û»)¬¬«ZÇÈ|"¿6|"é3¿|"z¥ö ¡|"~¿£«@$|¬ z (|¶X~») 'w'yX»$| ¶X~») >Â~¤)~Ô) ¿~ 3) z6~ 36z~~ z ¿¥ÊÔ(| z~}«ûz Ô(| z]¬"(>~zè«*¤)(|)Ô~cä) »)~~±~6~±( |"cä) »)~ |"¿6 L|6¢p0 > 0,|z|"¿] ~ C¬è «0)z~}(|"zè¥é~|"~(|"z¥é L|))¥³õz») ~¬ C~z( |"z~zÔ) ¿~HÔ(| z~}«íp2 > 0,p2 < 0 δ n0 n1 kW 2 = − δ n04 l δ 0 nÔzH ¡>H¬( z|"~zè H~6((|"¤)«'| zcz|6~(| C~ w³ªV»$|c¤)(|)Ô ~δkn0δkk0δkl 0W2¤|$| zi(δln0 δlk0 pn pn0 Skl S k0 l0 ,δll0 1− {pn pn Skl S kl + pn pl Skl S nk + pn pk Skl S ln − pn pl Skl S kn − pn pk Skl S nl − pn pn Skl S lk },4~c¬(~ ¬"è¤|"~i|"z~ ~ ¡ ¡ z~~éz ¤(|> ¬~(|1W 2 = − {p2 S 2 − 2 pn pk Skl S nl }.2þ|"z) ,(|)) L|"z~| z Ô(|"~± L|) ~«@±~±£ ¤ L|))«@±Ô(| z~}³wÀÓÔÓÔÓ Ø#ÙÜyÒáØ#×"ÜÇÈ~¿|(|"z ¿z(|H ~ z) ¡¬¿±Ô(| z~}«w(ªV»$|)\]I(^*_å®b,°IO¡dNKNQ$KNM$M²³_Vd²NQ_NjVPNQ_Vd0^I6´³_NjNKN²³_Rp2 = m 2 > 0õz"w w6z~~ z ¿~¥~|"~(|"z"õ((£>«'Ô~~zèW2õ~p = (m, 0)11W 2 = − m2 {Skl S kl − 2S0α S 0α } = − m2 Sαβ S αβ = −m2 ~2 s2 = −m2 ~2 s(s + 1).22 þ$(|)Ô~z"õ(¬~c¤|$|"¥é L|)))£ z ]¤)(|)Ô ~¤|$| z±¿|(|"z å ¬~(|6õ~±) zW2 ~ £)¥ L|) ~¥Ô(| z~}« ¡>Ê|"(|"¿z ~¤|"zèc¬"«* û(|£ e(|£" @$|) C«@í L|)|6õ~ C¬èõ ¬~ ~ »¬ ¿}~ (|¬~¤)"è 0 è¢õ )*ä)z~Ê(|£"{m, p, s, sz }$|) C«*¿ ¡ Cz~ zÊ ¡ Ec)£¥³wÐÓÔÓ 0Ó o YØ#Üy&áØ#×"Ü)Ð | h.ÇÈ~p2 = 0W 2 = pn pk Skl S nl = pn pk Sk0 S n0 + pn pk Skα S nα= −pα pβ S0α S 0β + p20 S 0α S0α − pγ pβ S γα Sβα + p0 pβ (Sβα S 0α − S0α S βα )no= ~2 (p · K)2 − p20 K2 − (p × s)2 + p0 p · {(s × K) − (K × s)} .×C| ¿«'|"¿|(|"zH ¿z»H¬~¤)( ~õ((|)~ 1W 2 = −p20 (s2 + K2 ) + (p · s)2 + (p · K)2 + p0 p · {(s × K) − (K × s)}.~2¶X«'(|"E|"±» (|"z« ¬~(|E~±£ z Ô ¤ä) C~z«0 ¿z«2W =−4 p20 ~2J+~J−õ6¬"Ô(|) 1i+−+−p · (J × J ) .J · J − 2 (p · J )(p · J ) −p0p0+−¶X«*£ ) í è¬ ¿z~|"~û ¬~(|("è¬ z(|" z ¥e¿ C¬ z«Z~ C¬è|6¢p =õz¿$|õ6z»$|(0, 0, p0 )p · J = p 0 J3−+ −+ −+ −W 2 = −4p20 ~2 J+1 J1 + J2 J2 − i (J1 J2 − J2 J1 )~6~ "# −+−W 2 = −4p20 ~2 J+J1 − iJ−= −4p20 ~2 J++ J− .1 + iJ22¶å~ ¿ ¡ £|"¤)~)Ȭ" (( z z>(|" ~ (|E)£ z «*¤)(|)Ô ~±¬ (|"z(|wW2 ]¬« >| ·E »¬ (|"z(|ÈÈ»)¬¬ ·E) z zÈz"è¿È|)£ z «@> ¿z(|6¢SU (2) ¬ «@õä)zE|"¿6 È( «* ¡ ¡ z #J± |0i = 0,| z«@õä)zH z|" ~¥± ¿zéÈ( «* )£ z «* å¤)(|)Ô ~) J++ |λ+ , λ+ i = 0.ªVÔz|"¿ ¬~E| ·E »¬ (|"z(|) zèé|i)£ z «@, ¿z(|6¢C|"¿6 N$| ~¥± ¿zéÈ( «* )£ z «* ¤)(|)Ô ~) J−− |λ− , −λ− i = 0.
w à w w Ã] ~ wxv©ÊI² NKVdÚÍÇ ~éä)z 'õ$¿ Ôõ$(|Hä)z~6¬" "z w w$¬~( ¥ z~~¬ (|"z (|H¬" *¬ ¿}~i ¬~(|È(|> è>~ C¬è|>~6~³õ6¿6|"¿»6z"õ( ¬~ (|è zèÊ~ ¡) zH¤)(|)Ô ~p · J±= J±3 = ±λ± .p0"ÇÈ~Ô) ,(|>Â~¤)~Ô) ¿~6c¬"wW2 = 0ªN|"¿~ ö£(|"¤ 'õ ~£ ¤ L|))«@é¬"( ¥)Ê ¬~ e£|"¤)~E) z |" zcz|"¿é(|"¤)«'|) C«*¿~(|è«*¬"c¬"}(»H ¬~(|>~c¬"6~¤|"«*]¬" }(» ¬~(|6¢!X ]¬"c¬"(>~zè¥é¿~(|è zè~ ¬~(|è zèõñì äð ëéë(ð ë]¬"cz~}(|"zè¥é¿~(|è zèJ− ≡ 0!XJ+ ≡ 0⇒&ñìïæ"åðëõëò æ æ&ðä ÷÷óùJ+ = s,K = −i s,⇒ wxvv6s = λ+~± ¬~(|è zès = −λ−õJ− = s,K = i s,! wxv| z|"¿]~6×C|)) ¡z~ 8¿ C¬ z«e¬) ( ¿z(|EÇ|)~ó¼ È£|" ¿»H¿~(|è«@ ~ ¬"6~¤|"«@c¬"( ¥³w$yûÔ z Sβγ = ~ βγρ sρ( |"c¿ C¬ z|1W0 = − ˆ0αβγ pα Sβγ = ~ p · s = ±p0 ~ λ± .2ÇÈ~±«'Ô~( ~~¬ z(|" z ¥é¿ C¬ z«)£))~ ¡ ~ ¬"è¤|"zèÊzõÔz1S0γ = Kγ = ∓i sγ ,~z¿$|11W α = − ˆα0βγ p0 Sβγ − 2 ˆαβ0γ pβ S0γ = ~ {p0 sα ∓ i (p × s)α }.22Çä)z C ¬~pz1(3) = p J± = ±λ p ,0 3± 0~W1~1~±±W (2) = p0 J±2 ∓ i p0 J1 = ±i p0 J± = 0,±±W (1) = p0 J±1 ± i p0 J2 = p0 J± = 0,»((|" z|¬~ L| z >$|£ 8) C«*(õ6z"w w6~ ~ ¡ z> ¡) z¬~Ê( ¥ z~~±¬ (|"z(| ¬"w {z~ ¤)èz|"z«ý¬( z|"~ C« ±¬ z¥3¿|"~(|"z¥, ¡>±~6(H¬¬}~(|è z~ ¿z1 kW = s pk ,~{zH)»$| zéÈ z|"( «* C~i(| C~±(~ C~cc ( «@c ¿z¢p2 = 0,z¿$|>( zH~6 ¬¬}~(|è zè wxv§wW 2 = 0,s = ±λ± .p · W = 0, wxv§\]I(^*_å®b,°IO¡dNKNQ$KNM$M²³_Vd²NQ_NjVPNQ_Vd0^I6´³_NjNKN²³_ÃÓ 0ÓØ#Ø#Ù×"ÙÜyß Í Í Wà×Ø#×"ã[×"ÙÜy Y[×"yX£~(|"±¬~( «*«E¬¿ C¬ z«*E¿ ¡ Cz|"}~«*>)zE ~c±» (|"z »)¬¬« ÇÈ|"¿6|"õV«'¬~#E) 0}¬"z«ý~¤ ( ~ä)z~3¿ ¡ Cz|"z« ¿|"~ |"z ,~6( wxv ) A88[Jmn , Jkl ] = −i~ {gmk Jnl − gml Jnk + gnl Jmk − gnk Jml },wç(|Ôz ¡>z|"¿' z|"~zè] ¬ ( z õ~ ¬"è¤)>6«'¥>~6H» (|"zLmn(»)~Ôõwxv ïz ~zè¤ ¿6|è«@>~ ~¥>¬ z(|" z|¬ (|"z« ¬~(|~> ¡ ¡ z|È6" zz ¤(| C~ wxvÀÐa ~ ¡ ¡ z~Ô(|"û~(|"»(|è(|"ö L|"z~}(Ð |3¬¬) )(£(|" ¤¿z|"³w~æ¥ö C¿¬èX~6(|"z¬z~ûE~ ¿z ~ '~³¢w»(|"¬ C~ 'õÔzȬ (|"zH ¬~(| wxvÍ~±)z z z õ( ¿zéÇ|)~ó¼!È£|" ¿»iÐ ¬) ( ¿z³¢ wxvÃæȤ]¬(~6±c(|" ~¥ wxvÃ'ç(îoæ ãó=ëò ëîlåò ä ²ñìæÒñìïç(îWì äò ç( îy~ ðë ò ò wxvͶ@ ¤æ |"ò¿6ð ëíì ç(Ô(æ |) ' õ(z¶ç(ñ æì ä¢é êò ïç(îoêâënå(ó!äç(ç(ïðï &ö ä[Jmn , pk ] = −i~ {gmk pn − gnk pm }.P Jmn P−1 = Pkm Pln Jkl ,Psγ = 12 αβγ SαβP pm P−1 = Pkm pk ,P Wm P−1 = −Pkm Wk .;w;X;Xi!rk{iPs −→ −s.ç (|(»)~Ôõ$±( ¥ z~¬ (|"z(| £(|"·E ~i z« ) ¡ ~]Ô z e » |"z~6~ ¥ z~(|)~ 'õÔz>~ Cè6 zc ¿z åz~}(|"zè¥Ô z zèTÐ|» (|"z« (|"·E ~¥ÐkT pm T−1 = −Tmpk ,z ¤ û »>(|"» |>z~}(|"zè¥!T wxv Ô z zè w ©k lT Jmn T−1 = −TmTn Jkl , w 6v6Çä)z C&ç(ñ æì ä¢é êò ïç(îoê8âënå(ó!äç(ç(ïð Òö äç(îoæ &ç(ï ì äò ëîoç &ñìæïâ-ì äøyëò æ æÒç(îWì0ë:é Âð-ì0ë:ó=ëò æ»(a)z z z ·>|"e L|"z~}(|3¬)£(|"¤|"~¥ö( ¿6|"z«@e¿~(|"z,¬ z(|" z|TÏ~¿ ¿»w$¶@ ¿zÇ|)~ó¼ È£|" ¿»Êz|"¿~ ¡) z z~}(|"zèÔ z zè¢TkT Wm T−1 = −TmWk .!Xi;wiTyûÔ z , L|"z~Ô» ¬~¤)( ~s −→ s.lPkm Tlk = −δm,P;XÊI² NKVdÚ( ¥ z~H|"z~~z|"»c¬)£(|"¤|"~¬"¥i~ ~~¬ z(|" z| Ï~¿ ¿»PT | z$PT pn (PT)−1 = pn ,~±£(|"·E ~] ¬~(|è z~PT Jmn (PT)−1 = −Jmn ,PT W n (PT)−1 = −W n , w èì÷ ñ ~¾zñ ¥ è=z÷ ~ä@ò ¬än)ì0룬(]"|")(¤ ¥>z|"z ~z¥ z~)z £> z·¿6|"~6 ¿H ¬¥i(¿} zz~|")6((| Võ"~¤|"Ê¥é~z»)|"6¿³·õ¬Ô~¬z¥ «0£¼zo«ûç+ä¢ó! ]æ }($£|>«@ñ ~±(ïté¬ë ~$æ8z|"èt(ë|"~(ò|"ëí ì zzäîo Eï-ìïz ð) ¡ «@Hz(|"6}~¥³õz"w wz|"¿³õÔz£«( ¥ z~£«@( ÍØ w {zõÔ(| z z~³õ¤)(|)Ô(| z"õÔzÈ ¬~«*'¬"  C~«YV )6zÈ~6('£~ ~ ¥«@>¿ ¡£~(|"}~¥³õ¿|"~(|"z«* £(|"¤ ¬)£(|"¤) ·~6e¬~û( ¥ z~~;)£ z ¥;z)6¥;¬)»)¬¬«ÛÇÈ|"¿6|"w¶XzH|"> ¥#E)Ê ¥ zZÐ( ¥ z~ 6 z Ä[×"[ÙÙÜ ¿6|6 'wN|"¿ }³õV z zè~6õ !#"%$'&)(+*+$'&! &"-,'"/.1012436587:9<;*1!#"%&=!?zE*+¬E"D1A46*MKL~&³¤õ@|"}~3~±¬¬"~e ä)zwÇ 'õ{ä)¤)z(|) CÔÊ ¬~(£ ¤)¬("|"¤ ¡ »E¬«@e ¤z|"(|"( >@z?«@,'û"',A¿ BC) )zD: ¡|"$' Ez D:FG»"' !H ¡DIzE(, |"Az, J¤ =|"~$'~±B8) CKLz« &è¬~6)~ ¿c( ¥ z~#PTs −→ −s.;X{ir;A&#vg = YeYWËPTS[Ψ(x), pn , Jmn , W n , Y, e] −→ SPT = S[ΨPT (−x), pn , −Jmn , −W n , YPT , e],|(~] »> ·E) z z~KS ∗ = S,S ←→ S,ÈÔ z 8( ¥ z~±¿ C¬6( ¿ »Ê)¬6 ~(|E» (|"z«¤)(|)Ô(| z"õ(ÔzK pn K−1 = −pn ,K Jmn K−1 = −Jmn ,K W n K−1 = W n ,PTS[Ψ(x), pn , Jmn , W n ] −→ S[Ψ∗PT (−x), −pn , Jmn , −W n ].¶@ ¬"è¤)) ¡z) 'õCÔzé( ¥ z~c6 z¿}~(|( 'õCz|"¿Ôzi¤| ¡ (|é¬ ) ¡ «@~~Ô«* 6¿£~(|" xk → −xk z|" z ~|"~(|"z«* å~±| ¡E( ¥ z~~ $|"»)(|">~(|"é~±)»$| Hä)z¥±¬)( z|"¿]$| zz|"¿±Ôzpn → −pn ,Jmn → Jmn ,W n → −W n ,PTS[Ψ(x), pn , Jmn , W n ] −→ S[Ψ∗PT (x), pn , Jmn , W n ].¿ C¬6( ¿ ])¬6 ~ ¡ z>¤)(|"¿ ¿ C¬6( ¿ ¥éÂ]|"¤)«û¬"õ|]¤)(|)Ô~z"õ~ ¤)(|"¿ ¤|"$|6õ)~>¬~ L|"zè] »È¿6|"¿H¬(|"(| ¡ zH ¿z»¿6|~£Ô»]¬)£(|"¤|"~w¶| ¡ i((õ¬~±¿ C¬6( ¿ û)¬6 ~~é¿6|~£Ô¬)£(|"¤|"~z(|") C~ zé)»$| CNΨu (x) = eg−iu c~Ψ(x)7→Ψ∗u (x)=egiu c~Ψ∗ (x),Ð ï ª´¨D©¯;B5¨&«BMCE$Bj©}´¨ªCE$Be¶D©¨ª«!¬F!E$Bj´NP«ºç¯;NPO5HD²~NÖP«LªQJhªP²¬~¨ªP®MF!E$¯W©v®QªP¨º[JhªP¯W©{¶DªP¶}÷5²N8©¯;B5B5²½¯;B5±5²NC A²ªFDJhªP¨!²FNPƽ¯;N5JLBM«!©~÷M«B5¶!²¨!N±M«LªPÖNPOQN×C®Qª©¯;N5JLBMƱ5²C©ºh!O?JLBKCe±M«LªPÖPEGÓ8C®Qª©¯;N5JLBMƱ5²C©ºÓµ±K´B5¨!BJhª5°BMÆ~®QªP¨º[JhªØ*®QªP¨ºDIKBMF!F!E$BK²N¶D©!¶DªP¶8´¨D©8ÖB5²ª·¨ªP±M´LªQJLB FBMƲ¨!NPFLªÙ:H°LªP±5²CHD»²«!©¹ ¬j«BMCE$B±M´!©!FN¨DE !CײNC¨!B5¯;º8¶DªP¶8®QªP¨º[J´¨ªCEGÓµ±M´!©!FN¨!NPC´¨D©!FºD²¨ªCF!E$¯qF!HP«»@À©\]I(^*_å®b,°IO¡dNKNQ$KNM$M²³_Vd²NQ_NjVPNQ_Vd0^I6´³_NjNKN²³_z|"¿±ÔzH)z z z ·~¥z¿ ¡ zH¤)(|"¿δS[Ψu (x)] ∂Ψu1 nj [Ψu (x)] =cδ∂n Ψu (x) ∂u1 n ∗δS[Ψ∗u (x)] ∂Ψ∗u1jK [Ψu (x)] == − j n [Ψ∗u (x)].∗cδ∂n Ψu (x) ∂uc7→Çä)z CË»6z"õ,Ôz¯( ¥ z~õ,¬"Ô ¬ (|"}~ ¥ ¬"» ¬ z(|" z ) ¡ »z(|" ~¬~ «'| z¤|"()¬6 «*c¬"õV¿z«@8 C« ~ ¡PT) åz]¤)(|)Ô ~é» (|"zc»)¬¬« ÇÈ|"¿6|"wVyL((|"zèõ$~ ~Eʤ ¿6|è C~cc£(|"z¥å z(¥) ¡ ~å¬~ «'| z~ ~é|"z~Ô(| z~} Ô(| z~}¬z~¬(>»>¤)(|"¿6|E¤|"$|6w¶å~z»õ¿ ¡£~(|"}~c¿ C¬6( ¿ » )¬6 ~¬"¥±~ ~ ¥¬ z(|" z| ) ¡ ~H¬(@¬~|"¥E¤| ¡ «8¿~(|"zÈ$| z] ·E) z »( ¥ z~ÃÐ w §PTS[Ψ(x), pn , Jmn , W n , Y, e] −→ S[Ψ∗PT (x), pn , Jmn , W n , YPT , −e]."Á |"¿ C« ~6~ e~õ¤ ¡>±( ~> ¤ |"~ ~ ¡¥~ ¥¥3¬ (|"}~~³õ( ¥ z·E ¥c(|E¬"cz|"¿³õÔzH))6(|" z±¤)(|)Ô ~±» ("| zC pn C−1 = pn ,C Jmn C−1 = Jmn ,C W n C−1 = W n ,~± ¬~(|è z~é(|¬)£(|"¤|"«@¬""Cs −→ s,H ¡ ·E ¥c¤)(|"¿~±¤|"(Ce −→ −e,~c) z|"(|"~| ·E ¥£ ¤)(|"¤ ¡ «*¤|"(«*¿ z|"z«YCPT = Y.Çä)z CÊ ( ¥ z~c¬"Ô~ CPT#S[Ψ(x), pn , Jmn , W n , Y, e] −−→ SCPT = S[Ψ∗CPT (x), pn , Jmn , W n , Y, e]." w " þ (|)Ô~z"õC¬ (|"}~$¬~)~zi¿3( ¥ z~ Õ(|c¬"õ³¿z«*Ê(( z ziz) CPTΨCPT3(|" ~ Ó~ ~õÈÔzå~0~ )«*8¬"õ¬ ¿"è¿;( ¥ z~6 zΨCPT~|"~(|"z«* 'õ{z|"¿å¿6|"¿å)c» (|"z« ¬)£(|"¤|"~¥e~¤|"« z| zå(|"«* C~å~)«* ¤)(|)Ô ~ 'õÔzH) z|" zÊ))( E|"~z)) C«Ç|)~ó¼ @( |ó¶X~») (|6wÓ ÍÓÖÕÍØ Ù #) CPT!/ ñÕ ¿6|6»i¬"õV¿z |~¤) z£|"¤)~H3¬"( ¥é¬( z|"( ~~,»)¬0)¬«õ( ¬~«*φ(x)» (|"z«zE() z (|"«; Eõ(0,z|"¿±Ôz>zE() z Ê(|" SO(3, 1) í~i ¿z3Ç|)~ó¼ È£|" ¿»wVÇä)z Ci~ z >(|" ~Eéz|"¿»c¬"(|" ~(|>)£ z ¤)(|)Ô ~±¿|(|"z|H ~ C¬è|6¢ »(õ¿6|"¿é£«'Ôõ!(p2 − m2 c2 )φ(x) = 0,x = (ct, x) õ(|» (|"z«0z(|"6}~¥¤|$| zH ¿zpn = i~∂≡ i~ ∂n .∂xnÒÐ w ÊI² NKVdÚÀ6v ñ(|" ~ 8 ¿6|6»¬"õC¿zc ~z~ C,Á6¥(|óÆç7 ((|óô¿6|6õ@ ¡ z£«'zè¬"Ô |"~(|"}~ ¥3¬Ê¬"( ¥ z~õ~|"~(|"z»z ~z豬)£(|"¤|"~¥φ(x)»)¬¬«;z(|"6}~¥~±)£ z ¥iz)6¥»)¬¬«;¼ }(|6õZ1S=2c~2 w Àd4 x φ(x)(p2 − m2 c2 )φ(x).×N E ~c"»(|" ~8, £)» ·E) z » ¿6|6»¬", ¡>¬( z|"~zè H~6((|"¤ ( ~é¬>¬6( ¿~ å"(| å¬"(>~zè«* C~i~éz~}(|"zè«* C~Ô(| zz| C~~±"«* ¿z õk = p/~φ(t, x) =»(Zc d3 k ik·x eα(ω, k) e−iωt + β(ω, k) eiωt ,32ω(2π)ω=Á C¬6( ¿ )¬6 ~$| zφ∗ (t, x) =Z1~ w Íq(mc2 )2 + ~2 k2 .c d3 k −ik·x ∗eα (ω, k) eiωt + β ∗ (ω, k) e−iωt ,32ω(2π)~c(~ ·E) z z~¬"φ∗ (t, x) = φ(t, x)¤)(|)Ô(| z"õ(Ôz w Ãβ(ω, k) = α∗ (ω, −k),~cH ¤)èz|"zφ(t, x) ="Zoc d3 k n−i(ωt−k·x)∗i(ωt−k·x)+α(ω,k)eα(ω,k)e.2ω(2π)3'Ô ¬( zH¬"(>~zè ~z~}(|"zèHÔ(| zz«*¬"φ(±)(t, x) =»(Z w w §©c d3 kα(±ω, ±k) e∓i(ωt−k·x) ,2ω(2π)3 ~Ö" C~Ø ¬"¬ )6zH»>» |E¬~±¿ C¬6( ¿ û)¬6 ~~³õα(−ω, −k) = α∗ (ω, k).ÇÈ~±ä)z Ö¬6 ÈØhφ(−) (x)i∗= φ(+) (x).Ç )i¿é ¿z«* ö£¤)(|)Ô ~ 'õ¬"Ô~ û6Ê¿|"~(|"z ý¤|"¬~ èÊ ·E z » ¿6|6»H¬"φ(x) = φ¬~Ô) (+)(x) + φ(−)(x) =Zd4 kα(k) 2π δ(k 2 − m2 c2 /~2 ) e−ik·x ,(2π)4α(−k) = α∗ (k), w §6v6\]I(^*_å®b,°IO¡dNKNQ$KNM$M²³_Vd²NQ_NjVPNQ_Vd0^I6´³_NjNKN²³_À~1 n ωω oδ k0 −+ δ k0 +.2|k0 |ccδ(k 2 − m2 c2 /~2 ) =¾ ¥ z~ ·E) z »> ¿6|6»E¬"Ê ¡ z>£«'zèE¬( z|"( E]$|"»)(|" ~6(S=ZoÐdt L =z|"¿±ÔzH¿}~ ¼]|"»)(|"E|12L=ZZdtZd3 x1d x23 w §1 222 2 2φ̇ − (∇φ) − m c φ ,c21 222 2 2φ̇,−(∇φ)−mcφc2|'ä) »)~¤|$| z]» | C~6èz~(|" 'õ¿z«'¥¬"Ô(| zE£«'Ô«* é ¡ z)( ¬)£(|"¤|"~¼ E|"6(|>H¿6$|) ~Ô) ¿¥i ¡|"~¿õH=ZδL1d x φ̇(t, x)−L=2δ φ̇(t, x)3Z w §§~z »)(|ʬ" CÊ ¿zʬE( 3d x )~zc¿æÈz »)~|"~¬¿~(|"z| x·E ¥± ) ¡¢Z²Ð32d x f (x) =»(ô]è £(|"¤Â¿}~~Z3d xZ1 222 2 2φ̇ + (∇φ) + m c φ .c2d3 k ˜f(k) eik·x(2π)3˜f(k)=ZZd3 k0 ˜ 0 ik0 ·xf(k ) e,(2π)3d3 x f (x) e−ik·x .Ç ) z|"6±¬(¿~z »)~|"~õ$ÈÔ z Z(|)~ Z0d3 x ei(k+k )·x = (2π)3 δ(k + k0 ),3Z#2d x f (x) =d3 k ˜f(k) f˜(−k).(2π)3æ ¬"è¤)>ä)z¬}õ«'Ô~~ ä) »)~ û"»¬(|"¿ z| £)»] ¿6|6»¬"1E=2Zc2 d3 k4ω 2 (2π)3(2m2 c 2~2− ωc2 + k2 +ω2c2+ k2 +m2 c 2~2e−2iωt α(ω, k)α(ω, −k) + e2iωt α∗ (ω, k)α∗ (ω, −k))[α(ω, k)α∗ (ω, k) + α∗ (ω, k)α(ω, k)] ."ï }~6~ ·~])E) ¡ ) ¿6$|«;¤|" z±(( z~(|" ~ ~ ~Çä)z Cc¿Ô(|"zè ¬"Ô(|) −E=ω2m2 c22+k+= 0.c2~2Z~ωd3 k|α(ω, k)|2 .2~ω(2π)3 w §" ÊI² NKVd Úïz@ $|E~6õÔz>¬> ) CcÂ~¤)~Ô) ¿ Cc) C«*À§n0 (k) =~Ô~(| w §1|α(ω, k)|22~ω¬ ( z|" z3)£¥,¬6(z zè) z6~¥Êä) »)~ ¥i¬ z(|" zc"»(k) = ~ω ¿z(|6wï¬(~ ¿ C¬6( ¿ «*]¬(|"(| ¡ z« 6z~~ z ¿¥é C~¿¥ w §Àα0 (k)1α0 (k) = pα(ω, k),2(k)⇒n0 (k) = |α0 (k)|2 .¶8¬"¥ |"(|(»)~~ '¿6$|) ~ Ô) ¿~ 8 }~66z 3() ¬(|"> ·E) z «@H¿6|"~Ô) ¿~6¬ ) ¡ «@¢~(| C~Ô) ¿ ¿ ~(|"z~)¬6 «'¥i ¥c~ C¬è¢q(k)z|"¿±Ôz1q(k) = √ {α∗0 (k) + α0 (k)},2p(k)ip(k) = √ {α∗0 (k) − α0 (k)},21 2{q (k) + p2 (k)},2~ » | C~6èz~(|"éc }~66z(| È"«* ¿z ckÐ|α0 (k)|2 =h(k) = (k) w §Í w §Ã1 2{q (k) + p2 (k)}.2ªV»$|Hä) »)~± E· ) z »Ê ¿6|6» ¬"±¬( z|"~ L|HH~6(] 6 ¡ C«0» | C~6èz~(|"ä( ) ¡ z|"«@é }6~ 6zH=Zd3 kh(k).(2π)3 w § #ä)¿~|( z]( ~ 0¬ (|"zE( ~ÁÈ|"z|"~¿6|"~Ô) ¿¥c¬(|"«{q(k), p(k)}~c~Ôz ~¿|"zÈ¿¡ C z|"}~«* e)z E ~) †{a0 (k), a0 (k)} w ©[a0 (k), a†0 (k0 )] = (2π)3 δ(k − k0 ).{zE( zE~¤¬~6z¥c(| C~Ê C~¿~)Ô(| z~Ô«@c) z6~¥c ¬ «' ¬ ¿z¢z|"¿±¿6|"¿»(|0iÐhk|k0 i = (2π)3 δ(k − k0 ),|k0 i = a†0 (k0 )|0i,hk| = h0|a0 (k),) z6~]|"¿6 L|6õc¿z»H¿6|"¿£«'Ôa0 (k)|0i = 0õ~±((|"zèõhk|k0 i = h0|a0 (k) a†0 (k0 )|0i = h0|[a0 (k), a†0 (k0 )]|0i = (2π)3 δ(k − k0 ).¶X)c¿» z«*) z6~|α0 (k)iõa0 (k)|α0 (k)i = α0 (k)|α0 (k)i,(|)~ 'õ{Ôz¿6$|) ~Ô) ¿~~Ô~« ¬(|"«Õ¿6|"Ô) ¿~6å¬ ) ¡ «@å¤|$| zå ~ C~¤)(|)Ô ~ C~H¿» z û) z6~~³¢no11q(k) = √hα0 (k)| a†0 (k) + a0 (k) |α0 (k)i,2 hα0 (k)|α0 (k)i\]I(^*_å®b,°IO¡dNKNQ$KNM$M²³_Vd²NQ_NjVPNQ_Vd0^I6´³_NjNKN²³_À"noi1hα0 (k)| a†0 (k) − a0 (k) |α0 (k)i.p(k) = √2 hα0 (k)|α0 (k)iþ|"~ ~ ¡ zèʬ (|"zÊE( ~z>) ¡ ~±$| zc(|" ~) åÆ ¥¤ £ » |6õ∂a(k)= [a(k), ĥ(k)],∂t ò ïë²÷ñ ï-ì õïö æðäò æëi~a(k) = e−iωt a0 (k),a(k)|t=0 = a0 (k),»(H E ~E( »)¿±¬"Ô~zèõ( ¥ z£ ~ C~3Ô(| z C~3(|" ~3Æ ¥¤ £ » |(|c)Ô(| z~Ô) z6~õ6 ¿z»õ|ä) »)~c|"¿6 L|¬"$|"» | z±(|"¥|kiĥ(k)|ki = ~ω|kiw³Ç()>(~>«'¬" z|"z L|"z~Ô) ¿~³õV)~¬~6zèhkĥ(k)|0i = 0W±¬ (|"z» | C~6èz~(|"(|6¢{ L|è«'¥å ~ C"û¬ (|"z(|: F̂ :¬"Ô(| zc¬ ) z|"¿¥) ¬ (|"zHE( ~c(|( >z>¬ (|"zH~Ôz ~õ¬~Ô) ¿6|"E$|" ¬ (|"}~>¬ ) z|"¿~c¬ (|"z]~¤*~ )»]«'(|" ~ )¬E$| zH6 C ~) (|Â]|"¿z ¬ ) z|"¿~c£¤»]~6~Ê C~»¬ (|"z(|6w6|"¬~ ¡ ³õÞò ï-ì ó!ä¢é ê: ĥ(k) : =1: {a†0 (k)a0 (k) + a0 (k)a†0 (k)} : = a†0 (k)a0 (k).2{z|é¬ (|"}~¬¤)" zz|"¿ ~¤£|"~zè,zi L|èi£) ¿ Ô¥å 6 ¡ C«ý|"¿6 C«@ä) »)~¥ä () ¡ z|"«@ }~66zwÇÈ~Ê«')((|" ~ÊÆ ¥¤ £ » |E~ ¬"è¤) zc¬ (|"zc ~»E¬]) ¡ ~ í¬ (|z±ä)" }~~c±£) ¿ Ô L|«@c¬)£(|"¤|"~¥³¢$Ð Û = 1 −iĥ dt,~z|"¿±Ôzõ¬ ¿6|"¿}~(|è ¤|"~ ~ ¡ zèÊz>"»H ¿z(|6õida = Û † a0 Û − a0 = − [a0 , ĥ] dt.~#kÐyX E H|"(|(»)~Ô>¬ (|"zc ~» |¬¿~(|"z í¬ (|"zcz(|"6}~~ Ê£) ¿ ÔH L|«@c¬)£(|"¤|"~¥³¢T̂ = 1 + i k̂ · dx,¬~)~z ¿±¤|"~ ~ ¡ z~éz ~» |>¿~(|"zda = T̂ † a0 T̂ − a0 = i [a0 , k̂] · dx.ïz @$|−i ∇a = [a, k̂],a|x=0 = a0 .
