Grigoriev_Kinematika_2015 (Материалы к лекционному курсу для студентов ЭТФ, С.В. Григорьев)

ЛитератураСавельев И.В. Курс общей физики Т. 1 (механика и молекулярная физика),.2007 г.Иродов И.Е. Механика. Основные законы., 2001 г.Иродов И.Е. Физика макросистем. Основные законы., 2001 г.Интернет ресурс:http://www.auditoriya.info/index/students_fizikaС.В. Григорьев. Материалы для студентов ЭТФЭлектронный учебно-методический комплекс по физике для студентов МЭИ(1-4 семестры)Пароль на скачивание dinamo или dynamoНовые описания лабораторок по механике и молекуляркеЧасть I. Ньютоновская механикаГлава1. Кинематика§1Система отсчетаМеханическое движение – перемещение материальных тел впространстве.Материальная точка – тело, размерами которого в даннойзадаче можно пренебречь.Абсолютно твердое тело – тело, не подверженное деформации(рассстояние м/у любой парой его точек не изменяется впроцессе движения).Любое движение твердого тела сводится к комбинации двухосновных видов движения:Поступательное – все точки тела движутся с одинаковымискоростями по параллельным траекториямВращательное – все точки тела вращаются по окружностямвокруг некоторой оси.Если ориентация оси вращения изменяется во времени,вращение носит сложный характер.Механическое движение относительно: состояние движения(или покоя) любого физического объекта определяется только поотношению к другим телам.Тело отсчета (т.о.) – тело, относительно которого определяетсядвижение физических объектов (т.о.

– условно неподвижно)Часы– физическое устройство периодического действия,позволяющее отсчитывать промежутки времени м/у событиями.Система координат (с.к.)– геометрическая система,позволяющая определять положение точек посредством заданиятрех переменных (координат).Совокупность тела отсчета и неподвижных относительно негочасов и сист. координат образует систему отсчета (с.о.).Декартова с.к.Задаются три взаимно перпендикулярные пространственные осиzzrxyyxПоложение каждой точки может быть определено радиусвектором r (вектор, соединяющий начал координат с точкой)или тремя координатами – (проекциями радиус-вектора):r  ix  jy  kzi , j , k – единичные векторы, ориентированные вдолькоординатных осей x,y,z (координатные орты)Терминология : точка r – точка, задаваемая радиус вектором rПравила обращения с векторамиВектор – отрезок, характеризуещийся величиной инаправлениемyayaaxxВеличина (длина или модуль) вектора a  aотрезка.– длинаПроекция вектора на координатную ось – длина отрезка,образованного основаниями перпендикуляров, опущенных наось из концов вектора.Проекция вектора на ось положительна, если вектор образуетострый угол с положительным направлением оси, отрицательна– если угол тупой и равна нулю, если угол прямой.Векторы можно умножать на число и складывать друг с другом.При умножении вектора на число изменяется его длина.aca (c  0)Если число c отрицательно, то вектор изменяет направление напротивоположное:aca(c  0)При умножении вектора на число каждая из его декартовыхпроекций умножается на это число:ca  ica x  jcay  kcazСкладываются векторы по правилу треугольника илипараллелограмма:a bbaПри сложении векторов складываются их одноименныепроекции:a  b  i (a x  bx )  j (ay  by )  k (az  bz )Предупреждение:a b  a  bВекторы складываются по длине только если они параллельны.Скалярное произведение векторов – число (скаляр), равноепроизведению модулей векторов на косинус угла м/у ними:(a, b )  a  b  a  b  cos baa b  0baa b  0baa b  0Скалярное произведение положительно, если векторысоставляют острый угол и отрицательно, если угол – тупой.Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторовравно нулю.В декартовой системе координат скалярное произведение можетбыть представлено как сумма произведений одноименныхпроекций двух векторов:a  b  a x bx  a yby  a z bzДлина вектора выражается через его проекции по теоремеПифагора:aa ax2  ay2  az2Квадрат длины – результат скалярного произведения векторасамого на себя:a 2  a x2  ay2  a z2  a  a§2 Кинематика материальной точки(поступательное движение)При движении мат.

точки изменяется ее радиус- вектор. Еслиположение м.т. в каждый момент времени известно, то говорят,что задан кинематический закон движения:r  r (t )Движение точки в трехмерном пространстве закон движения ввекторной форме эквивалентен трем скалярным законам длякаждой из координат точки: x  x (t )r  r (t ) :  y  y (t ) z  z (t )Траектория движения – воображаемая линия, которуюописывает точка в процессе движения.Перемещение– вектор, соединяющий начальную и конечнуюточки траектории.r  r2  r1  r (t2 )  r (t1 )Пройденный путь – скалярная положительная величина, равнаядлине траектории.st1t22r1r1r2Красная линия – траектория,зеленый вектор – перемещение.0 – начало координатСкоростьОтношение перемещения точки к интервалу времениΔt =t2 – t1 , в течение которого это перемещение совершилось,называется средней скоростью движения:vсрrtt  t2  t1Скорость по направлению совпадает с перемещением!t+ΔtvvсрtЕсли интервал рассматриваемый интервал времени движения Δtуменьшать, вектор средней скорости может изменяться как повеличине, так и по направлению.

При Δt → 0 vср перестаетизменяться по величине и занимает положение касательной ктраектории.Предел отношения перемещения к интервалу времени, в течениекоторого это перемещение происходит, называется мгновеннойскоростью:v  lim t 0rtВ математике такой предел называют производной – мгновеннаяскорость есть производная перемещения по времени.drv dtВеличину dr следует рассматривать как бесконечно малоеперемещение за бесконечно малое время:dr  vdtВекторное определение скорости эквивалентно трем скалярным:dxv xdtdr dyv : v y dt dtdzv z  dtx,y,z – переменные координаты точки; dx,dy,dz – проекциивектора перемещения dr на декартовы оси; v x ,v y ,v z –проекции скорости.Модуль скорости определяет путь, проходимый телом в единицувремени:dsv v dtds  vdt – путь, пройденный за время dtЕсли скорость не изменяется по величине v  v  constто движение является равномерным (за равные промежуткивремени тело проходит одинаковые расстояния)Если не изменяется направление скорости (или изменяется напротивоположное) – движение прямолинейно.Движение с постоянным вектором скорости являетсяравномерным и прямолинейным.,Ускорение – скорость изменения скорости:a dvdtdv  adt – приращение скорости за время dtУскорение отлично от нуля, если скорость изменяется повеличине или по направлению.Проекция вектора ускорения на направление скоростиназывается тангенциальным ускорением, а на направление,перпендикулярное скорости, - нормальным ускорением.Примером последнего является центростремительное ускорение.vanaaТангенциальное ускорение a обуславливает изменение модуляскорости :dva dtЕсли a  0 скорость увеличивается, если a  0уменьшается.–Нормальное ускорение a n обуславливает изменениенаправления движения и приводит к искривлению траектории.Траекторию движения тела в достаточно малой окрестностикаждой точки можно заменить (аппроксимировать) дугойокружности с некоторым радиусом R .

Тогда нормальноеускорение становится центростремительным:anv2RРадиус окружности, аппроксимирующей траекторию движениявблизи данной точки называют радиусом кривизны траектории.v2R anЕсли траектория движения отличается от окружности илипрямой, радиус кривизны – переменная величина (меняется отточки к точке)При an  0 скорость не меняет направления – движениепрямолинейно.При a  0 скорость не меняет величины – движениеравномерно.Интегральные соотношенияМгновенные скорость и ускорение определяют лишь бесконечномалые приращения координат и скорости. Для определенияконечных приращений кинематических величин необходимоиспользовать интегральные формулы.Пусть известен закон изменения скорости во времени:v  v (t )Можно определить перемещение на каждом бесконечно маломотрезке времениdr  v (t )dtПеремещение на конечном отрезке времени t  t2  t1складывается из бесконечно малых векторов dr .

Такая сумманазывается определенным интегралом:2t21t1r  r2  r1   dr   v (t )dtВ первом случае интегрирование ведется по траектории м/уначальной и конечной точками 1 и 2, во втором – по времени м/уначальным и конечным моментами t1 и t2 .Если v  const (скорость не меняется по величине инаправлению), тоr  v tАналогично определяется изменение скорости по известномуускорению:2t21t1v  v 2  v1   dv Если a  const, тоv  a t a (t )dtРавнопеременное движение. (движение с постоянным векторомускорения)a  constПусть v 0 – скорость тела в момент времени t=0За времяt  t  0  tскорость изменится наv  v (t )  v 0  a t  atПоэтомуv (t )  v 0  atКинематический закон движения с постоянным ускорением:at 2r (t )  r0  v 0t 2Равнопеременное движение прямолинейно, если векторыначальной скорости v 0 и ускорения a параллельны илиv0 = 0.Если векторы v 0 и a направлены под углом друг к другу, тотраектория движения – парабола, лежащая в плоскости,образованной этими векторами.§3 Кинематика вращательного движенияРассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокругнеподвижной оси.ОrdsdφО -ось вращения (⊥ плоскости рисунка)Каждая точка тела движется по окружности, плоскость которой⊥ оси, с радиусом, равным расстоянию от точки до оси (r).В силу того, что взаимная конфигурация точек твердого теланеизменна, за одно и то же время все точки поворачиваются наодин и тот же угол.Пусть dφ угол поворота за б.м.