lektsia_12_doc_variant_dlya_studentov_ON _PDF (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

Лекция 12Переход к новому базису. Матрица перехода.Оператор в линейном пространстве. Матрица оператора1.Переход к новому базису. Преобразование координатРассмотрим n  мерное линейное пространство L. Пусть e1,..., en и f1,..., f n базисы в пространстве L. Условно назовем e1 ,..., en  «старый базис», f1 ,..., f n «новый базис».Разложим векторы нового базиса по элементам старого базиса:f1  c11e1  ...  cn1en ;f n  c1n e1  ...  cnn en .Составим квадратную матрицу C || cij ||, c11C  c n1i, j  1,..., n :c1n cnn Определение. Матрица C называется матрицей перехода от базиса e кбазису f. Обозначаем матрицу перехода Ce f .Замечание.

Матрица перехода Ce f заполняется по столбцам:Ce  f c11c n1координатыв базисе ec1n cnn f1координатыfnв базисе eПример. Заполним матрицу перехода от базиса e к базису f1 , если f1  e1  2e21 3:Ce f  . 2 f 2  3e1  e2Если ввести обозначения f  ( f1... f n );e  (e1...en ) , то можно записать формально:f  e  Ce fУтверждение 1.Матрица перехода не вырождена.Доказательство. Имеем:f  e  Ce f  f  C f e  Ce f .Но f1,..., f n  базис, следовательно, система f1,..., f n является ЛНС.

Отсюдаравенство () возможно лишь при условии C f e  Ce f  E.()-2-Следовательно, матрицы С f e и Ce f являются взаимно обратными:Ce f  (C f e )1.Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она не вырождена:detCe f  0detC f e  0.Утверждение 2.Пусть X e , X f  столбцы координат вектора x в базисах e, f соответственно.1Тогда справедливо равенство X f  C X e .e fДоказательство. Рассмотрим произвольный элемент x  L .

Разложимего по базисам e, f :x  x1e1  ...  xnen  x '1  ...  xn ' fn.Можно написать: x  e  X e  f  X fНо e  f  C f e , отсюда f  X f  f  C f e  X e .Но f1,..., f n  базис, следовательно, система f1,..., f n является ЛНС. Отсюдапоследнее равенство возможно лишь еслиX f  C f e X eXf C1e fX e.Пример.Найдем координаты вектора x  e1  2e2 в новом базисе f1 , f 2 , еслиf1  e1  e2 , f 2  3e1  e2 .Заполняем матрицу перехода и находим обратную к ней:113 1   1 Ce f  C e f1  11   4  511    41Отсюда X f  C e f  X e     .4  11   2   3  4 53Ответ. x   f1  f 2 .4412.

Операторы в линейном пространстве. Примеры-3-Рассмотрим линейное пространство L.Определение 1. Пусть любому элементу x линейного пространства L понекоторому закону ставится в соответствие элемент y, y  L . Тогда говорят, чтов линейном пространстве L определен оператор A  .Обозначение : ; элемент x называется прообразом элемента y, элемент yназывается образом элемента x.Определение 2.

Оператор A  называется линейным, если выполненыследующие условия:1)A ( x  y )  Ax  Ayx, y  L;2)A ( x )   Axx  L,  R.Замечания.1.Условия 1), 2) можно заменить на одно общее условиеA ( x   y )  Ax   Ayx, y  L, ,  , R2.Мы рассматриваем только операторы, переводящие элементылинейного пространства L в элементы этого же линейного пространства. Этоограничение не является принципиальным.Утверждение.Линейный оператор переводит нулевой элемент сам в себя: A 0  0.Доказательство.Ax  A ( x  0)  Ax  A 0A 0  0.Примеры.1.Нулевой оператор  : x  0x  L.2.Тождественный оператор I: Ix  xx  L.3.Оператор поворота плоскости на угол  против часовой стрелки:Aaφ4.

Оператор – проектор на плоскость OXY:ZaYXAaa-4-5. Оператор дифференцирования D :Df  f '.3.Матрица линейного оператора.Вычисление координат образа вектораРассмотрим n-мерное линейное пространство L, в котором действуетлинейный оператор A  , переводящий элементы линейного пространства L вэлементы этого же линейного пространства.Пусть e1,..., en - базис в L. Разложим образы базисных векторов по базису e,получимAe1  a11e1  an1en ,(*),Aen  a1n e1  ann en .Заполним матрицу Ae : a11Ae  aij   a n1Ae1a1n .ann AenМатрица Ae называется матрицей оператора A  в базисе e.Замечания. 1. Матрица оператора зависит от базиса.2.

Матрица оператора заполняется по столбцам.Равенства (*) можно формально записать в видеAe  e  Aeгде e  (e1 en ),Ae  (Ae1 Aen ).-5-Примеры. 1. Матрица тождественного оператора I в любом базисе равнаединичной матрице E.2. Матрица оператора поворота плоскости на угол  против часовойстрелки в базисе i, j имеет видcos   sin  Ae  . sin  cos  Действительно, применим, например, оператор A  , например, к вектору i (см.,рисунок):jAisin φicosУтверждение.

Пусть оператор A  имеет в базисе e матрицу Ae ,x L, y  Ax.Пусть X e ,Ye - столбцы координат векторов x, y в базисе e. Тогдасправедлива формулаYe  Ae  X e .Доказательство. Имеем:y  Ax  A ( x1e1  x1Ae1  x1 ( a11e1  ( e1 ( e1 xn en )  xn Aen  an1en )  xn ( a1n e1  ann en )  a11  a1n  en )  x1  (ee)x1nna a  n1  nn  a1n xn  a11 x1   (een )  en )  Ae  X e .1a x  ann xn  n1 1С другой стороны, верно равенство y  (e1(e1en )Ye  (e1en )Ye . Получили:en ) Ae X e .Но e1 ,..., en  базис, следовательно, система e1,..., en является ЛНС.

Но тогдапоследнее равенство возможно лишь при Ye  Ae  X e .-6-Примеры. Заполним матрицу оператора A  , действующего в линейномпространстве строк длины три следующим образом:A ( x1x2 x3 )  ( x2  x3x1  x2 ).Рассмотрим базис e1  (1e2  (010),e3   . Имеем:Ae1  (0Ae2  (1),Ae3   Отсюда0 1 0 Ae  0 0 1 .1 1 0 Ae1Ae2 Ae3.