Lektsia_komplexnye_chisla (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

-1-ЛекцияКомплексные числаП. 1. Комплексные числаОпределение комплексного числа.Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числаОпределение 1. Комплексным числом называется упорядоченная пара двухвещественных чисел , : = (, ).Пусть 1 = (1 , 1 ), 2 = (2 , 2 ) – два комплексных числа.Определение 2. Комплексные числа 1 , 2 называются равными, если1 = 2 , 1 = 2 .Заметим, что понятия «больше», «меньше» для комплексных чисел неопределены.Введем операции сложения и умножения комплексных чисел.Определение 3.1. Суммой комплексных чисел 1 , 2 называется комплексное число z: = 1 + 2 = (1 + 2 , 1 + 2 );2. Произведением комплексных чисел 1 , 2 называется число : = 1 2 = (1 2 − 1 2 , 1 2 + 2 1 ).Определение 4. Действительные числа , называются соответственновещественной и мнимой частями комплексного числа = (, ).Обозначать вещественную и мнимую части комплексного числа будемследующим образом:Справедливо равенствомы можем записать = , = .(, ) = (, 0) + (0,1) ∙ (, 0), = + .(*)-2-Здесь через обозначено комплексное число (0, 1).

Очевидно, верно 2 = −1.Форма (*) записи комплексного числа называется алгебраической формой записи.Обозначим множество всех комплексных чисел через ℂ. Справедливыследующие 5 свойств операций сложения и умножения комплексных чисел..1. 1 + 2 = 2 + 1∀1 , 2 ℂ ;2. (1 + 2 )+ 3 = 1 + (2 + 3 )3. 1 2 = 2 1∀1 , 2 ℂ ;4. (1 2 )3 = 1 (2 3 )∀1 , 2 ℂ ;∀1 , 2 ℂ ;5. 1 + (2 + 3 ) = (1 + 2 ) + 3∀1 , 2 ℂ .Определение 5. Комплексное число называется разностью комплексныхчисел 1 и 2 , если 1 = 2 + .Обозначим в этом случае = 1 − 2 .Определение 6. Комплексное число называется частным комплексныхчисел 1 и 2 , если 1 = 2 ∙ .Обозначим в этом случае = 1 /2 .Определение 7.

Комплексное число ̅ = − называется комплексносопряженным к числу = + .Имеют место следующие свойства операции комплексного сопряжения.����) = ;1. (̅2. ∙ ̅ = 2 + 2 = ||2 = |̅|2 ;3. ���������1 + 2 = �1 + �2 ;4. ������1 2 = �1 + �2 ; );������5. (̅) = (��������6. � 1� = ���1 .22Имеет место следующая формула для вычисления частного двух комплексных чисел:1 1 ∙ �2=.|2 |22-3-Рассмотрим декартову систему координат на плоскости.

Поставим каждомукомплексному числу = + в соответствие точку (, ) на плоскости.Плоскость, на которой нанесены таким образом комплексные числа, называетсякомплексной плоскостью. Ось называется вещественной осью, ось OY называетсямнимой осью ( см. рисунок).Число || = � 2 + 2 называется модулем комплексного числа . Модулькомплексного числа равен расстоянию от точки = + комплекснойплоскости до точки (0,0).

Угол, который составляет радиус-вектор точки (, ) сположительным направлением оси , называется аргументом комплексногочисла . Если поворот от оси до радиус-вектора совершается в отрицательномнаправлении ( то есть по часовой стрелке ), то считаем, что аргументкомплексного числа отрицателен. Обозначим аргумент комплексного числа как . Очевидно, что аргумент комплексного числа определяется с точностьюдо кратных 2. Значение аргумента, удовлетворяющее условию − < ≤ ,называется главным значением аргумента и обозначается :− < ≤ .Из геометрических соображений получим = ||cos, = ||sin,следовательно, = ||(cos + sin).Правая часть последнего равенства называется тригонометрической формойзаписи комплексного числа.Свойства модуля комплексного числа1.

|1 2 | = |1 | ∙ |2 |;| |2. | 1 | = |1| ;22-4-3. |1 + 2 | ≤ |1 | + |2 | (неравенство треугольника);4. |1 − 2 | ≥ ||1 | − |2 || .Геометрически величина |1 − 2 | равна расстоянию между точками 1 и 2комплексной плоскости.Свойства аргумента комплексного числа1. 1 + 2 = 1 2 ;2. 12= 1 − 2 .Комплексное число cos + sin обозначим как . Получимпоказательную форму записи комплексного числаОчевидно, справедливы формулы = || .

+ − =,2 − − =.2Эти формулы называются формулами Эйлера.П. 2. Возведение комплексного числа в степень. Формула Муавра.Извлечение корня из комплексного числаПусть 1 = |1 |(cos1 + sin1 ), 2 = |2 |(cos2 + sin2 ) . Используемсвойства аргумента комплексного числа, получим, что1 2 = |1 | ∙ |2 | ∙ �cos(1 + 2 ) + sin(1 + 2 )�,1 |1 |=∙ �cos(1 − 2 ) + sin(1 − 2 )�.2 |2 |Отсюда получаем формулу Муавра: = || (cos + sin).Пусть = ||(cos + sin) – некоторое комплексное число. Тогдасуществует ровно () комплексных чисел 0 , … , −1 таких, что( ) = ( = 0, … , − 1)-5-( то есть числа 0 , … , −1 представляют собой значений корня − нойстепени из комплексного числа ). Используя формулу Муавра, получимследующие выражения для значений корня -ной степени из комплексного числа, = ||(cos + sin)):√ = �|| ∙ � � + 2 + 2� + sin ��� = ( = 0, … , − 1).Заметим, что модули чисел равны между собой ( и равны �||), а аргументыобразуют арифметическую прогрессию со знаменателем2.

Отсюда можносделать вывод, что комплексные числа ( корни − й степени из комплексногочисла ) на комплексной плоскости лежат на окружности радиуса = �|| иделят эту окружность на равных частей ( см. рисунок )..