Lektsia_18_dlya_studentov (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

-1-Лекция 18Поверхности второго порядка1. Эллипсоид2. Однополостный гиперболоид3. Двуполостный гиперболоид4. Конус5. Эллиптический параболоид6. Гиперболический параболоид7. Цилиндрические поверхности8. ВыводыПоверхности второго порядкаПод общим уравнением алгебраической поверхности второго порядка всистеме координат OXYZ понимают уравнение вида:++++++∑+++ C=0,.1. ЭллипсоидКаноническое уравнение эллипсоида++= 1.Числа а,b,c называются полуосями эллипсоида.

Все точки эллипсоида лежат впрямоугольном параллелепипеде | | a; | | b; | | c.-2-Рассмотрим сечения эллипсоида различными плоскостями:x=0 => в сечении эллипс+=1y=0 => в сечении эллипс+= 1.z=0 => в сечении эллипс+= 1.Координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а началокоординат является центром симметрии эллипсоида.Координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а началокоординат является центром симметрии эллипсоида2. Однополостный гиперболоидКаноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид:+-= 1.Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида:z=h (h 0) => эллипсы+= 1+.Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида:1. z=0 => горловой эллипс+= 1;-3-2.

y=h, | |b => гипербола-=1 -;3. y = h, | |=b => пара пересекающихся прямыхz=x4. y=h, | |(в плоскости y = h);b => сопряженная гипербола()5. x=h | |<a => гипербола,;6. x=h, | |=a => пара пересекающихся прямыхz=y (в плоскости x=h);7. x=h, | |a => сопряженная гипербола.-4-Определение. Поверхность называется линейчатой, если через каждую точкуповерхности можно провести прямую, целиком лежащую на поверхности. Этипрямые называются образующими поверхности.Утверждение.

Через каждую точку однополостного гиперболоида проходитдве различные прямые, целиком лежащие на поверхности.Следствие. Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью:3. Двуполостный гиперболоидКаноническое уравнение двуполостного гиперболоида имеет вид:+=1.Рассмотрим сечения двуполостного гиперболоида:1. z=h, | |=> эллипс2. z=h, | |=> нет точек пересечения;=3. x=h => гипербола4. y=h => гипербола1+11;;.-5-Координатные плоскости являются плоскостями симметрии двуполостногогиперболоида, начало координат является центром симметрии двуполостногогиперболоида.4. КонусКаноническое уравнение конуса имеет вид:Рассмотрим сечения конуса:1. z=h, h 0 => эллипсы2. y=h,0 => гиперболы3. x=h, h 0 => гиперболы===+= 0.-6-4.

x=0 => пара пересекающихся прямых z=y;5. y=0 => пара пересекающихся прямых z=x.Конус при пересечении с плоскостью z=h+ , hобразует параболы.Таким образом, при пересечении конуса различными плоскостями могут бытьполучены эллипс, гипербола, парабола. Поэтому эллипс, гипербола, параболаназываются коническим сечениями.Конус является линейчатой поверхностью. Через каждую точку конусапроходит прямаяобразующая конуса.Координатные плоскости являются плоскостям симметрии конуса, началокоординат является центром симметрии конуса.5.

Эллиптический параболоидКаноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид:+=2zРассмотрим сечения эллиптического параболоида :1. z=h, h=> эллипс+= 2h;-7-3. y=h => парабола= 2z2. x=h => парабола= 2z;3. z=h, h<0 => нет точек пересечения.Плоскости x=0 и y=0 являются плоскостями симметрии. Центра симметрии нет.6.

Гиперболический параболоидКаноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид:Рассмотрим сечения гиперболического параболоида:1. x=h => парабола2. y=h => парабола2z += 2z= 2z.-8-3. z=h, h>0 => гипербола= 2h;4. z=h, h<0 => сопряженная гипербола= 2h;5. z=h, h=0 => пара пересекающихся прямых y =-9-Плоскости x=0, y=0 являются плоскостями симметрии. Центра симметрии нет.Гиперболический параболоид является линейчатой поверхностью: через каждуюточку этой поверхности проходят две различные прямые, целиком лежащие наповерхности.7.

Цилиндрические поверхностиКаноническое уравнение цилиндрической поверхности имеет вид:1.+= 1, эллиптическийцилиндр;2.3.= 1, гиперболический цилиндр;=2px, параболический цилиндр.- 10 -Прямые, проходящие через кривую+= 1,=1 или=2pxназываются образующими соответственно эллиптического, гиперболического,параболического цилиндра.ВыводыСправедлива следующая теорема.Теорема.Для любой алгебраической поверхности второго порядка существуетпрямоугольная декартова система координат, в которой уравнение декартовасистема координат, в которой уравнение этой поверхности имеет один изследующих видов:1.+1, эллипсоид;2., вырожденный эллипсоид;3.1, мнимый эллипсоид;4.5.1, однополостный1, двуполостныйгиперболоид;6.0, конус;гиперболоид;- 11 -7.8.9.10., эллиптический параболоид;, гиперболический параболоид;, эллиптический цилиндр;, мнимый эллиптическийцилиндр;11., гиперболический цилиндр;- 12 -12.=2px (p>0), параболическийцилиндр;13.14.15.16.17., пара пересекающихся плоскостей;, пара мнимых пересекающихся плоскостей;(a>0), пара параллельных плоскостей;(a>0), пара мнимых параллельных плоскостей;=0, пара совпадающих плоскостей..