Lektsia_15_dlya_studenta_ON (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

Лекция 15Процесс ортогонализации. Симметричные матрицы и их свойства.Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы1. Процесс ортогонализации. Матрица ГрамаПусть – конечномерное евклидово пространство,Теорема 1. В конечномерном евклидовом пространстве существуетортонормированный базис.Доказательство. Пусть- базис в пространстве Е.Строим ортогональную систему.Берем, вектор ищем в виде(*),где- некоторое вещественное число. Должно быть выполнено условие(). Фиксируем коэффициент α1 так, чтобы было выполненопоследнее условие.

Для этого умножим обе части равенства (*) на ,получим()()↓()()Продолжаем процесс ортогонализации следующим образом. Пусть векторыуже построены, выполнены условия (при,).Строим векторв виде(**)где величиныподбираем так, чтобы векторыобразовывалиортогональную систему:()(),.(Необходимо отметить, что не может оказаться, чтоДействительно, в правой части равенства (**) выписана линейная).комбинация векторов. Но система векторовявляетсяЛНС (т.к. она является базисом в пространстве E), поэтому линейнаякомбинация только с нулевыми коэффициентами может быть равна нулевомувектору.

Коэффициент при⃗(k=0,..,n-1).равен 1, поэтому не может оказаться так, что-2-Построена ортогональная системa(она является линейнонезависимой системой), которая является ортогональным базисом впространстве E.Нормализуем систему‖ ‖Построен, положивгде ‖ ‖,√(),- ортонормированный базис в пространстве E.▲Пример 1.( + ,Система векторов(+,( + является базисом впространстве столбцов высоты 3. Ортогонализуем этот базис.( +Беремгде()()((Отсюда,+)( +(.,.,Строимгде()()()()Отсюда;⁄⁄⁄⁄( +( +(⁄ .,(,.-3-Определение 1.

Матрицей Грама системы векторовевклидова пространства E называется матрица(()(()())()+.Определитель матрицы Грама называется определителем ГрамаТеорема 2. Система векторовевклидова пространства Eлинейно зависима тогда и только тогда, когда det ().Доказательство1. Необходимость. Пусть системаявляется ЛЗС. Тогдасуществует нетривиальная линейная комбинация (т.е. не всекоэффициенты которой равны 0), равная нулевому вектору:⃗.Домножим скалярно обе части равенства последовательно на,получим однородную систему из n уравнений относительно n неизвестных :{(())(()).(***)Матрица этой системы совпадает с матрицей ().

Мы предположили,что существует нетривиальное решение этой системы. Отсюда следует, чтоопределитель еѐ должен быть равен 0:det ()2.Достаточность. Пусть выполнено условие det (). Тогдасистема (***) имеет нулевые решения. Составим вектор b:∑Имеем:-4-()(∑)∑(В силу свойства 4 скалярного произведения b=⃗ .Отсюда получаем, что вещественные числа⃗.Следовательно, система):является линейно зависимой.▲Пример 2. Используя матрицу Грама, докажем линейную(независимость столбцовИмеем ()(+)((( +())()((+))(det ()Следовательно, в силу теоремы 2, система+;.является ЛНС.2. Самосопряженный оператор. го свойства.Симметричная матрицаРассмотрим евклидово пространство E: dim E = L.Определение 1.

Квадратная матрица A=‖симметрической, если(т.е. выполнено‖ называется).Утверждение. Если матрица линейного оператора симметрическаяв некотором ортонормированном базисе, то она являетсясимметрической и в любом другом ортонормированном базисе.-5-Доказательство. Обозначим- матрицы операторавбазисах e и f соответственно. По условию теоремы- симметрическаяматрица:( ) . Базисы e и f являются ортнормированными,следовательно, матрица перехода от базиса e к базису f должна бытьортогональна: ()Докажем, что матрица()(() .тоже симметрическая:)(Следовательно, матрица)()тоже симметрическая.▲Определение 2. Операторназывается самосопряженным, еслиего матрица является симметрической в ортонормированном базисе.Теорема (без доказательства). Пусть- самосопряженный оператор,- матрица операторав ортонормированном базисе.Справедливы следующие утверждения:1) Все характеристические числа матрицыдействительны;2) Собственные векторы, соответствующие различным собственнымчислам оператора , ортогональны между собой;3) В евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис изсобственных векторов самосопряженного оператора.▲Теорема.

Для любой симметрической матрицы A=‖ ‖ существуетортогональная матрица C, такая, что матрицаявляетсядиагональной.Доказательство. Рассмотрим линейный оператор , действующий впространстве столбцов высоты n следующим образом: X=AСоставим матрицу оператора в ортонормированном базисе( )Имеем:(+( ).(+-6-Следовательно, матрица оператора в ОНБ совпадает с симметрическойматрицей A. Оператор является самосопряженным.

В силу предыдущейтеоремы в линейном пространстве E существует ортонормированный базисиз собственных векторов оператора :(i=1,…,n; собственное число берется в спектре столько раз, какова егократность).Матрица переходаявляется ортогональной:()().В базисе из собственных векторовматрица оператора являетсядиагональной:(+ (среди чиселмогут быть совпадающие).Таким образом, верно соотношение:()(здесь C=).▲Определение 2. Матрицы A и B называются ортогональноподобными, если существует ортогональная матрица C (т.е.)такая, чтоA=.Таким образом, можно дать другую формулировку теоремы: любаясимметрическая матрица ортогонально подобна вещественной диагональнойматрице.Пример 3.Докажем, что оператор , действующий в пространстве строк () () являетсяследующим образом: (самосопряженным, и найдем ОНБ из его собственных векторов.(),():Составим матрицу операторав базисе()()*+.Матрица оператора симметрична в ОНБ, следовательно, операторявляется самосопряженным.)-7-Найдем собственные числа и собственные векторы:()Нормируем систему,:()(Система.*(*√√√√является искомым ОНБ из собственных векторов оператораПример 4.

Найдем диагональную матрицу, ортогонально подобнуюматрице ().Используем результаты примера 3, получим√√(√√ )↑↑- ортогональная матрица перехода от базиса e к базису E. Отсюда, в силутеоремы, подобная матрица Λ такова:()(√√√√)() (√√√√)..