Lektsia_13_variant_dlya_studentov_ON_PDF (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

Лекция 13Действия с линейными операторами.Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.Собственные числа и векторы линейного оператора1. Действия с линейными операторами: сумма линейных операторов,произведение линейного оператора на вещественное число, произведениеоператора на числоРассмотрим линейное пространство L. Пусть линейные операторы ,переводят элементы линейного пространства L в элементы этого же линейногопространства. Пусть A, B – матрицы операторов и в некотором базисе.Определение 1.

Суммой операторов и называется оператор(обозначается = + ):.Определение 2. Операторназывается произведением вещественногочисла α на оператор (обозначается=α ), если.Определение 3. Оператор называется произведением операторов и(обозначается =), если= ( x).Теорема 1. Матрица суммы операторов равна сумме матриц операторов.Доказательство. Пусть = + , A, B, – матрицы операторов , , внекотором базисе. Составляем матрицу , для этого необходимо найтикоординаты образов базисных векторов:() ()= ()(имеет вид: *Следовательно, j  й столбец матрицыматрица)+. Следовательно,такова:*+.▲Теорема 2.

Пусть=α. Тогда, где , A – матрицыоператоров , в одном и том же базисе.Доказательство. Рассмотрим координаты вектора:α()Следовательно, j - й столбец матрицы[имеет вид:][].-2-Отсюда верно соотношение.▲Теорема 3. Пусть. Тогда матрица оператора равнапроизведению матриц операторов:.Доказательство. Рассмотрим образ базисного вектора :()()(Следовательно, j - й столбец матрицы*Отсюда получаем)имеет вид:+()()=AB.▲Примеры. Пусть операторыдействуют в пространстве строк длины,три:,.Составим матрицу оператораИмеем:-[Отсюда] [}[],}[],][].-3-2. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.Инвариантность определителя матрицы оператораРассмотрим конечномерное линейное пространство L, в котором определеныбазисыи.

Пусть линейный оператор , переводящий элементылинейного пространства L в элементы этого же линейного пространства, имеет вбазисах и матрицысоответственно.Пусть– матрица перехода от базиса к базису .Теорема. Справедливо следующее соотношение:Доказательство. Пусть– произвольный элемент,столбцы координат векторовв базисахИмеем:.

Обозначимсоответственно.С другой стороны,Приравниваем правые части, получаем:Но()– произвольный столбец, следовательно,▲Утверждение. Определитель матрицы линейного оператора не зависит отбазиса.Доказательство.-4-()()[⏟ ()]▲Замечание. Свойство определителя матрицы оператора, сформулированное вутверждении, называется инвариантностью определителя матрицы оператора.3. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора.Характеристический многочлен и характеристические числаПусть L – линейное пространство, – линейный оператор, переводящийэлементы пространства L в элементы пространства L.Определение 1. Ненулевой векторназывается собственным векторомоператора , а числоназывается собственным значением оператора ,соответствующим собственному вектору , если выполнено равенство.Примеры.1.

Любой вектор на плоскости является собственным вектором оператораповорота плоскости на, отвечающим собственному значению.2. Векторы, перпендикулярные плоскости, являются собственнымивекторами оператора проецирования на плоскость, отвечающимисобственному значению.3. Многочлены нулевой степени являются собственными векторами операторадифференцирования, действующего в пространстве многочленов степени невыше , отвечающими собственному значению.Замечание. Очевидно, что, если вектор является собственным векторомоператора , отвечающим собственному числу , то и векторявляетсясобственным вектором оператора , отвечающим собственному числу .Действительно, если, то.Определение 2. Характеристическим многочленом матрицы‖ ‖(называется определитель||Корни характеристического многочлена называются характеристическимичислами матрицы A.Замечание.

Характеристический многочлен матрицы A порядкаявляется многочленом степени ровно .-5-Определение 3. Уравнениеназываетсяхарактеристическим уравнением матрицы A.Утверждение. Характеристический многочлен (следовательно, ихарактеристические числа) матрицы линейного оператора не зависят от базиса, вкотором рассматривается матрица оператора.Доказательство. Пустьи– два базиса в линейномпространстве L,– матрицы оператора в базисахсоответственно.Верно равенство:где– матрица перехода от базисаИмеем:()(.)()⏟⏟Следовательно, характеристический многочлен матрицы оператора не зависит отбазиса.▲Теорема.

Пусть– линейный оператор, действующий в линейномпространстве L. Вещественное число и векторявляются соответственнособственным числом и собственным вектором оператора тогда и только тогда,когда число является вещественным характеристическим числом матрицыоператора в базисе , а X – столбец координат вектора в базисе –удовлетворяет соотношениямДоказательство. Векторявляется собственным вектором оператораотвечающим собственному числу тогда и только тогда, когда⃗,,,,{▲Примеры.-6-1. Найдѐм собственные числа и собственные векторы линейного оператора,заданного в некотором базисе матрицей A:[].1) Составляем характеристическое уравнение матрицы A:||2) Ищем собственный вектор, соответствующий[][ ][ ][ ][ ]3) Аналогично поступаем для собственного числа[][ ][ ]Ответ.[ ];[::[ ][]]2.

Найдѐм собственные числа и соответственные векторы операторазеркального отображения относительно плоскости. Из геометрическихсоображений можно получить ответ сразу: собственному числуотвечают векторы, параллельные плоскости(т.е. координаты которыхимеют вид (собственному числуотвечают векторы,перпендикулярные плоскости(т.е. координаты которых имеют вид (0,C, 0)).Получим эти результаты аналитически.⃗:Составляем матрицу оператора в базисе;;⃗⃗.Отсюда[Характеристическое уравнение имеет вид:]-7-||Найдѐм собственные векторы, отвечающие собственному значению[][ ][ ][ ][ ].Найдѐм собственные векторы, отвечающие собственному значению[][ ][ ]Ответ.;:[ ][ ].:.