Лекция 2 - Математическое описание САУ (к экзамену), страница 4

При ее построении по осиабсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на отметке, соответствующей значению lg ω , записывают значение ω .В ЛЧХ единицей L(ω ) является децибел, а единицей lg ω – декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 разговорят, что частота изменилась на одну декаду.Правило вычисления модуля и аргумента.В дальнейшем при вычислении амплитудной и фазовой частотной функций полезно следующее правило вычисления модуля и аргумента произведения и дроби комплексных чисел (функций).1) Модуль произведения Z = z1 z2 K zn комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:11Z = z1 z 2 K z n ,(2.27а)а аргумент – сумме аргументов сомножителей:arg Z = arg z1 + arg z2 + K + arg zn(2.27б)2) Модуль дроби комплексных чисел (функций) Z = z1 / z 2 равен дроби модулей:z(2.28а)Z = 1z2а аргумент – разности аргументов числителя и знаменателя:arg Z = arg z1 − arg z 2(2.28б)j arg ziДействительно, представив zi = zi e, имеемZ = z1 z2 K zn e j (arg z1 + arg z 2 +K+ arg z n ) .Отсюда получаем формулы (2.27а), (2.27б).zАналогично находим Z = 1 e j (arg z1 − arg z 2 ) откуда получаем формулы (2.28а), (2.28б).z2Физический смысл частотных характеристик.При гармоническом входном воздействии в устойчивых системах после окончанияпереходного процесса выходная переменная также изменяется по гармоническому законус той же частотой, но с другими амплитудой и фазой; амплитуда равна амплитуде входного сигнала, умноженной на модуль частотной передаточной функции, а сдвиг фазы равенее аргументу.Иными словами, амплитудная частотная функция показывает изменение отношения амплитуд выходного и входного сигналов, а фазовая частотная функция – сдвигфазы между ними в зависимости от частоты в установившемся режиме.Таким образом, если система (2.25) устойчива, то при входном воздействииu (t ) = um cos(ωt + α )после окончания переходного процесса выходной сигнал имеет видy (t ) = W ( jω ) um cos(ωt + α + ϕ (ω )) .Здесь um – постоянная амплитуда входного сигнала; α – начальный сдвиг фазы; W ( jω ) –частотная передаточная функция рассматриваемой системы; ϕ (ω ) = arg W ( jω ) .2.9.

Различные типы звеньев и их характеристикиТак как произвольный полином можно разложить на простые множители, то передаточную функцию системы (звена)b s m + b s m−1 + K + bmW ( s ) = 0 n 1 n−1a0 s + a1s + K + anвсегда можно представить в виде произведения простых множителей и дробей вида111k , s,(2.30), Ts ± 1,, T 2 s 2 ± 2ξTs + 1,2 2sTs ± 1T s ± 2ξTs + 1Напомним, что k называется передаточным коэффициентом, T – постоянной времени и ξ( 0 < ξ < 1 ) – коэффициентом демпфирования.Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или дробей, называют элементарными звеньями.

Их также называют типовыми. Однако типовыми называют и другие звенья, которые не являются элементарными.Типы элементарных звеньевТип звена определяется видом его передаточной функции. При этом если передаточные функции звеньев отличаются только на постоянный множитель, то их относят к12одному типу. Поэтому при определении типа элементарных звеньев будем исходить изпередаточных функций, получаемых из (2.30) умножением на константу k (кроме первой).Пропорциональное звено.

Так называют звено с передаточной функцией W ( s ) = k .Его частотные функции имеют следующий вид (рис. 2.9):W ( jω ) = k , U (ω ) = k , V (ω ) = 0, A(ω ) = k , ϕ (ω ) = 0, L(ω ) = 20 lg k .АФЧХЛЧХРис. 2.9. Пропорциональное звеноАФЧХЛЧХРис. 2.10. Дифференцирующее звеноДифференцирующее звено. Так называют звено с передаточной функциейW ( s ) = ks . Его частотные функции имеют следующий вид (рис. 2.10):W ( jω ) = jkω , U (ω ) = 0, V (ω ) = kω , A(ω ) = kω , ϕ (ω ) = π / 2, L(ω ) = 20 lg k + 20 lg ω .Интегрирующее звено. Так называют звено с передаточной функцией W ( s ) = k / s .Его частотные функции имеют следующий вид (рис. 2.11):jkkW ( jω ) = − , U (ω ) = 0, V (ω ) = − ,ωωkπA(ω ) = , ϕ (ω ) = − , L(ω ) = 20 lg k − 20 lg ω .ω2Форсирующее звено 1-го порядка. Такназывают звено с передаточной функциейАФЧХЛЧХW ( s) = k (Ts + 1) .

Его частотные функции имеРис. 2.11. Интегрирующее звеноют следующий вид (рис. 2.12):W ( jω ) = k (Tjω + 1), U (ω ) = k , V (ω ) = kTω ,A(ω ) = k (Tω ) 2 + 1, ϕ (ω ) = arctg(Tω ),L(ω ) = 20 lg k + 20 lg (Tω ) 2 + 1 .Апериодическое звено. Так называютзвеноспередаточнойфункциейW ( s ) = k /(Ts + 1) . Его частотные функцииимеют следующий вид (рис. 2.13):kkW ( jω ) =, U (ω ) =,(Tω ) 2 + 1Tjω + 1kTωkV (ω ) = −, A(ω ) =,2(Tω ) + 1(Tω ) 2 + 1ϕ (ω ) = −arctg(Tω ),АФЧХЛЧХРис. 2.12. Форсирующее звено 1-го порядкаАФЧХЛЧХРис. 2.13.

Апериодическое звеноL(ω ) = 20 lg k − 20 lg (Tω ) 2 + 1 .В рассмотренных выше элементарных звеньях фазовая частотная функция по моV (ω ). Кроме того, в случаедулю не превышает π / 2 . Поэтому она определяется как arctgU (ω )интегрирующего и апериодического звеньев амплитудную и фазовую функции можно определить по правилу вычисления модуля и аргумента дроби.Форсирующее звено 2-го порядка. Так называют звено с передаточной функциейW ( s ) = k (T 2 s 2 + 2ξTs + 1) (0 < ξ < 1) . Его частотные функции имеют следующий вид:13[][][1 − (Tω ) ] + (2ξTω ) ,W ( jω ) = k 1 − (Tω ) 2 + j ⋅ 2ξTω , U (ω ) = k 1 − (Tω ) 2 ,V (ω ) = 2kξTω ,A(ω ) = k2 222ξTω1⎧при ω ≤ ,⎪⎪ arctg 1 − (Tω ) 2 ,Tϕ (ω ) = ⎨2ξTω1⎪π + arctg, при ω > ,2⎪⎩T1 − (Tω )[L(ω ) = 20 lg k + 20 lg 1 − (Tω ) 2Фазовая частотная функция ϕ (ω ) не удовлетворяет условию ϕ (ω ) ≤ π / 2 на всем диапазоне]2+ (2ξTω ) 2 .частот.

Поэтому для ее определения рассмотримамплитудно-фазовую частотную характеристику(рис. 2.14).ωU (ω )V (ω )0k00 < ω < 1/ T>0>01/ T < ω < ∞1/ T02kξ∞−∞∞<0>0Колебательное звено. Так называют звено сkпередаточной функциейW ( s) = 2 2T s + 2ξTs + 1(0 < ξ < 1) . К такому виду приводится передаточнаяb0Рис. 2.14. АФЧХ и ЛЧХ форсирующе, если ее полюсы явфункция W ( s) =2го звена 2-го порядкаa0 s + a1s + a2ляются комплексно сопряженными числами с отрицательной вещественной частью.Частотные функции колебательного звена имеют следующий вид (рис 2.15):kk 1 − (Tω ) 2, U (ω ) =,W ( jω ) =21 − (Tω ) 2 + j ⋅ 2ξTω1 − (Tω ) 2 + (2ξTω ) 2[V (ω ) = −2kξTω[1 − (Tω ) ]2 2+ (2ξTω )2A(ω ) =,[]]k[1 − (Tω ) ]2 2+ (2ξTω ) 2,2ξTω1⎧при ω ≤ ,⎪⎪ − arctg 1 − (Tω ) 2 ,Tϕ (ω ) = ⎨2ξTω1⎪− π − arctg, при ω > ,2⎪⎩T1 − (Tω )[L(ω ) = 20 lg k − 20 lg 1 − (Tω ) 2]2+ (2ξTω ) 2Рис.

2.15. Колебательное звеноНеустойчивое форсирующее звено.Так называется звено с передаточной функцией W ( s ) = k (Ts − 1) .Неустойчивое апериодическое звено. Так называется звено с передаточной функцией W ( s) = k /(Ts − 1) .Неустойчивое форсирующее звено 2-го порядка. Так называют звено с передаточной функцией W ( s ) = k (T 2 s 2 − 2ξTs + 1) (0 < ξ < 1) .14Неустойчивое колебательное звено.

Так называют звено с передаточной функциkей W ( s ) = 2 2(0 < ξ < 1) .T s − 2ξTs + 1Консервативное звено. Так называется звено с передаточной функциk, которая получаетсяей W ( s ) = 2 2T s +1из передаточной функции колебательного звена при ξ = 0 . Поэтому, положив ξ = 0 в частотных функциях колебательного звена, получим (рис. 2.16)Рис. 2.16. Консервативное звеноkk, U (ω ) =,W ( jω ) =1 − (Tω ) 21 − (Tω ) 2⎧ 0, при ω ≤ 1 / T ,kV (ω ) = 0, A(ω ) =ϕω,()=L(ω ) = 20 lg k − 20 lg[1 − (Tω ) 2 ] .⎨21 − (Tω )⎩ − π , при ω > 1 / T ,Звено чистого запаздывания. Некоторыеобъекты могут обладать запаздыванием. Запаздывание проявляется в том, что при изменениивходного воздействия выходная переменная начинает изменяться не сразу, а спустя некоторыйпромежуток времени τ , называемый временемРис.

2.17. Звено чистого запаздываниячистого или транспортного запаздывания. Ктакому роду объектам относятся объекты, содержащие трубопроводы, длинные линии,транспортеры. Математические модели таких объектов включают звено, которое описывается передаточной функцией W ( s ) = ke −τ s . Такое звено называется звеном чистого запаздывания. Его частотные и функции имеют следующий вид (рис.

2.18):W ( jω ) = ke − jτω = k (cosτω − j sin τω ), U (ω ) = k cosτω,V (ω ) = −k sin τω, A(ω ) = k , ϕ (ω ) = −τω, L(ω ) = 20 lg k .2.10. Асимптотические логарифмические амплитудные частотныехарактеристикиЛогарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) пропорционального, дифференцирующего и интегрирующего звеньев являются прямыми, и их легкопостроить. Построение ЛАЧХ других элементарных звеньев требует трудоемких вычислений. Поэтому на практике часто ограничиваются построением приближенных асимптотических ЛАЧХ.Например, при построении асимптотической ЛАЧХ апериодического звена в вы-ражении L(ω ) = 20 lg k − 20 lg (Tω ) 2 + 1 при ω ≤ 1 / T под корнем пренебрегают слагаемым(Tω ) 2 меньшим единицы, а при ω > 1 / T – единицей.