Лекция 2 - Математическое описание САУ (к экзамену), страница 3

Применим к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа. Тогда, используя свойство линейности преобразования Лапласа, получим(n)( n −1)( m)( m −1)a0 L{ y } + a1 L{ y } + K + an L{ y} = b0 L{ u } + b1 L{ u } + K + bm L{u} +(l )( l −1)+ c0 L{ v } + c1 L{ v } + K + cl L{v}Последнее уравнение, учитывая свойство 2 преобразования Лапласа (дифференцирование оригинала при нулевых начальных условиях), можно записать в виде(a0 s n + a1s n−1 + K + an )Y ( s ) = (b0 s m + b1s m−1 + K + bm )U ( s ) + (c0 s l + c1s l −1 + K + cl )V ( s ) , (2.18)где Y ( s) = L{ y (t )}, U ( s) = L{u (t )}, V ( s) = L{v(t )} .Отсюда, положив V ( s ) = 0 , находим передаточную функцию относительно входаu (t ) :Y ( s) b0 s m + b1 s m −1 + K + bm.Wu ( s ) ==U ( s) a 0 s n + a1 s n −1 + K + a nАналогично, положив U ( s) = 0 , находим передаточную функцию относительновхода v(t ) :c0 s l + c1 s l −1 + K + clY (s).Wv ( s ) ==V ( s ) a 0 s n + a1 s n −1 + K + a nКак легко заметить, уравнение в изображениях Лапласа (2.18) получается из дифференциального уравнения (2.15а), т.е.

дифференциального уравнения, записанного всимволической форме, при подстановке p = s и замене переменных их изображениями.Поэтому передаточная функция W(s) произвольной стационарной линейной системы связана с ее передаточной функцией (в операторной форме) W(p) соотношениемW ( s) = W ( p) p = s(2.19)В тех случаях, когда W(p) имеет равные между собой нули и полюсы, предполагается, что в правой части (2.19) после подстановки p = s производится сокращение, и передаточная функция W(s) не имеет равных между собой нулей и полюсов.Обратное соотношение8W ( p) = W ( s) s = p(2.20)справедливо, если передаточная функция W(p) не имеет одинаковых нулей и полюсов.Примеры вычисления передаточных функций – на семинаре.2.6. Временные функцииПомимо дифференциальных уравнений и передаточных функций при описании иисследовании линейных систем используют переходные и импульсные переходные функции и их графики – временные (ударение на предпоследнем слоге) характеристики.Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, который можно сформулировать следующим образом: реакция системы на несколько одновременно действующих воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.Принцип суперпозиции позволяет сводить исследование систем при несколькиходновременно действующих входных воздействиях к исследованию системы с однимвходным воздействием.

Например, пусть требуется найти реакцию системы при двух одновременно действующих входных воздействиях: u = u(t) и v = v(t). При этом эти воздействия могут быть приложены в одной точке или в разных точках системы. Находим сначала реакцию системы y u (t ) при действии одного входа u = u(t) (v = 0), затем реакциюсистемы y v (t ) при действии другого входа v = v(t) (u = 0). Реакция системы при одновременном действии обоих воздействий (u = u(t) и v = v(t)) равна сумме найденных реакций:y (t ) = y u (t ) + y v (t ) .Принцип суперпозиции позволяет во многих случаях ограничиться изучением систем только с одним входом.Переходной функцией системы (звена) называют функцию, описывающую реакциюсистемы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.Переходную функцию будем обозначать h(t). График переходной функции – кривую зависимости h(t) от времени t – называют переходной или разгонной характеристикой.Импульсной переходной или весовой функцией называют функцию, описывающуюреакцию системы (звена) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальныхусловиях.Физически единичный импульс можно представить как очень узкий импульс, ограничивающий единичную площадь.

Математически он описывается дельта-функцией δ (t ) .Весовую функцию будем обозначать w(t). График импульсной переходной функции – кривую зависимости функций w(t) от времени t – называют импульсной переходнойхарактеристикой.Переходную и импульсную переходную функции называют временными функциями, а их графики – временными характеристиками.2.7. Связь между передаточной функцией и временными функциямиМежду передаточной функцией в изображениях Лапласа, переходной функцией ивесовой функцией существует взаимнооднозначное соответствие.

Для установления этогосоответствия рассмотрим звено (рис. 2.4), которое описывается уравнением(n)( n −1)( m)( m −1)a0 y + a1 y + K + an y = b0 u + b1 u + K + bm uВ изображениях Лапласа это уравнение принимает вид:Y ( s ) = W ( s )U ( s)где Y ( s) = L{ y(t )}, U ( s) = L{u (t )} ,W ( s) =b0 s m + b1 s m−1 + K + bm.a0 s n + a1 s n−1 + K + a n9(2.21)Из определения весовой функции следует, что y = w(t ) при u = δ (t ) (см. рис. 2.7,а). И так как при этом Y ( s ) = L{w(t )}, U ( s) = L{δ (t )} = 1 , то из уравнения (2.21) получаем∞W ( s ) = L{w(t )} = ∫ w(t )e − st dt ,(2.22)0т.

е. передаточная функция в изображениях Лапласа равна изображению Лапласа весовойфункции.Из определения переходной функции следует, что y = h(t ) при u = 1(t ) (см. рис. 2.7, б). Итак как при этом U ( s) = L{1(t )} = 1 / s и Y ( s) = L{h(t )}, то из уравнения (2.21) получаем1L{h(t )} = W ( s )⇒ W ( s ) = sL{h(t )} .sЕсли в последнем уравнении произвести обратное преобразование Лапласа, то всилу (2.22) в левой части получим w(t), а в правой части в силу свойства преобразованияЛапласа, связанного с дифференцированием оригинала, – производную от h(t):dh(t )w(t ) =.(2.23)dtПри произвольном входном воздействии u(t) из уравнения (2.21) на основаниисвойства преобразования Лапласа (теорема свертки) получаемty (t ) = ∫ w(t − τ )u (τ )dτ(2.24)oИтак, линейная система (звено) может быть задана (описана) с помощью дифференциальных уравнений,а)б)передаточных функций в операторРис.

2.7.ной форме и в изображениях Лапласа, переходной и весовой функциями.При этом в общем случае дифференциальные уравнения и передаточные функции в операторной форме описывают систему при произвольных начальных условиях, а передаточные функции в изображениях Лапласа и временные (переходные и весовые) функции –только при нулевых начальных условиях.2.8. Частотные функции и характеристикиВажную роль при исследовании линейных стационарных систем играют частотныехарактеристики. Они представляют собой еще один способ описания систем.В общем случае уравнение линейной системы с одним входом можно записать ввиде(n)( n −1)( m)( m −1)a0 y + a1 y + K + an y = b0 u + b1 u + K + bm u .(2.25*)Ее передаточная функцияb p m + b p m−1 + K + bm.(2.26)W ( p) = 0 n 1 n−1a0 p + a1 p + K + anФункцию W ( jω ) , которая получается из передаточной функции в изображенияхЛапласа при подстановке s = jω :b0 ( jω ) m + b1 ( jω ) m−1 + K + bm,a0 ( jω ) n + a1 ( jω ) n−1 + K + anназывают частотной передаточной функцией.

Она является комплекснозначной функцией от действительной переменной ω , называемой частотой.Частотную передаточную функцию можно представить в видеW ( jω ) =10W ( jω ) = U (ω ) + jV (ω ) = A(ω )e jϕ (ω ) ,гдеA(ω ) = U (ω ) 2 + V (ω ) 2 , ϕ (ω ) = arg W ( jω ) .V (ω )π.Если arg W ( jω ) ≤ , то ϕ (ω ) = argW ( jω ) = arctg2U (ω )На комплексной плоскости частотная передаточная функция определяет вектор ОС (рис.2.8), длина которого равна A(ω ) , а аргумент равен углу ϕ (ω ) , образованному этим вектором сположительной действительной полуосью.Годограф этого вектора, т.е. кривую, описываемую концом вектора W ( jω ) при изменении частоты от 0 до ∞ или от − ∞ до ∞ , называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

АФЧХ, получаемую при изРис. 2.8 Годограф вектора W ( jω ) .менении частоты от от − ∞ до ∞ , также называют диаграммой Найквиста.Модуль A(ω ) = W ( jω ) называют амплитудной частотной функцией, ее график –амплитудной частотной характеристикой.Аргумент ϕ (ω ) = arg W ( jω ) называют фазовой частотной функцией, а его график(при изменении от 0 до ∞ ) – фазовой частотной характеристикой.Частотную передаточную функцию W ( jω ) называют также амплитудно-фазовойчастотной функцией.Кроме перечисленных частотных характеристик, имеются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) – логарифмические амплитудные частотные характеристики и логарифмические фазовые частотные характеристики.ФункциюL(ω ) = 20 ⋅ lg A(ω ) = 20 ⋅ lg W ( jω )называют логарифмической амплитудной частотной функцией, а график зависимостифункции L(ω ) от логарифма частоты lg ω называют логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ).При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают значение частоты в логарифмическом масштабе, при этом на отметке, соответствующей значению lg ω , записываютзначение ω ; по оси ординат откладывают и записывают значение L(ω ) = 20 ⋅ lg A(ω ) .Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называют график зависимости функции ϕ (ω ) от логарифма частоты lg ω .