Лекция 2 - Математическое описание САУ (к экзамену), страница 5
Описание файла
Файл "Лекция 2 - Математическое описание САУ" внутри архива находится в следующих папках: экзамен, а здесь по делу. PDF-файл из архива "к экзамену", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "управление техническими системами (утс)" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 5 страницы из PDF
Поэтому уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид20 lg k ,при ω ≤ 1 / T ,⎧L(ω ) ≅ ⎨⎩20 lg k − 20 lg(Tω ), при ω > 1 / T ,При построении асимптотической ЛАЧХ колебательного звена в выражении[]2L(ω ) = 20 lg k − 20 lg 1 − (Tω ) 2 + (2ξTω ) 2при ω ≤ 1 / T под корнем оставляют только единицу, а при ω > 1 / T только наибольшееслагаемое (Tω ) 4 . Поэтому уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид1520 lg k ,при ω ≤ 1 / T ,⎧L(ω ) ≅ ⎨⎩20 lg k − 40 lg(Tω ), при ω > 1 / T ,Аналогично поступают при построении асимптотических ЛАЧХ форсирующихзвеньев.
Частоты, на которых асимптотические ЛАЧХ претерпевают излом, называютсясопрягающими частотами.2.11. Построение логарифмических частотных характеристикДля построения логарифмической амплитудной (ЛАЧХ) и фазовой (ЛФЧХ) частотной характеристик звена с произвольной дробно-рациональной передаточной функцией W(s) нужно ее числитель и знаменатель разложить на элементарные множители и представить W(s) в виде произведения передаточных функций элементарных звеньев:W ( s) = ∏Wi ( s )(2.31)iили в видеW (s) =k 0W ( s) ,sv(2.32)где W 0 ( s ) представляет собой отношение произведений элементарных множителей 1-го и2-го порядков с единичным передаточным коэффициентом, т.е.
множителей видаTs ± 1, as 2 ± bs + 1 (b 2 − 4a < 0) . Из (2.31) получаемL(ω ) = 20 lg W ( jω ) = 20∑ lg Wi ( jω ) ,(2.33а)iϕ (ω ) = argW ( jω ) = ∑ argWi ( jω ) .(2.33б)iИз (2.33а) следует, что для построения ЛАЧХ произвольного звена достаточно построить ЛАЧХ элементарных звеньев, на которые оно разлагается, а затем их геометрически сложить. Однако для построения асимптотических ЛАЧХ можно использовать несколько иное, более простое правило. Проиллюстрируем это сначала на частном примере.100( s + 1)Пример. Пусть W ( s) =. Логарифмическая амплитуднаяs (10s + 1)(0,01s 2 + 0,1s + 1)частотная функция имеет вид:L(ω ) = 20 lg 100 + 20 lg( ω 2 + 1) − 20 lg ω − 20 lg (10ω ) 2 + 1 − 20 lg (1 − 0,01ω 2 ) 2 + (0,1ω ) 2 .Вычислим сопрягающие частоты и пронумеруем их в порядке возрастания:11ω1 = = 0,1, ω 2 = 1, ω3 == 10 .100,1Здесь ω1 , ω 2 , ω3 – сопрягающие частоты апериодического, форсирующего и колебательного звеньев, соответственно.Напомним, что при построении асимптотических ЛАЧХ при частотах, меньшихсопрягающей частоты, под корнем оставляют только единицу (остальными членами пренебрегают); при частотах, больших сопрягающей частоты, оставляют член с наивысшейстепенью ω .
Поэтому в рассматриваемом примере при ω < ω1L(ω ) ≅ 40 − 20 lg ω .Это уравнение прямой, которая проходит через точку с координатами ω = 1 иL = 40 с наклоном –20дБ/дек. Прямая имеет наклон –20дБ/дек; это означает, что при увеличении частоты на декаду (т.е. в 10 раз) L(ω ) уменьшается на 20дБ (рис. 2.18, а).Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте (рис. 2.18, б).При ω1 ≤ ω < ω 2 аналогично имеемL(ω ) ≅ 40 − 20 lg ω − 20 lg(10ω ) = 20 − 40 lg ω .16Это уравнение второй асимптоты. Ее наклон по отношению к первой асимптоте изменяется на –20дБ/дек и обуславливается апериодическим звеном, т.
е. множителем 1-го порядка в знаменателе рассматриваемой передаточной функции. Вторую асимптоту проводят отконца первой асимптоты до второй сопрягающей частоты согласно ее уравнению под наклоном –40дБ/дек.а)б)Рис. 2.18. К построению асимптотических ЛАЧХ: а – наклоны асимптот;б – асимптотическая ЛАЧХПри ω 2 ≤ ω < ω3L(ω ) ≅ 20 − 40 lg ω + 20 lg ω = 20 − 20 lg ω .Это уравнение третьей асимптоты. Ее наклон по отношению ко второй асимптотеизменяется на 20 дБ/дек и обуславливается форсирующим звеном, т. е. множителем 1-гопорядка в числителе.
Третью асимптоту проводят от конца второй асимптоты до третьейсопрягающей частоты под наклоном –20дБ/дек.При ω > ω3L(ω ) ≅ 20 − 20 lg ω − 20 lg(0,1ω ) 2 = 20 − 20 lg ω − 40 lg(0,1ω ) = 60 − 60 lg ω .Это уравнение последней, четвертой асимптоты. Ее наклон изменяется по отношению к третьей асимптоте на –40дБ/дек и обуславливается колебательным звеном, т.е.множителем 2-го порядка в знаменателе.Теперь нетрудно сформулировать правило построения асимптотических ЛАЧХ вобщем случае.Правило построения асимптотических ЛАЧХ.1) Пользуясь представлением (2.32), вычислить 20 lg k и сопрягающие частотыωi = 1 / Ti , которые следует пронумеровать в порядке возрастания ω1 < ω 2 < K2) На оси абсцисс отметить сопрягающие частоты, а на координатной плоскости –точку (1, 20 lg k ).
Построить первую асимптоту – прямую под наклоном –v20дБ/дек, проходящую через отмеченную точку на координатной плоскости. Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте ω1 .3) Построить вторую асимптоту, которая начинается с конца первой асимптоты ипроводится до второй сопрягающей частоты ω 2 . Ее наклон изменяется на ±20дБ/дек или±40дБ/дек в зависимости от того, обуславливается ω1 элементарным множителем 1-го или2-го порядка.
Берется знак плюс, если указанный множитель находится в числителе, изнак минус, если этот множитель находится в знаменателе.4) Построить остальные асимптоты, которые строятся аналогично второй асимптоте: i-я асимптота начинается с конца предыдущей, (i – 1)-й асимптоты и проводится до сопрягающей частоты ωi .
Ее наклон определяется сопрягающей частотой ωi −1 .175) Последняя асимптота представляет собой прямую, которая начинается с концаасимптоты, закачивающейся на последней сопрягающей частоте, и уходит в бесконечность.Примечание. Асимптотическая ЛАЧХ наиболее сильно отличается от точнойЛАЧХ в точках излома (при сопрягающих частотах). Причем в точках излома, где наклонизменяется на ±20дБ/дек, это отличие (при условии, что соседние точки излома располагаются не очень близко) примерно равно 3дБ/дек.
В точках излома, где наклон изменяетсяна ±40дБ/дек, т.е. при сопрягающих частотах, обуславливаемых форсирующим звеном 2го порядка или колебательным звеном, отклонение зависит от коэффициента ξ и при малых ξ может быть значительным.2.12. Построение ЛФЧХНапомним: при построении ЛФЧХ по оси ординат откладываются значения фазовой функции ϕ (ω ) , а по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, – частота в логарифмическом масштабе, т.е.
наносятся деления, соответствующие значениям lg ω , а указываются значения ω .ЛФЧХ системы (звена) можно построить следующим образом: разложить числитель и знаменатель передаточной функции на элементарные множители и представить ее ввиде произведения передаточных функций элементарных звеньев, затем построить ЛФЧХэлементарных звеньев и в соответствии с формулой (2.33б) их геометрически сложить.ЛФЧХ пропорционального, дифференцирующего и интегрирующего звеньев представляют собой прямые и строятся легко.Форма ЛФЧХ апериодического и форсирующего звеньев не зависит от значенийпараметров и для их построения можно воспользоваться шаблоном, причем одним шаблоном, так как ЛФЧХ апериодического звена получается из ЛФЧХ форсирующего звеназеркальным отображением относительно оси частот (рис. 2.19, а). В зависимости от постоянной времени Т они перемещаются вдоль оси абсцисс: при ω = 1 / T фазовая частотнаяфункция форсирующего звена принимает значение π / 4 , а апериодического звена – значение − π / 4 .Форма ЛФЧХ форсирующего звена 2-го порядка и колебательного звена зависит откоэффициента демпфирования ξ .
Положение вдоль оси частот зависит от постояннойвремени Т: при ω = 1 / T фазовая частотная функция форсирующего звена 2-го порядкапринимает значение π / 2 , а колебательного звена – значение − π / 2 . ЛФЧХ колебательного звена получается из ЛФЧХ форсирующего звена 2-го порядка зеркальным отображением относительно оси частот (рис.
2.19, б), и для их построения можно воспользоватьсяодним шаблоном. Однако в данном случае нужны шаблоны для различных значений параметра ξ .Раньше при построении ЛФЧХ довольно часто использовались шаблоны. В настоящее время в связи с компьютеризацией необходимость использования шаблонов отпадает.а)б)Рис. 2.19. Шаблоны ЛФЧХ элементарных звеньев: а – форсирующего (кривая 1) и апериодического (2) звеньев; б – форсирующего 2-го порядка (1) и колебательного (2) звеньев18.