7 (Лекции в PDF)

1й курс. 2й семестр. Лекция 71Лекция 7. «Механические волны».Виды механических волн. Упругие волны в стержнях. Волновое уравнение. Плоская гармоническая волна, длина волны, фазовая скорость. Сферические волны.Объемная плотность энергии волны. Вектор Умова – вектор плотности потокаэнергии. Когерентные волны. Интерференция волн. Стоячая волна.Волна – это процесс распространения возмущений некоторой физическойвеличины в пространстве с течением времени. Если возмущения описываются какмеханическое движение среды, то волна называется механической. Например,возмущения могут представлять собой отклонения точек среды от своих положений равновесия.Если эти отклонения направлены перпендикулярно движению волны, товолна называется поперечной, если параллельны - то продольной. Примером поперечных волн являются волны на поверхности жидкости или колебания гитарнойструны. В глубине жидкости или в газе могут распространяться только продольные волны.

Примером является звуковая волна – малые колебания давления(плотности) в газе или жидкости.Важное свойство волновых движений состоит в локальной связи междувозмущениями в близких точках среды. То есть отклонение от положения однойточки вызывает отклонения соседних близких точек. Локальная связь между точками является причинно-следственной связью, поэтому процесс распространениявозмущения в таких средах имеет конечную скорость.Монохроматическая волна –– это бесконечная волна, при которой состояние среды описывается с помощью гармонической функции постоянной частоты,является идеализацией волнового процессаРассмотрим поперечную монохроматиL=xческую волну, испускаемую некоторым источником, находящимся в начале оси X (х=0)x=0xXи совершающим колебания по гармоническому закону.

Пусть его закон колебаний имеетвид = cos( ∙ + ). Так как скорость движения волны конечная, то обозначим её через v. Колебание, испущенное источником в момент времени t придет(без изменений) в точку, отстоящую от источника на расстоянии L, лишь спустяпромежуток времени Δ = : = cos(( − Δ) + ) = cos( − + ).Поэтому колебания в координате x>0 будут иметь вид = cos( − + ) волна, бегущая в положительном направлении оси X, а если x < 0, то = cos( + + ) - волна, бегущая в отрицательном направлении оси X.Здесь величина = называется волновым числом.2Так как  - циклическая частота по времени, то временной период = .k – циклическая частота колебаний по координате X, поэтому пространственный222период = называется длиной волны.

Из соотношения = получаем = ,1й курс. 2й семестр. Лекция 72откуда получаем = - то есть длина волны – это расстояние, проходимое волной за время, равное периоду колебаний.Для функции = cos( − + ) выполняются соотношения2 2= −2 cos( − + ),2 21 2 1 2 = − 2 cos( − + ), 2 2 = 2 2 отку да2 2 = 2 2. 2Это уравнение называется волновым уравнением для одномерного случая - вдолькоординаты X.Рассмотрим свойства решений этого уравнения.1.

Геометрическое место точек среды, где наблюдаются колебания, называют волновым полем.Волновое уравнение – линейное, в том смысле, что сумма двух решений тоже является решением. Это так называемый принцип суперпозиции – при наложенииволновых полей получается волновое поле, являющееся их суммой.В общем случае решением одномерного волнового уравнения являетсясумма двух произвольных дважды непрерывно-дифференцируемых функций = 1 ( − ) + 2 ( + ),одна из которых - 1 ( − ) - описывает волновое поле, распространяющееся вположительном направлении оси X – его называют убегающей волной, а вторая,2 ( + ) - в отрицательном направлениях оси X – её называют набегающей волной.Действительно, подставим в волновое уравнение выражение = 1 ( − ) + 2 ( + ).Тогда = (1 ( − ) + 2 ( + )) = − ∙ 1′ ( − ) + ∙ 2′ ( + ),= 2 1′′ ( − ) + 2 2′′ ( + ), 2= (1 ( − ) + 2 ( + )) = 1′ (2 = 1′′ ( − ) + 2′′ ( + ).

22 − ) + 2′ ( + ),Штрихи означают производные от функций по аргументу.2 2 При подстановке этих соотношений в волновое уравнение 2 = 2 2: 2 1′′ ( − ) + 2 2′′ ( + )= 2 (1′′ ( − ) + 2 2′′ ( + ))получаем тождество.2. Геометрическое место точек в пространстве, для которых фаза волны одинаковая называют волновой или фазовой поверхностью. В одномерном случае волновая поверхность – это плоскость, которая движется вдоль оси с течением времени + = или − = . Поэтому волна называется плоской. Есливолновая поверхность – сфера, то волна называется сферической.Скорость движения плоской фазовой поверхности можно найти дифференцированием по времени уравнений + = или − = : + ̇ = 0или − ̇ = 0.

Видно, что скорость вдоль оси = ± по величинесовпадает со скоростью волны, определяемой из волнового уравнения. Таким об-1й курс. 2й семестр. Лекция 72 32 разом, в волновом уравнении 2 = 2 2 присутствует квадрат скорости, котораяназывается фазовой скоростью волны.Замечание. В общем случае, фазовая скорость может зависеть от параметров волны (амплитуды, частоты). Для случая, когда скорость зависит от частотыволны, имеется особое название – дисперсия волн.Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении.Пусть плоская волна движется в направлении прямой линии, которая проходит через начало координат.Тогда радиус-вектор любой точки, лежащей на этой пряkмой, тоже лежит на этой прямой и длина этого вектораZравна расстоянию R точки от начала координат.

ПоэтомуYRуравнение волны, которая бежит вдоль этой прямойможно записать в виде = cos( − + ). ФазоваяXповерхность волны перпендикулярна этой прямой. Введем волновой вектор⃗⃗⃗, направленный перпендикулярно фазовой (волновой) по2|| = равна волновомуверхности волны в сторону её движения.

Длина вектора ⃗⃗⃗⃗⃗числу. Так как волновой вектор параллелен прямой, то можно записать = (⃗, ⃗)и = sin( − (⃗, ⃗) + ).Но для любой плоской волны всегда есть прямая линия, перпендикулярнаяволновой поверхности и проходящая через начало коордиВолновая понат, поэтому такая форма записи закона движения плоскойверхностьволны является общей.В чем удобство введения волнового вектора? С его помощью можно определять положения любой волновой поверхности. При этом движение волновой поверхности можноописать с помощью лучей. Луч – это линия в пространстве,касательная к которой в каждой точке направлена как волнолучивой вектор.Волновое уравнение для движения волны в 3х мерномпространстве в общем случае имеет вид:2 2 2 2 22 +2Если ввести условное обозначение+2 2+ 2=+1 2 2 22 2.= Δ, то это уравнение можнозаписать в видеΔ =где222 2+2+21 2 2 2,= Δ так называемый оператор Лапласа (Пьер-Симо́н Лапла́с –французский ученый).Сферическая волна описывается функцией⃗ ) + ) + 0 ∙ cos( − (⃗ , ⃗ ) + ).

= 0 ∙ cos( + (⃗ , 1й курс. 2й семестр. Лекция 74Амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию от центраволны.Примеры по выводу волновых уравнений.Рассмотрим малые поперечные колебания тонкой однородной струны длиFYY21XFxXx+xны L и массы m, закрепленной с обоих концов. Пусть сила натяжения струны Fпостоянная по величине. Форма струны задается уравнением y(x). Выделим малый кусок струны, длина которого вдоль оси X равна x, а масса m. Так как колебания поперечные, то запишем второй закон Ньютона для куска m вдоль осиY: Δ = ∙ sin 2 − ∙ sin 1При малых углах (в радианах) справедливо ≈ sin ≈ tg .

Ноtg 1 =| , tg 2 =|+Δ ≈Поэтому Δ = ∙ (Т.к. и Δ =2 2=∙2 2Δ, тоΔ2 22 | +=∙| +2 | 2 ∙ Δ (разложение в ряд Тейлора).| ∙ Δ) − ∙2 2 | 2 | = ∙2 | 2 ∙ Δ.∙ Δ . Окончательно получаем уравнение. Поэтому скорость волны в струне = √ .Если возвращающая сила пропорциональнасмещению точки от положения равновесия, то волF1F2на называется упругой. Выведем волновое уравнение на примере продольных волн деформации встержне.XВыделим часть стержня длиной x. Еслиx x+xплощадь поперечного сечения стержня равна S,плотность материала , то масса этой части Δ = Δ. При деформациях на этучасть стержня действую силы упругости.

Запишем второй закон Ньютона – уравнение движения этой части стержня вдоль оси Х:Δ = 2 − 1 .Это уравнение записано в предположении растяжения этой части стержня.Силы с обеих сторон выделенной части вызывают деформацию этой части стержня. При равновесии и отсутствии деформации положение точек в двух близкорасположенных сечениях стержня можно задать координатами x и x+x. При деформировании стержня его точки сместятся от равновесных положений.

Пустьx1(x) – задает положение точки стержня при деформации, если её равновесное положение задавалось координатой x. Тогда для близкого сечения новыми координатами будет x1+x1. Изменение линейного размера части стержня вызвано смещением точек стержня. Введем величину смещения = x1  x. По определению,1й курс. 2й семестр. Лекция 75относительная деформация в данном сечении стержня – это отношение измененияΔ −Δдлины части стержня к начальной длине этой части: = 1 . Если стерженьΔсжимается, то его продольные размеры уменьшаются Δ1 < Δ и поэтому  < 0.Таким образом, при сжатии  < 0 и при растяжении  > 0.Если все точки стержня смещаются на одинаковую величину, то изменениядлины участка стержня не происходит. Поэтому деформация равна разности смеΔ −ΔΔщений соседних точек Δ1 − Δ = Δ.

Тогда можно записать = 1= .ВΔΔпределе (при Δ → 0) получаем = . С учётом напряжений в сеченияхня 1 = , 2 = +Δ . Напряжения в сечениях стержня найдем по закону Гука: = , +Δ = +Δ , где Е – модуль упругости материала (модуль Юнга).Относительная деформация меняется вдоль стержня, поэтому можно считать, что +Δ = + Δ + ⋯ (разложение в ряд Тейлора).2 Ускорение точек выделенной части стержня = 2 . Последовательноподставим эти соотношения в уравнения движения: Δ = 2 − 1 ,т.е.ΔΔ2 22 2= +Δ − ,= 2 − 1 , Δ2 2= (1 +Δ) − 1 , Δ2 2=Δ.С учетом равенства = , после сокращений, получаем дифференциальноеуравнение, описывающее распространение волны (вдоль одного направления –оси Х):2 22 2 2= ∙или2= 22 2.Здесь,  - параметр, описывающий колебания (величина смещения точек при деформации), = √ – скорость волны.Энергия, переносимая волнойРассмотрим выделенный участок стержня длиной x.