7 (Лекции в PDF), страница 2

При колебаниях скорость этого участка и величина деформации . Соответственно, кинетическая1 2и потенциальные энергии выделенного участка равны = Δ ( ) и21 2П = ( ) Δ. Объем участка = Δ. Объемная плотность механической2 +1 21 2энергии = П = ( ) + ( ) .22Если уравнение движения волны записать в виде = cos( − + ), то сучетом соотношений для скорости= − sin( − + ) и деформации= sin( − + ) получается1 = ∙ 2 2 sin2 ( − + ) + ∙ 2 2 sin2 ( − + )или221 = ( ∙ + ∙ 2 ) 2 sin2 ( − + ).21й курс.

2й семестр. Лекция 7Используем выражение для скорости волны 2 ==622: 2 1 2 21 2 22( = ∙ (1 +sin−+)=∙2 sin ( − + )) 2 222∙2 2=(1 − cos(2[ − + ])).2Среднее значение объёмной плотности энергии, переносимой волной1 ∙ 2 2 ∙ 2 2〈〉 = lim [ ∫(1 − cos(2[ − + ]))] =→∞ 2201) Величины скорости точекСледствия= − sin( − + ) и деформации среды= sin( − + ) колеблются синфазно друг другу.2) Закон изменения объёмной плотности энергии описывается волновым уравнением и представляет волну объёмной плотности энергии.

Скорость этой2волны ЭН == в данном случае совпадает с фазовой скоростью волны.2(В общем случае это не так.)Вектор УмоваПусть энергия переносится со скоростью v в направлении под углом  к нормали некоторой малой площадки S. Тогда вся энергия, прошедшая через эту площадку за малое вреSмя dt окажется в области, объем которой = ∙ ∙ cos ∙ (на рисунке эта область является косым цилиндром). Еслиобъемная плотность энергии равна w, то энергия этого объемаv = ∙ = ∙ ∙ ∙ cos ∙ Мощность переноса энергии через площадку S:vcosdt= ∙ ∙ ∙ cos .Введем вектор плотности потока энергии (Вектор Умова) = ∙ ,тогда= ∙ ∙ cos .

Если ввести вектор = ⃗ ∙ , направленный по нормали кплощадке, и скалярное произведение ∙ ∙ cos = (, ) определить как потоквектора Умова через площадку S, то мощность переноса энергии через площадкуопределяется потоком вектора Умова через эту площадку= (, ) .Интенсивность волны – это средняя по времени мощность энергии переносимая волной через площадку в направлении перпендикулярном к этой площадке.∙2 2Для плоской волны интенсивность = не меняется при распространении2волны.Для сферической волны интенсивность через любую сферу радиуса R с центром висточнике ∙ 2 2 ∙ 2 20= =42 = 2 ∙ 2 20222 1й курс.

2й семестр. Лекция 77тоже является постоянной величиной.Если интенсивность волны при её распространении в некоторой средеуменьшается, то среда называется диссипативной. Если интенсивность волныувеличивается, то среда называется активной.Интерференция волнИнтерференция волн – взаимное усилениеYили ослабление волн при их наложении друг надруга (суперпозиции волн при одновременномyраспространении в пространстве), что приводитy2к перераспределению энергии колебаний, устойАА2чивому во времени. Интерференция волнy1наблюдается согласно принципу суперпозиции2Xволн.А1OРассмотрим суперпозицию двух волн одxx2x1ного направления 1 = 1 cos(1 − 1 1 + 1 )1и 2 = 2 cos(2 − 2 2 + 2 ).Воспользуемся амплитудно-векторной диаграммой.По теореме косинусов2Σ = 12 +22 − 21 2 cos( − )Учтем, что cos( − ) = − cos , = 2 − 1 = (2 − 1 ) − (2 2 − 1 1 ) + 2 − 1 , тогда2Σ = 12 +22 + 21 2 cos((2 − 1 ) − (2 2 − 1 1 ) + 2 − 1 ).Если результирующая амплитуда не зависит от времени, то разность фазволн должна быть постоянной во времени.

Такие волны называются когерентными. В частности, получаем, что частоты когерентных волн совпадают 2  1 .Вообще говоря, волны могут двигаться к точке встречи в разных средах, поэтому их скорости могут быть там различными, а также расстояния до точки тожемогут быть разными, поэтому следует написать2Σ = 12 +22 + 21 2 ((2 2 − 1 1 ) − (2 − 1 ))Поэтому в точке наблюдения может бытьлибо усиление колебаний при ((2 2 − 1 1 ) − (2 − 1 )) = 1,либо ослабление колебаний при ((2 2 − 1 1 ) − (2 − 1 )) = −1.Стоячая волна.Стоячая волна образуется при наложении двух волн одинаковой частоты,бегущих в противоположных направлениях: = cos( + + 1 ) + cos( − + 2 ).Пусть, например, 1 = 0 и 2 = 0, тогда = 2 cos() cos( + Θ).Величину 0 = 2|cos()| можно назвать амплитудой стоячей волны.

Так какамплитуда не может быть отрицательной, то необходимо брать модуль |cos()|.Тогда в тех точках, где cos() > 0 значение =0, а в тех точках, где cos() < 0надо, для учета знака минус, принять =. Точки, где амплитуда стоячей волны1й курс. 2й семестр. Лекция 78максимальная, называются пучностями. Эти точки можно найти из условия|cos()| = 1, откуда = ± ∙ (n – целое число). Следовательно, координаты∙∙пучностей ПУЧ = ±= ± = ± . Соседние пучности находятся друг от22друга на расстоянии - половины длины волны. Точки, где амплитуда стоячей2волны равна нулю, называются узлами. Эти точки можно найти из условия|cos()| = 0, откуда = ± ∙ (n – целое число). Следовательно, координаты узлов УЗ =2( ± ∙)=2( ± ∙)22122 = ( ± ) .Соседние узлы находятся друг от друга на расстоянии - половины длины2волны.Следовательно, расстояние между ближайшими соседними узлами и пучностямиравно .4Найдем объемную плотность энергии стоячей волны1 2 1 2 = + П = ( ) + ( )2 2 112 = (−2 cos() sin( + )) + (−2 sin() cos( + ))2 ,22 = 22 2 (cos 2 () sin2 ( + ) + sin2 () cos 2 ( + )),1+cos(2) 1−cos(2[+])1−cos(2) 1+cos(2[+]) = 22 2 (+),2222 = 2 2 (1 − cos(2) cos(2[ + ])).Видно, что плотность энергии тоже является стоячей волной.

Т.е. энергиястоячей волной не переносится..