12 (Лекции в PDF)

1й курс. 2й семестр. Лекция 121Лекция 12.Теплоёмкость газа при изопроцессах. Адиабатический процесс, уравнение Пуассона. Политропический процесс. Теплоёмкость и работа в политропических процессах. Газ Ван-дер-Ваальса.Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса.Теплоемкостью тела называется коэффициент пропорциональности между изменениемQего температуры и количеством подведённой теплоты C =(Дж/К).∆TУдельной теплоемкостью вещества называется теплоемкость единицы массы этого веCQщества CУД = =(Дж/К⋅кг).m m∆TМольной (молярной) теплоемкостью называется теплоемкость одного моля веществаCQCМ = =(Дж/моль⋅К).ν ν∆TИз размерности теплоемкости можно понять, о какой из них идет речь.Итак, для того чтобы изменить температуру тела от начальной ТН до конечной ТК, емунадо сообщить количество теплотыQ=mCУД(TК - ТН),где m – масса вещества, СУД – удельная теплоемкость (Дж/кг⋅К), TК - ТН – разность конечной иначальной температур.

Аналогичные формулы и для обычной и молярной теплоемкости:Q=νCМ(TК - ТН),ν - количество молей вещества, СМ – молярная теплоемкость веществаЗамечание: Поскольку в выражение для количества теплоты входит разность температур,то температуру можно брать хоть в градусах Цельсия, хоть в Кельвинах. Из формулы видно,что если температура тела увеличивается, то количество теплоты считается положительным, аесли уменьшается, то отрицательным. Поэтому в дальнейшем будем считать, что теплота, полученная телом – положительная, а отданная, наоборот, отрицательная.Теплоемкость тела не является постоянной величиной, а зависит от различных факторов,в том числе и от условий протекания термодинамических процессов, в которых это тело участвует.Рассмотрим процессы, в которых один из параметров системы остаётся постоянным. Такие процессы принято называть изопроцессами..1) Изохорический (изохорный) процесс – процесс изменения состояния газа, при которомpобъем газа остается постоянным V=const.

Для изохорического процесса = const .TppVVTTТак как объем газа постоянный, то работа газа равна нулю А=0, следовательно все подводимоетепло идет на изменение внутренней энергии Q=∆U. Для внутренней энергии идеального газаii∆U = U К - U Н = ν ⋅ R ( TК - TН ) = ν ⋅ R ⋅ ∆T .22Если обозначим молярную теплоемкость газа для изохорического процесса как CV, то тогдаQ=νCV∆T. Поэтому первое начало термодинамики примет вид:1й курс. 2й семестр. Лекция 122iQ V=const = ν ⋅ C V ⋅ ∆T = ν ⋅ R ⋅ ∆T .2iОтсюда для изохорной молярной теплоемкости CV = R .2Следствие: ∆U = ν ⋅ C V ⋅ ∆T .Одноатомный i=3Двухатомный i=535CV = RCV = RCV22Многоатомный i=6CV = 3R2) Изобарический (изобарный) процесс - процесс изменения состояния газа, при котором давVление газа остается постоянным р=const.

Для изобарного процесса= const .TppVVTTВ этом случае работа газа равна A=p(VК – VН). Первое начало термодинамики для этого процесса: Q = ∆U + A = νC V ∆T + p ( VК - VН ) .mmR ( TК - TН ) = R ⋅ ∆T = ν ⋅ R ⋅ ∆T .µµПоэтому Q = ∆U + A = νC V ∆T + p ( VК - VН ) = νC V ∆T + ν ⋅ R ⋅ ∆T = ν ( C V + R ) ∆T .Если обозначить через CP - молярную теплоемкость газа для изобарического процесса, тоQP=const = νCP ∆T = ν ( CV + R ) ∆T .Отсюда для молярной изобарной теплоемкости:CP = C V + R- это равенство называется соотношением Майера.ii+2Следовательно, CP = R + R =R.22Одноатомный i=3Двухатомный i=5Многоатомный i=657CP = 4 RCP = RCP = RCP22Из уравнения Менделеева-Клапейрона p ( VК - VН ) =3) Изотермический процесс – процесс изменения состояния газа, при котором температура газа остается постоянной T=const.

Для изотермического процесса pV = const .ppVVTT1й курс. 2й семестр. Лекция 123Так как температура газа постоянная, то изменение внутренней энергии равно нулю ∆U = 0 ивсе подводимое к газу тепло расходуется на совершение газом работы: Q=A .Работа газа в изотермическом процессеV2V2V νRTA = ∫ pdV = ∫dV = νRT ln  2  .V V1 V1V1Теплоемкость газа в этом процессе не определена (говорят, что теплоемкость изотермическогопроцесса бесконечно большая).4) Адиабатический (адиабатный) процесс. Это процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой δQ=0.

Теплоёмкость адиабатического процесса равна нулю. Первое началотермодинамики для адиабатического процесса: 0=∆U + A или −∆U = A - газ совершает положительную работу за счет уменьшения внутренней энергии.Для малых изменений параметров dU + pdV = 0 ,Vdp + pdVdU = νCV dT , d ( pV ) = d ( νRT ) или Vdp + pdV = νRdT , откуда dT =νRVdp + pdVТогда νCV dT + pdV = 0 , νCV+ pdV = 0 , CV Vdp + ( CV + R ) pdV = 0νRУчитывая соотношение Майера CV + R = CP и деля на pV, получаемCP C = 0 , d  ln  pV V   = 0 ,  Уравнение для адиабатического процесса pV γ = const (Уравнение Пуассона).CКоэффициент γ = P называется показателем адиабаты (или коэффициентом Пуассона).CVi+2Для идеального газа γ =.iОдноатомный i=3Двухатомный i=5Многоатомный i=6574γ=γ=γ=γ353Следствия1.Уравнения адиабатического процесса pV γ = const .νRTС учетом p =получаем уравнение TV γ−1 = const .VνRTTγС учетом V =получаем уравнение γ−1 = const .ppC +RСRПоказатель адиабаты всегда больше единицы γ = P = V= 1+>1CVCVCV2.

Работа газа при адиабатическом процессе равна убыли внутренней энергииA = −∆U = νCV (T1 − T2 ) .CPdpdVCV+ CP= 0 , d ( ln p ) + d  lnV CVpVС другой стороны, т.к. pV γ = const , то, например, pV γ = p1V1γ , откуда p =p1V1γи для работыVγгаза в адиабатическом процессе получаем выражениеpV γpV γ  11  pV   V A = ∫ pdV = ∫ 1 γ1 dV = 1 1  γ−1 − γ−1  = 1 1 1 −  1 Vγ − 1  V1V2  γ − 1   V2 V1V13. В координатах (V, p) график адиабаты идет круче, чем график изотермы.V2V2γ−1.1й курс. 2й семестр.

Лекция 124const dpconst,= − 2 - тангенс угла наклонаVdVVconst dpconstкасательной. Для адиабатического процесса p =,= −γ γ+1δQ=0pγVdVVT=const- тангенс угла наклона касательной. Т.к. γ > 1 , то в точке пересеченияграфиков адиабата убывает быстрее, чем изотерма.Замечания.1. Скорость звуковых колебаний в газе определяется соотношениемVdpv=. Звуковые колебания в воздухе можно считать адиабатичеdρpским процессом, для которого pV γ = const , откуда γ = const . Следовательно,ρДействительно, для изотермического процесса: p = p  dppdpppd  γ  = γ − γ γ+1 d ρ = 0 .

Тогда= γ и поэтому v = γ . Для идеального газа из уравнеρdρρρρ  ρm pµ p RTRTния Менделеева-Клапейрона ρ = =, =v= γ. Для воздуха при нормальныхV RT ρµµусловиях можно приближенно считать γ≈1,4. При Т=300 К скорость звука в воздухе v≈347 м/с.2. Теплоёмкость, вообще говоря, не является постоянной величиной, а зависит, например, от35температуры. Для водорода Н2 при Т≈50 К CV = R , а в диапазоне Т≈300…400 К CV = R , а227при высокой температуре CV = R . Это говорит о вкладе колебательных степеней свободы в2теплоёмкость для реального газа.Политропический процессПолитропический процесс – термодинамический процесс, протекающий при постояннойтеплоёмкости С=const.Выведем уравнение для политропического процесса (аналогично выводу уравнения Пуассона)Vdp + pdVVdp + pdVδQ = dU + δA , νCdT = νCV dT + pdV , dT =, ν ( C − CV )= pdV ,νRνR( C − CV )Vdp + ( C − CV − R ) pdV = 0Показатель политропического процесса n =C − CP.C − CVУравнение политропического процесса pV n = const .n −1p1V1   V1  1 −    .Работа при политропическом процессе A = ∫ pdV =n − 1   V2  V1Частные случаи политропического процесса1) Пусть C → CV .

Тогда n→∞. Уравнение политропического процесса можно записать в видеV211p nV = const , тогда lim p nV = V = const - т.е. это изохорический процесс.n →∞2) Пусть C = CP , тогда n=0 и pV 0 = p = const - изобарический процесс.−C P3) Пусть С=0, тогда n == γ и pV γ = const - адиабатический процесс.−CV4) Пусть C=∞, тогда n=1, pV = νRT = const - изотермический процесс.1й курс. 2й семестр. Лекция 125Приближение Ван-дер-Ваальса(газ Ван-дер-Ваальса)В реальном газе молекулы взаимодействуют между собой на расстоянии.

Это, в частности, приводит к уменьшению давления газа. Для примера рассмотрим небольшой сосуд, полностью заполненный водой при температуре Т= 300 К. Давление в воде мало отличается от атмосферного. Предположим, что молекулы воды перестали взаимодействовать друг с другом, т.е.вода превратилась в идеальный газ. Так как плотность газа в сосуде будет равна плотности воρRT 1000 ⋅ 8,31 ⋅ 300ды ρ=1000 кг/м3, то давление газа в сосуде будет равно p === 1385 ⋅105 Па,µ0 , 018т.е. в 1385 раз больше атмосферного. Конечно, у реальных газов отличие не будет таким большим, как у жидкости.2ПОСТКак показывает основное уравнение МКТ p = nWКИНдавление идеального газа про3порционально кинетической энергии молекул. В реальном газе молекулы взаимодействуют между собой.

Из-за притяжения между молекулами кинетическая энергия будет уменьшаться сувеличением расстояния между молекулами. Поэтому давление будет уменьшаться тоже. Дляучёта уменьшения давления для реального газа можно ввести поправку к давлению идеальногоa ⋅ ν2a ⋅ ν2газа p = pИД − 2 , откуда p + 2 = pИД , где V – объём газа, ν - количество моль вещества, aVV- некоторый коэффициент.Идеальный газ состоит из материальных точек, не имеющих размеров. Поэтому объеммолекул в идеальном газе можно не учитывать.