03 Процесс ортогонализации. Линейные операторы и их матрицы (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 3

Действительно, для любых векторов x, y ∈ L и любых действительных чисел λ, µÔÍ-12ÔÍ-12Ax = bAx = bBx = Bx,ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12где единица стоит в i-й строке, убеждаемся, что он совпадает с i-м столбцом матрицы A ипоэтому матрица заданного линейного оператора совпадает с исходной матрицей A. IÔÍ-12В этой выкладке мы использовали теорему 1.3 и свойства умножения матриц. Вычислив дляi = 1, n столбец координат образа i-го вектора из базиса b 0a1i ..  .. . .  0 ai−1,i  Abi = bA  1  = b  aii  , 0 ai+1,i . .  ..  ..

0aniÌÃÒÓÌÃÒÓA(λx + µy) = bA(λx + µy) = λ(bAx) + µ(bAy) = λAx + µAy.ÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 3.5. Матрицы Ab и Ae линейного оператора A: L → L, записанные в базисах b иe линейного пространства L, связаны друг с другом соотношениемAe = U −1 Ab U,(3.3)где U = Ub→e — матрица перехода от базиса b к базису e.J Пусть y = Ax. Обозначим координаты векторов x и y в старом базисе b через xb и yb ,а в новом базисе e — через xe и ye .

Поскольку действие линейного оператора A в матричнойформе в базисе b имеет вид yb = Ab xb (см. теорему 3.3), а координаты векторов x и y в новоми старом базисах связаны между собой равенствами (см. 1.8)xb = U x e ,то получаемyb = U y e ,ye = U −1 yb = U −1 (Ab xb ) = U −1 (Ab U xe ) = U −1 Ab U xe .Замечание 3.2. Изложенное доказательство теоремы хорошо иллюстрирует следующаядиаграмма:Aexe −→yeU↓ÌÃÒÓРавенство ye = (U −1 Ab U ) xe является матричной формой записи действия линейного оператораA в базисе e и поэтому, согласно теореме 3.4, U −1 Ab U = Ae . IÔÍ-12ÔÍ-12Матрица линейного оператора изменяется, когда изменяется базис линейного пространства.

Возникает естественный вопрос, как она изменяется. Напомним, что связь двух базисов,старого (исходного) и нового, отражается матрицей перехода.ÌÃÒÓÌÃÒÓ3.5. Преобразование матрицылинейного оператораÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ40↑U −1Теорема 3.6. Если матрицы A и B подобны, то det A = det B.Следствие 3.2. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.J Действительно, возьмем матрицы Ab и Ae линейного оператора A в двух различных базисахb и e.

Согласно теореме 3.5 и определению 3.4 эти матрицы подобны. Поэтому det Ab = det Aeпо теореме 3.6. IÔÍ-12J Если матрицы A и B подобны, то, согласно определению 3.4, существует такая невырожденная матрица P , что B = P −1 AP . Так как определитель произведения квадратных матрицравен произведению определителей этих матриц, а det(P −1 ) = (det P )−1 , то получаемIdet B = det P −1 AP = det P −1 det A det P = det A.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓФормула (3.3) означает, что матрицы, представляющие один и тот же линейный операторв разных базисах, являются подобными.

Верно также и обратное: если две матрицы A и Bподобны, т.е. B = P −1 AP , то их можно рассматривать как матрицы одного оператора, но вразных базисах. Действительно, в произвольном n-мерном линейном пространстве зафиксируем произвольный базис b и выберем линейный оператор, который в этом базисе имеет матрицуA. Тогда в базисе e = bP этот же оператор будет иметь матрицу P −1 AP = B.ÌÃÒÓÔÍ-12Определение 3.4.

Квадратные матрицы A и B порядка n называют подобными, еслисуществует такая невырожденная матрица P , что P −1 AP = B.ÔÍ-12ÔÍ-12Abxb −→ybÌÃÒÓПусть в линейном пространстве L действуют два линейных оператора A и B. Рассмотримотображение BA: L → L, которое является композицией двух отображений и задается формулой (BA)x = B(Ax). Это отображение является линейным, так как для любых векторов x иy и любых действительных λ и µ(BA) (λx + µy) = B A(λx + µy) = B(λAx + µAy) == λB(Ax) + µB(Ay) = λ(BA)x + µ(BA)y.Введенный нами линейный оператор BA называют произведением линейных операторов B и A.J Действие линейного оператора на вектор в данном базисе представляется как умножениематрицы этого оператора на столбец координат вектора.

Поэтому для произведения двух операторов A и B получаем(BA)x = B(Ax) = B(bAx) = b(B(Ax)) = b(BA)x.IТеорема 3.8. Если линейный оператор A имеет обратное отображение A−1 , то это отображение линейно, причем если матрицей A в данном базисе b является A, то матрицей линейногооператора A−1 в том же базисе является A−1 .A(λx1 + µx2 ) = λAx1 + µAx2 = λy 1 + µy 2 .ПоэтомуA−1 (λy 1 + µy 2 ) = λx1 + µx2 = λA−1 y 1 + µA−1 y 2 .Следовательно, отображение A−1 линейно.ÔÍ-12J Любым векторам y 1 и y 2 линейного пространства L соответствуют такие однозначно определенные векторы x1 и x2 , что y i = Axi , i = 1, 2. При этом для любых действительных λ и µвектору λy 1 + µy 2 соответствует вектор λx1 + µx2 , так какÌÃÒÓЕсли линейный оператор A: L → L представляет собой биективное отображение, то существует обратное отображение A−1 : L → L.ÔÍ-12Теорема 3.7.

Пусть в линейном пространстве L действуют линейные операторы A и B, аA и B — матрицы этих линейных операторов в некотором базисе b. Тогда матрицей линейногооператора BA в том же базисе b является матрица BA.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-123.6. Произведение линейных операторовÌÃÒÓÌÃÒÓ(см. пример 3.10). Определитель этой матрицы равен нулю. Значит, и в любом другом базисеопределитель матрицы этого линейного оператора равен нулю.ÌÃÒÓÔÍ-12Пример 3.11. Линейный оператор A: V3 → V3 , определяемый формулой Ax = x×i, вбазисе i, j, k имеет матрицу00 00 1 .A=00 −1 0ÔÍ-12ÌÃÒÓОпределение 3.5.

Определителем линейного оператора называют определительего матрицы в каком-либо базисе.ÌÃÒÓÔÍ-12Следствие говорит о том, что, хотя матрица линейного оператора и изменяется при заменебазиса, определитель ее при этом остается неизменным. Значит, этот определитель характеризует не матрицу оператора в конкретном базисе, а сам оператор. Это позволяет ввестиследующее понятие.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ41ÌÃÒÓÌÃÒÓ3.7.

Линейные пространствалинейных операторовОбозначим через L(L, L0 ) множество всех линейных операторов, действующих из линейногопространства L в линейное пространство L0 . В этом множестве введем операции сложениялинейных операторов и умножения линейного оператора на действительное число.

Суммой линейных операторов A, B ∈ L(L, L0 ) назовем оператор A + B ∈ L(L, L0 ),определяемый формулой(A + B)x = Ax + Bx, x ∈ L,(λA)x = λ(Ax).ПосколькуÔÍ-12а произведением линейного оператора A ∈ L(L, L0 ) на действительное число λназовем оператор λA ∈ L(L, L0 ), действующий согласно формулеÌÃÒÓÔÍ-12Отметим, что произведение операторов A−1 и A, как композиция прямого и обратного отображений, является тождественным оператором. Согласно теореме 3.7, произведение матрицA0 и A этих операторов равно единичной матрице E: A0 A = E. Это значит, что матрица A0оператора A−1 является обратной к матрице A оператора A: A0 = A−1 . IÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3.

ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ42= (αAx + βAy) + (αBx + βBy) = α(Ax + Bx) + β(Ay + By) == α(A + B)x + β(A + B)yиÌÃÒÓÌÃÒÓ(A + B)(αx + βy) = A(αx + βy) + B(αx + βy) =отображения A + B и λA действительно являются линейными операторами.

Таким образом,относительно введенных нами операций множество L(L, L0 ) замкнуто. Проверив аксиомылинейного пространства, можно убедиться, что L(L, L0 ) относительно этих операций являетсялинейным пространством.Для каждого линейного оператора A: L → L0 определен линейный оператор (−A), задаваемый равенством (−A)x = −(Ax).

Нетрудно проверить, что (−A) действительно линейныйоператор:(−A)(λx + µy) = −(A(λx + µy)) = −(λAx + µAy) == λ(−(Ax)) + µ(−(Ay)) = λ((−A)x) + µ((−A)y).ÔÍ-12В сумме с A линейный оператор (−A) дает нулевой оператор. Поэтому в соответствии стерминологией линейных пространств (−A) называют оператором, противоположнымк A.Линейное пространство L(L, L) линейных операторов из линейного пространства L в себяназывают линейным пространством линейных операторов (преобразований) пространства L.Каждому линейному оператору A ∈ L(L, L), действующему в n-мерном линейном пространстве L, в заданном базисе b соответствует квадратная матрица A порядка n (матрица этогоÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ= α(λAx) + β(λAy) = α((λA)x) + β((λA)y),ÌÃÒÓÔÍ-12= (λα)Ax + (λβ)Ay = (αλ)Ax + (βλ)Ay =ÔÍ-12ÔÍ-12(λA)(αx + βy) = λ A(αx + βy) = λ A(αx) + A(βy) =ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓгде A и B — матрицы операторов A и B в базисе b.

Итак, действие линейного оператора A+Bв базисе b записывается как умножение столбца координат вектора слева на матрицу A + B.Значит, A + B и является матрицей линейного оператора A + B.Итак, сложению линейных операторов при отображении Φ соответствует сложение их матриц. Аналогично умножению линейного оператора на действительное число λ соответствуетумножение его матрицы на это число:(λA)x = λ(Ax) = λ(bAx) = b (λA)x .ÔÍ-12Следствие 3.3. Если матрицы A, B ∈ Mn (R) являются матрицами линейных операторовA, B ∈ L(L, L) в некотором базисе b линейного пространства L, то для любых чисел λ иµ матрица λA + µB является матрицей линейного оператора λA + µB ∈ L(L, L) в том жебазисе b.J Эта формулировка лишь перефразирует утверждение, что отображение Φ: L(L, L) → Мn (R)является линейным, что доказано в теореме 3.9.

IÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Условия а) и б) определения 3.1 выполнены, поэтому отображение Φ линейно. IÌÃÒÓÌÃÒÓJ Как мы уже отметили, отображение Φ биективно, и нам остается показать, что оно линейно.Пусть A и B — два произвольных линейных оператора из линейного пространства L(L, L).Тогда для любого вектора x ∈ L со столбцом координат x(A + B)x = Ax + Bx = bAx + bBx = b (A + B)x ,Теорема 3.9.

Пусть в n-мерном линейном пространстве L задан некоторый базис b. Тогдаотображение Φ: L(L, L) → Мn (R), сопоставляющее каждому линейному оператору его матрицув базисе b, является изоморфизмом линейных пространств L(L, L) и Мn (R).ÔÍ-12линейного оператора). Тем самым определено отображение Φ: L(L, L) → Мn (R) из линейногопространства L(L, L) в линейное пространство Мn (R) квадратных матриц порядка n с действительными коэффициентами, при этом Φ(A) = A. Согласно теореме 3.4 отображение Φявляется биективным.ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ43ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕи их матрицы. . .