03 Процесс ортогонализации. Линейные операторы и их матрицы (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 2

Линейность отображения вытекает из простых геометрическихсоображений. Во-первых, сумма свободных векторов может вычисляться по правилу параллелограмма, но тогда очевидно, что сумма двух векторов как диагональ параллелограмма приповороте векторов на угол ϕ также повернется на этот же угол. Во-вторых, умножение свободного вектора на число означает изменение его длины и, возможно, изменение его направленияна противоположное. Ясно, что можно сначала умножить вектор на число, а потом повернутьна угол ϕ, а можно выполнить эти две операции в обратном порядке, т.е.

повернуть вектор, азатем умножить его на число. Результат в обоих случаях будет один и тот же.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12d: Kn [x] → Kn−1 [x]dxÌÃÒÓÌÃÒÓd: Kn [x] → Kn [x],dxÌÃÒÓÔÍ-12Пример 3.2. Пусть Kn [x] — линейное пространство многочленов одного переменного xстепени, не превышающей натуральное число n. Для каждого многочлена P (x) определенаего производная P 0 (x), являющаяся многочленом степени не выше n − 1. Таким образом, наdлинейном пространстве Kn [x] определено отображение dx, которое каждому многочлену ставитв соответствие его производную.

В качестве пространства значений такого отображения можновыбрать как исходное пространство Kn [x], так и пространство Kn−1 [x]. Оба отображенияÔÍ-12ÌÃÒÓРассмотрим несколько примеров линейных операторов. Отметим, что для того, чтобы доказать линейность какого-либо отображения линейных пространств, нужно проверить условия а),б) определения 3.1 или комбинированное условие (3.2). Нарушение любого из этих условий означает, что отображение не является линейным. Линейный оператор переводит нулевой векторснова в нулевой, и это свойство может рассматриваться как необходимое условие линейности(но не достаточное).ÌÃÒÓÔÍ-12Непосредственно из определения 3.1 вытекает, что для любого линейного оператора A: L →→ L0 образом A0 нулевого вектора в L является нулевой вектор 00 в L0 : A0 = 00 .

Действительно,A0 = A(0 · 0) = 0(A0) = 00 .ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ36ÌÃÒÓ3.3. Изоморфизм линейных пространствОпределение 3.2. Два линейных пространства L и L0 называют изоморфными, еслисуществует линейное биективное отображение A: L → L0 . При этом само отображение Aназывают изоморфизмом линейных пространств L и L0 .ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3.

ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ37Ax = A(x1 b1 + . . . + xn bn ) = x1 (Ab1 ) + . . . + xn (Abn ),т.е., зная векторы Abi , мы можем найти образ любого вектора x линейного пространства L.Рассмотрим действие линейного оператора A на векторы базиса b. Обозначим столбцыткоординат векторов Abi в базисе b через ai , ai = (a1i .

. . ain ) , i = 1, n. ТогдаAbi = bai ,i = 1, n.Матрица линейного оператора A: L → L является квадратной, ее порядок совпадает с размерностью линейного пространства L.Рассмотрим несколько примеров линейных операторов и их матриц.Пример 3.9. Матрица тождественного оператора I также не зависит от выбора базиса ив любом базисе является единичной.

Действительно, взяв произвольный базис b = (b1 . . . bn ),ÔÍ-12Пример 3.8. Матрицей нулевого оператора Θ: L → L независимо от выбора базисаявляется нулевая матрица соответствующего типа. Действительно, образом любого векторав случае нулевого оператора является нулевой вектор. Поэтому матрица нулевого оператора влюбом базисе должна состоять из нулевых столбцов.ÌÃÒÓОпределение 3.3. Матрицу A = (a1 . . . an ), составленную из координатных столбцов векторов Ab1 , .

. . , Abn в базисе b = (b1 . . . bn ) называют матрицей линейного оператораA в базисе b.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Пример 3.4 более глубок, чем это может показаться с первого взгляда. Фактически любойлинейный оператор можно интерпретировать как линейный оператор, описанный в этом примере, т.е. действие линейного оператора сводится к умножению столбца координат вектора наматрицу. Поясним это подробнее.Пусть задан линейный оператор A: L → L, т.е. линейное преобразование n-мерного линейного пространства L в себя. Выберем базис b = (b1 . .

. bn ) в L. Действие линейногооператора полностью определено, если известны образы векторов базиса. Действительно, еслитвектор x имеет координаты x = (x1 . . . xn ) , тоÌÃÒÓÌÃÒÓ3.4. Матрица линейного оператораÔÍ-12ÔÍ-12Пример 3.7. В линейном пространстве K3 [x] многочленов переменного x степени не вышетрех элементы 1, x, x2 , x3 образуют базис. Этому базису соответствует изоморфизм междуK3 [x] и R4 , при котором многочлену a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 сопоставляется арифметическийвектор (a0 , a1 , a2 , a3 ).ÌÃÒÓÌÃÒÓСледствие 3.1.

Все n-мерные линейные пространства изоморфны линейному арифметическому пространству Rn .ÔÍ-12ÔÍ-12Теорема 3.2. Два конечномерных линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.ÌÃÒÓÌÃÒÓПримером изоморфизма линейного пространства в себя является тождественный оператор.ÌÃÒÓJ Выберем произвольный вектор x = x1 b1 + . . . + xn bn . Его образом будет векторy = Ax = A(x1 b1 + . .

. + xn bn ) = x1 (Ab1 ) + . . . + xn (Abn ) == x1 (a11 b1 + . . . + an1 bn ) + . . . + xn (a1n b1 + . . . + ann bn ) == (a11 x1 + . . . + a1n xn )b1 + . . . + (an1 x1 + . . . + ann xn )bn .Столбец координат вектора Ax в базисе b имеет вид  a11 x1 + . . . + a1n xnx1a11 . . . a1n ... . . . . . .   ...  = Ax.=.an1 . . . annan1 x1 + . . . + ann xnxnIЗапись y = Ax из формулировки теоремы 3.3 удобно называть матричной формой записидействия линейного оператора A в базисе b.получаемAb = (Ab1 .

. . Abn ) = (ba1 . . . ban ) = b(a1 . . . an ) = bA,Ax = A(bx) = (Ab)x = (bA)x = b(Ax).Это означает, что столбец Ax является столбцом координат вектора Ax.ÔÍ-12Пример 3.10. Рассмотрим отображение A: V3 → V3 , которое каждый вектор x преобразуетв его векторное произведение Ax = x×i на орт i оси Ox. В силу свойств векторного произведения это отображение — линейный оператор. Найдем матрицу A этого линейного операторав (правом) ортонормированном базисе i, j, k.

Для этого надо найти образы базисных векторови разложить их по тому же базису. Поскольку Ai = i × i = 0, то первый столбец в матрице Aнулевой. Далее получаем второй столбец матрицы A:0Aj = j×i = −k = 0i + 0j − 1 · k = (i j k) 0 .−1ÌÃÒÓтак как bai — матричная запись разложения вектора Abi по базису b, i = 1, n. Здесь мыиспользовали технику операций с блочными матрицами.Взяв произвольный вектор x = bx, получаемÔÍ-12Замечание 3.1.

Выкладки, приведенные в доказательстве теоремы, можно упростить, еслииспользовать матричные обозначения и правила выполнения матричных операций. Полагая,что строка образов базисных векторов (Ab1 . . . Abn ) получается «умножением» строки векторов b слева на оператор A:(Ab1 . . . Abn ) = Ab,ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Теорема 3.3. Пусть A: L → L — линейный оператор.

Тогда столбец y координат вектораy = Ax в данном базисе b линейного пространства L равен произведению Ax матрицы Aоператора A в базисе b на столбец x координат вектора x в том же базисе: y = Ax.ÌÃÒÓÌÃÒÓгде единица в последнем столбце стоит на i-м месте. Видно, что столбец координат вектораIbi является i-м столбцом единичной матрицы.ÌÃÒÓÔÍ-12 0 .. . 0 Ibi = bi = b  1  , 0. .. 0ÔÍ-12ÌÃÒÓзаключаем, что при i = 1, nÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ38ÌÃÒÓÌÃÒÓИтак, матрица A имеет вид00 00 1 .A=00 −1 0Действие линейного оператора A на вектор x можно теперь записать как умножение столбцаткоординат (x y z) вектора x слева на матрицу оператора:  x00 0x00 1   y  = (i j k) z  = zj − yk.

#Ax = (i j k)A y  = (i j k)  0z0 −1 0z−yМатрица линейного оператора полностью характеризует линейный оператор. В то же время, какую бы квадратную матрицу порядка n мы ни взяли, она будет матрицей некотороголинейного оператора в заданном базисе n-мерного линейного пространства (см. пример 3.4).Таким образом, между линейными операторами, действующими в данном n-мерном линейномпространстве L и квадратными матрицами порядка n существует соответствие, которое является взаимно однозначным, что и утверждает следующая теорема.J Если матрицы A и B операторов A и B в базисе b совпадают, то, согласно теореме 3.3, длялюбого вектора x со столбцом координат xÌÃÒÓТеорема 3.4. Пусть b — произвольный базис в n-мерном линейном пространстве L.Различным линейным операторам A и B, действующим в пространстве L, соответствуют иразличные матрицы в базисе b.

Любая квадратная матрица A порядка n является матрицейнекоторого линейного оператора, действующего в линейном пространстве L.ÔÍ-12ÔÍ-12 0Ak = k×i = j = (i j k)  1  .0ÌÃÒÓÌÃÒÓЗатем третий столбец:ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ39т.е. образы произвольного вектора при двух отображениях совпадают. Следовательно, совпадают и сами отображения.Пусть A = (aij ) — произвольная квадратная матрица порядка n. Определим отображениеA: L → L согласно формуле A(x) = bAx, где x — столбец координат вектора x. Несложнопроверить, что заданное таким образом отображение является линейным оператором.