Лекции по ТФКП Гуриной Т.А. (Лекции по ТФКП Гуриной Т.А)

Теория функции комплексногопеременного. Курс лекций.Гурина Т.А.Глава 1Введение в комплексный анализ1.1Множество комплексных чиселN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.N – множество натуральных чисел;Z – множество целых чисел;Q – множество рациональных чисел;R – множество действительных чисел;C – множество комплексных чисел.Пример. Решимуравнение x2 − 2x + 5 = 0√x12 = 1 ± −4;√−1 = i ∈/ R;x1 = 1 − 2i,x2 = 1 + 2i;Определение 1 (Комплексное число). Говорят, что пара (комплекс)z = (x, y), x, y ∈ R является комплексным числом и пишут: x = Re z; y =Im z, если выполняются следующие условия:1.

z1 = z2 , (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 ;2. z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 );3. z1 ·z2 = (x1 , y1 )·(x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 );Замечание. z = (x, 0) = x – чисто действительное число; (0, y) – чистомнимое число;(0, 1) = i – мнимая единица.

i2 = (0, 1)·(0, 1) = (0·0 − 1·1, 0·1 + 1·0) =(−1, 0) = −1.21.1. Множество комплексных чисел3Теорема 1 (Свойства операций над комплексными числами).Пусть z = (x, y), z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ), z3 = (x3 , y3 ) ∈ C. Тогдасправедливы следующие свойства:I Свойства сложения:1. z1 + z2 = z2 + z1 – свойство коммутативности;2. z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 – свойство ассоциативности;3.

∃! e : z + e = z. e = (0, 0) - существование и единственностьнейтрального элемента по сложению4. ∃! z −1 : z+z −1 = e - существование и единственность обратногоэлемента по сложениюII Свойства умножения:1. z1 ·z2 = z2 ·z1 – свойство коммутативности;2. z1 ·(z2 ·z3 ) = (z1 ·z2 )·z3 – свойство ассоциативности;3. ∃! e : z·e = z. e = (1, 0) - существование и единственностьнейтрального элемента по умноженио;4. ∃! z −1 : z·z −1 = e.x−y−1,z =x2 + y 2 x2 + y 2- существование и единственность обратного элемента поумноженио;III Свойство дистрибутивности:(z1 + z2 )·z3 = z1 z3 + z2 z3Доказательство.

I.1 (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) = (x2 + x1 , y2 +y1 ) = z2 + z1 . Коммутативность сложения комплексных чисел следует изкоммутативности сложения действительных чисел.I.3 (x, y) + (0, 0) = (x, y), т.е. e = (0, 0) = 0 - нейтральный элемент посложению.Докажем единственность нейтрального элемента.

Пусть ∃ẽ 6= e : z + ẽ =z ⇒ e + z + ẽ = z + ẽ = z + e = z ⇒ e = ẽ.Замечание. Множество, обладающее свойствами I и II, называется алгебраическимполем. Множества R и Q являются алгебраическими полями; множестваN и Z алгебраическими полями не являются.4Глава 1. Введение в комплексный анализЗамечание. 1. Наличие обратных элементов по сложению и умножениоозначает наличие операций вычитания и деления.2.

На множестве C отсутствует отношение порядка, т.е. запись видаz1 > z2 не имеет смыла.Определение 2 (Алгебраическая форма записи комплексногочисла). z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)·(y, 0). Равенство видаz = x + iyназывается алгебраической формой записи комплексного числа z.Замечание. В алгебраической форме свойства Определения 1 весьмаочевидны :z1 + z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 );z1 z2 = (x1 + iy1 )·(x2 + iy2 ) = x1 x2 + iy1 x2 + ix1 y2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) ++ i(x1 y2 + y1 x2 );Определение 3 (Модуль и аргумент комплексного числа). Комплексноечисло можно графически представить в виде вектора, у которого перваякоордината равна действительной части комплексного числа, а вторая мнимой (см.

рисунок).pМодуль комплексного числа, |z| = r = x2 + y 2 , - длина вектора.Аргумент: ϕ = arg z, ϕ ∈ (−π, π]Im z 6z = (x, y)y-0xRe zsin ϕ = y/r; cos ϕ = x/r;Arg z = arg z + 2πn, n ∈ Z.Определение 4 (Тригонометрическая форма записи комплексногочисла). z = x + iy = r cos ϕ + i r sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ)z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z)1.1. Множество комплексных чисел5Определение 5 (Показательная форма записи комплексного числа).Согласно формуле Эйлера: eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ R;z = |z|(cos Arg z + i sin Arg z) = r eiϕz = r eiϕ ,z = |z|ei Arg ϕАлгебраической формой записи комплексных чисел удобно пользоватьсяпри их сложении и вычитании, а тригонометрической и показательной при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня.Теорема 2 (Свойства операций над комплексными числами втригонометрической форме).

Пусть z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 =r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ), z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Тогда справедливы следующиесоотношения:1. z1 z2 = (r1 r2 )(cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ))2.r1z1= (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 ))z2r23. z n = (rn )(cos(nϕ) + i sin(nϕ))4.√nz=√nr(cosϕ + 2πk+ i sin(ϕ1 − ϕ2 ))nДоказательство. Доказательство провести самостоятельно с использованиемэлементарных формул тригонометрии.Теорема 3 (Свойства операций над комплексными числами впоказательной форме). Пусть z = r eiϕ , z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 комплексные числа. Тогда справедливы следующие соотношения:1.

z1 z2 = (r1 r2 )ei(ϕ1 +ϕ2 )2.r1z1= ei(ϕ1 −ϕ2 )z2r23. z n = rn ei n ϕ4.√nz=√nzeiϕ+2πkn, k = 0, 1, ..., (n − 1)Доказательство. Утверждения теоремы 3 являются перефомулировкойсоответствующих утверждений теоремы 2 в показательной форме.6Глава 1. Введение в комплексный анализОпределение 6 (Комплексное сопряжение). Говорят, что число z̄является комплексно-сопрояженным числу z ∈ C, если Re z̄ = Re z, аIm z̄ = − Im z.z = x + iy, z̄ = x − iy;z = r(z = cos ϕ + i sin ϕ, z̄ = cos ϕ − i sin ϕ);z = r ei ϕ , z̄ = r ei ϕ .Теорема 4 (Свойства комплексного сопряжения).

Пусть z1 , z2 , z– комплексные числа.1. (z1 + z2 ) = z̄1 + z̄22. (z1 · z2 ) = z̄1 · z̄23. (z n ) = (z̄)n z̄1z14.=z2z̄25. z · z̄ = |z|26. (z̄) = zДоказательство. Доказывается непосредственно на основании свойствалгебраической, тригонометрической и показательной форм записи комплексногочисла.Теорема 5 (Свойства модулю комплексного числа). Пусть z1 , z2 , z– комплексные числа.1. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |;2.

|z1 − z2 | ≥ |z1 | − |z2 |;3. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |; z1 |z1 |;4. =z2|z2 |5. |z̄| = |z|;6. |z n | = |z|n .Теорема 6 (Свойства аргумента комплексного числа). Пусть z1 , z2 , z– комплексные числа.1.1. Множество комплексных чисел1. arg(z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 ; z12. arg= arg z1 − arg z2 ;z23. arg(z n ) = n · arg(z);4. arg√nz=arg z + 2πk, k = 0, . . . , (n − 1).n78Глава 1.

Введение в комплексный анализ1.2Топология множества CОпределение 1 (Комплексная плоскость). Геометрически удобнопредставлять комплексные числа в виде векторов.{(x, 0)} – вещественная ось;{(0, y)} – мнимая ось;{(x, 0)} ∩ {(0, y)} = (0, 0) = 0.Im z 6z = (x, y)y0-xRe z2C ↔ R , C ↔ V – пространство геометрических векторов.Сумме (разности) комплексных чисел z1 и z2 соответствует сумма (разность)соответствующих векторов. Произведению комплексных чисел соответствуетвектор, лежащий под углом ϕ1 +ϕ2 к вещественной оси, с длиной, равнойпроизведению модулей перемножаемых комплексных чисел. Частномусоответствует вектор, лежащий под углом ϕ1 − ϕ2 к вещественной оси, сдлиной, равной частному модулей.

Комплексному сопряжению соответствуетвектор, симметричный z относительно вещественной оси.1.2. Топология множества C9Определение 2 (Метрика pна множестве C). Пусть z1 , z2 ∈ C.Функция d(z1 , z2 ) := |z1 −z2 | = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 называется метрикой.Замечание. Метрика обладает следующими свойствами:1. d(z1 , z2 ) = 0 ⇔ z1 = z2 ;2. d(z1 , z2 ) = d(z2 , z1 );3. d(z1 , z2 ) ≤ d(z1 , z3 ) + d(z2 , z3 ) – неравенство треугольника.Определение 3 (Окрестность в C).

Пусть c ∈ C, ε ∈ R, ε > 0. εокрестностью точки c называется множествоUε (c) := {z ∈ C | d(z, c) < ε}.UM (∞) := {z ∈ C | d(z, 0) > M }.10Глава 1. Введение в комплексный анализЗамечание. Uε (c) и UM (∞) - открытые множества.Определение 4 (Предел комплексной последовательности). Пустьзадана последовательность {zn } ⊂ C.

c = lim zn :⇔ ∀Uε (c)∃ N :n→∞∀ n > N zn ∈ Uε (c)Замечание (Свойства пределов комплексных последовательностей).1. {zn0 } → c0 , {zn00 } → c00 ⇒{zn0 + zn00 } → c0 + c00 ,{zn0 · zn00 } → c0 · c00 , 0znc0 00→, c 6= 0.zn00c002. zn = xn + iyn , c = a + ib.{zn } → c ⇒ {xn } → a, {yn } → b.3. zn = rn eiϕn , c = |c|ei arg c ,{zn } → c ⇒ {rn } → |c|.4. {rn } → c, {ϕn } → arg c ⇒ {zn } → cОпределение 5 (Бесконечно удаленная точка).lim zn = ∞ :⇔ ∀UM (∞)∃N : ∀n > N zn ∈ UM (∞).n→∞Замечание. Бесконечно удаленная точка - это внешность сколь угоднобольшого круга на комплексной плоскости.

Или бесконечно удаленнаяточка - это объединение всех точек окружности бесконечно большогорадиуса.Определение 6 (Бесконечно удаленная точка).lim zn = ∞ :⇔ ∀UM (∞)∃N : ∀n > N zn ∈ UM (∞).n→∞Определение 7 (Расширенная комплексная плоскость). МножествоC = C ∪ {∞} называется расширенной комплексной плоскостью.Замечание. Склеивая точки окружности сколь угодно большого радиусаили добавляя точку бесконечность к множеству конечных комплексныхчисел, мы приходим к пониманию множества комплексных чисел каксферы.1.2. Топология множества C11Определение 8 (Стереографическая проекция.