Лекции по ТФКП Гуриной Т.А. (Лекции по ТФКП Гуриной Т.А), страница 3

f ∈ DC(c) ⇒ f ∈ DC2 (z), f ∈ C2 (z) ⇒ u(x, y), v(x, y) ∈∂v∂2u∂2v∂u=⇒=∂x∂y∂x2∂x∂y⇒C2 (z).2∂v∂ u∂2v∂u=−⇒ 2 =−∂y∂x∂y∂x∂y∂2Φ ∂2Φ+= 0. ⇒ u(x, y) - гармоническая в z.∂x2∂y 2Аналогично доказывается гармоничность функции v(x, y).1.4. Основные элементарные функции и их свойства1.41.4.121Основные элементарные функции и ихсвойстваЛинейная функцияw = az + b, где a, b = const ∈ C.1bЛинейная функция обратима: z = w − , a 6= 0; ∞ 7→ ∞; C ↔ C.aaУтверждение 1. Линейная функция является последовательностьюрастяжения, поворота и сдвига.Доказательство.

Растяжение: w1 = |a|z;поворот: w2 = w1 ei arg a , (a = |a|ei arg a );сдвиг: w = w3 = w2 + b.Утверждение 2. Линейное отображение обладает круговым свойством(окружность переходит в окружность, прямая - в прямую).Доказательство. z − z0 = Reit ,bw0b 11w−−z = w − , z0 =aaaa aокружности.z − z0 = teiϕ , t ∈ R+ ;11w − w0 = teiϕaaw − w0 = t|a|ei(ϕ+arg a) - прямая.t ∈ [0, 2π];1w0 = Reit , w − w0 = |a|Rei(t+arg a) - точкиaУтверждение 3. Линейное отображение является преобразованиемподобия.Доказательство.

Очевидно.1.4.2Обратная функция11w = ; 0 7→ ∞; ∞ 7→ 0, z = ; C → CzwУтверждение 1. Обратное отображение является последовательностьюинверсии и отражения.1Доказательство. w1 = ; w2 = w1 ;zw1 - симметричное отражение относительно единичной окружности.22|z| · |w1 | = |z|Глава 1. Введение в комплексный анализ1= 1; arg w1 = arg z|z|Утверждение 2 (Круговое свойство).

Окружности и прямые,проходящие через точку z = 0, переходтят в прямые, а точки, непроходящие через z = 0, переходят в окружности.Доказательство.A(x2 + y 2 ) + Bx + Cy + D = 0;z+zz+z, y=⇒x2 + y 2 = zz, x = 22iB CB CAzz ++−z+z + D = 0;22i22i11z = , z = , тогдаw w B C 1B C 11A+++−+ D = 0,ww 22i w 22i wB CB CDww +w+−+w + A = 0.22i22iУтверждение 3 (Сохранение симметричных точек). Пустьz1 и z2 - симметричные точки.|z1 | · |z2 | = R2 ,11·= R2|w1 | |w2 |1.4.

Основные элементарные функции и их свойства1.4.3w=Дробно-линейная функцияaz + b;cz + dad 6= cb;23z=b − dw;cw − ad− →7 ∞;ca∞ 7→ .cУтверждение 1. Дробно-линейная функция является последовательностьюлинейной, обратной и линейной функций.Доказательство.a(cz + d) + bc − adabc − adc(az + b)== +;w=c(cz + d)c(cz + d)c c(cz + d)1bc − adaw1 = cz + d, w2 =, w3 =w2 + .w1ccУтверждение 2. Для дробно-линейной функции характерны круговоесвойство и свойство сохранения симметрии точек (см. выше)Утверждение 3 (Отображение 3-х точек).∀z1 , z2 , z3 ∈ C и ∀w1 , w2 , w3 ∈ Caz + b, w(zj ) = wj , j = 1, 2, 3.∃! w = f (z) =cz + dДоказательство.f1 : z1 7→ 0, z2 7→ 1, z3 7→ ∞,z − z1 z2 − z3f1 (z) =·;z − z3 z2 − z1f2 : w1 7→ 0, w2 7→ 1, w3 7→ ∞,w − w1 w2 − w3f2 (w) =·.w − w3 w2 − w124Глава 1.

Введение в комплексный анализf (z) = f2−1 f1 (z) ⇔ f1 (z) = f2 (w)w − w1 w2 − w3z − z1 z2 − z3·=·;w − w3 w2 − w1z − z3 z2 − z1Единственность доказывается от противного.Замечание. Формула трех точек работает и в случае бесконечно удаленныхточек, при этом отношения, содержащие бесконечно удаленную точку вчислителе и знаменателе, заменяются единицей.Пример. Написать дробно-линейную функцию, отображающую единичныйкруг на верхнюю полуплоскость.Z = {|z| < 1},z1 = 0 7→ w1 = i;z2 = 1 7→ w2 = 0;z3 = ∞ 7→ w3 = −i;w−i 0+iz−0 1−∞;·=·w+i 0−iz−∞ 1−0w−i−= z;w+iW = {Im w > 0}.1.4.

Основные элементарные функции и их свойстваw−i= z;w+iw − i = −z(w + i),−iz + i.w=z+i−1.4.4w + wz = i − iz;Степенная функция и радикалw = z n , n ∈ Z+ .z=√nw.w = z 2 , z = sqrtwЗамечание (Поверхность Римана).Пример(ФункцияЖуковского).11z2 + 1;w=z+=2z2z2w−1z−1;=w+1z+111z = reiϕ , = e−iϕ ;r z11 −iϕ11iϕw=re + e= r(cos ϕ + i sin ϕ) + (cos ϕ − i sin ϕ);2r22r2526Глава 1. Введение в комплексный анализw = u + iv;1u =r+21v =r−21.4.51cos ϕ,r1sin ϕ;rЭкспонента и логарифмОпределение 1.z nn→∞nУтверждение 1. ez = ex (cos y + i sin y)ez := lim1+Доказательство.

Найдём |ez | −? n n 2 y 2 n/2 xx+iyxyz = 1 += 1+ 1+1++ i =+=n n nnnnn/22x x2 + y 2+,при n → ∞= 1+nn2это эквивалентно2xn/21+→ ex ,nпри n → ∞.Таким образом, |ez | = ex .Найдём arg(ez )−?!z nxyy ∼arg 1 −= n arg 1 ++i= n arctgnnnn + 1 + nxy∼ n = y,при n → ∞n1.4. Основные элементарные функции и их свойства27Таким образом, arg ez = y.

Следовательно, ez = ex (cos y + i sin y)Утверждение 2. ez1 +z2 = ez1 · ez2Доказательство.ez1 · ez2 = ex1 (cos y1 + i sin y1 ) · ex2 (cos y2 + i sin y2 ) == ex1 ex2 (cos (y1 + y2 ) + i sin (y1 + y2 )) = ez1 +z2Утверждение 3. ez – периодическая функция. Период T = 2πiДоказательство.ez+T = ez , eT = 1, T = T1 + iT2eT (cos T2 + i sin T2 ) = e0 (cos 2π + i sin 2π)T1 = 0, T2 = 2πk, T = i 2πk, T = i 2πkУтверждение 4. ei z = cos z + i sin z — Формула Эйлера.Доказательскво позже.Утверждение 5.z = x + i0z = x + i 2π⇒⇒w = ez = ex (cos 0 + i sin 0)= exzxw = e = e (cos 2π + i sin 2π) = exОпределение 2.

Натуральный комплексный логарифм,обратный z = ew , обозначается w = ln z.28Глава 1. Введение в комплексный анализУтверждение 1. Из того, что arg w 6= 0 следует что0 < Im z < 2πУтверждение 2. ln(z1 · z2 ) = ln z1 + ln z2Доказательство.z1 · z2 = eln(z1 ·z2 ) , z1 = eln z1 , z2 = eln z2 , eln z1 · eln z2 = eln z1 +ln z2 = z1 · z2Утверждение 3. ln z = ln |z| + i arg zДоказательство.z = |z|ei arg z ,ln z = ln |z| + ln ei arg z = ln |z| + i arg zЗамечание. Многозначный логарифмLn z = ln z + i Arg z = ln |z| + i arg z + i πk,1.4.6k = 0, ±1, ±2, ...Тригонометрические функции и обратные к нимei z = cos z + i sin z,ei z + e−i z,cos z :=2e−i z = cos z − i sin z,ei z − e−i zsin z :=.2iУтверждение 1.

cos z является композицией линейной функции,экспоненты, функции Жуковского.Доказательство. w1 = i z, w2 = ew1 , w3 = 12 w2 + w121.4. Основные элементарные функции и их свойства29Утверждение 2.tg z :=sin z; T =πcos zОпределение 1. Арккосинус z – функция обратная к z = cos w обозначаетсяw = arccos zУтверждение 1. arccos z = −i ln z +√z2 − 1 .Доказательство.iw−i wz = e +e22iwiw × 2 ei we− 2 z e√ + 1 = 0iwe = z + z 2 − 1,√ln z + z 2 − 1√= i w, w = −i ln z + z 2 − 1 .Замечание.

Многозначный арккосинус√2Arccos z := −i Ln z + z − 1Упражнение. Дать утверждения для arcsin z, arctg z.301.4.7Глава 1. Введение в комплексный анализГиперболические функции и обратные к нимez + e−z ch z :=, 2T = 2πiez − e−z sh z :=,2ish zth z :=,T = πich zЗамечание. w = arcch z обратна к z = ch w√w−wz = e +e,w=lnz+z2 −1 , 2√e2w − 2zewarcch z = ln z + √z 2 − 1 ,√+ 1 = 0,wArcch z = Ln z + z 2 − 1 .e = z + z 2 − 1,Упражнение. Вывести arcsh z, arcth z.Упражнение.

Рассмотреть отображение комплексной плоскости функциейch z.1.5Комплексное интегрированиеОпределение 1 (Интеграл комплексной функции действительногопеременного).g : [t1 , t2 ] 7→ Γ ⊂ C,g(t) := g1 (t)+i g2 (t),g(t) ∈ C (Γ ) ,Zt2Zg(t) dt :=Zt2g1 (t) dt + it1Γg1,2 : [t1 , t2 ] 7→ Rg2 (t) dtt1Определение 2 (Интеграл комплексной функции комплексногопеременного).f : Γ → C, Γ ⊂ C,γ(t) : [t1 , t2 ]0 7→ Γ,γ(t) ∈ C 1 [t1 , t2 ]ZZf (z) dz := f γ(t) γ 0 (t) dtΓΓОпределение 2’ (Интеграл комплексной функции комплексногопеременного).Zf (z) dz := limµ→0Γ∆zj = zj+1 − zj ,k−1Xf (ξj ) ∆zj ,j=0µ = max |∆zj |1.5.

Комплексное интегрирование31Замечание. Определнние 2 и Определение 2’ эквивалентны. Этоможно доказать, перейдя к интегральной сумме в определенном интегралепо t.Теорема 1 (Независимость интеграла от задания кривой).C1γ1 : [t1 , t2 ] 7−→ ΓC1γ2 : [s1 , s2 ] 7−→ Γγ1 (t) = γ2 (s) = zСледовательно,ZZ 0f γ1 (t) γ1 (t) dt = f γ2 (s) γ20 (s) dsΓΓC1Доказательство. Рассмотрим отображение h : [t1 , t2 ] 7−→ [s1 , s2 ]s = h(t), t = h−1 (s), h(t1 ) = s1 , h(t2 ) = s2 ,01Тогда γ2 (s) = γ2 (t) = γ1 h−1 (s) , γ20 (s) = γ10 h−1 (s) · h−1 (s) = γ10 (t) 0 ,h (t)ds = d h(t) = h0 (t) dtZs2f γ2 (s) γ20 (s) ds =s1Zt21f γ1 (t) γ10 (t) 0 h0 (t) dth (t)t1Теорема 2 (Свойство линейности).ZZZ∀λ1 , λ2 ∈ Cλ1 f1 (z) + λ2 f2 (z) dz = λ1 f1 (z) dz + λ2 f2 (z) dzΓΓΓДоказывается исходя из Определения 2 и свойства линейного определённогоинтеграла.Теорема 3 (Аддитивность).fZ : Γ −→ C, ZZf (z) dz = f (z) dz + f (z) dz,ΓΓ1Γ2z0 – начальная точка Γ, Γ1 ,zm – начальная точка Γ232Глава 1. Введение в комплексный анализДоказательство.k−1Xj=0f (ξj )∆zj =m−1Xf (ξj )∆zj +j=0f (ξj )∆zj ,µ = max |∆zj | → 0j=mZZZf (z) dzf (z) dz +f (z) dz =Γk−1XΓ1Γ21.5.

Комплексное интегрирование33Теорема 4 (Зависимость комплексного интеграла от ориентациикривой).ZZf (z) dz = −Γ−f (z) dzΓ+Доказательство.0Xf (ξj )∆∼zj=−k−1Xf (ξj )∆zj∼∆ zj = zj − zj+1 = −∆zj ,При µ → 0j=0j=k−1Теорема 5 (Вещественное представление комплексного чесла).f (z) = U (x, y) + i V (x, y),ZZZf (z) dz = U (x, y) dx − V (x, y) dy + i V (x, y) dx + U (x, y) dyΓΓΓДоказательство.∆zj = ∆xj + i ∆yj ,k−1Xj=0f (ξj )∆zj =k−1Xξj = xj + i yj ,µ → 0, ∆xj → 0, ∆yj → 0U (xj , yj ) + i V (xj , yj ) (∆xj + i ∆yj ) =j=0=k−1XU (xj , yj )∆xj + i V (xj , yj )∆yjj=0Теорема 6 (существования комплексного интеграла).(достаточное условие)Zf (z) = U (x, y) + i V (x, y), f ∈ C(Γ ) ⇒ ∃ f (z) dzΓ34Глава 1. Введение в комплексный анализДоказательство.f ∈ C(Γ ) ⇒ U (x, y), V (x, y) ∈ C(Γ ) ⇒ZZZZ⇒ ∃ U dx − V dy + i V dx + U dy = f (z) dz ⇒ ∃ f (z) dzΓΓΓΓТеорема 7 (Оценка комплексного интеграла).Z f (z) dz < sup |f (z)| · LΓ z∈ΓΓДоказательство.