1589804116-4b48182f4291e2e4e603e24c1f90ed4b (Методичка для RC-цепей), страница 2

или напряжения равныминулю, и частного решения неоднородного уравнения iчн (t),т. е. уравнения, содержащего заданные э.д.с. или заданныенапряжения:iон (t) = iоо (t) + iчн (t).При t → ∞ ток iоо (t) стремится к нулю, так как процессв цепи, обладающей конечным сопротивлением, должен затухать при отсутствии в цепи источников э.д.с. Поэтомуток i(t) = iон (t) стремится к iчн (t).

Следовательно, частноерешение iчн (t) является током установившегося режима,который устанавливается после происшедших изменений вцепи.Для исследования нестационарных явлений в электрических цепях при произвольном воздействии применяютпринцип наложения или принцип суперпозиции.Идея применения метода наложения заключается в следующем. Допустим, что функцию внешнего воздействияx(t) можно представить в виде совокупности каких-то простых, аналитически однотипных функций xn (t), т.

е.Xxn (t).x(t) =nЕсли отклик исследуемой цепи на воздействие xn (t) равенизвестной функции yn (t), то на основании принципа наложения можно утверждать, что искомый отклик y(t) привоздействии x(t) является суммой откликов yn (t), т. е.Xy(t) =yn (t).nСистему функций xn (t) необходимо выбирать так, чтобы совокупность их позволяла представить любую функцию внешнего воздействия, имеющую физический смысл.От удачного выбора системы xn (t) зависит также степеньсложности дальнейшего математического анализа электрических процессов.Часто в качестве элементарной функции выбираютфункцию единичного скачка, другое название которой —функция Хевисайда.

Эта функция определяется следующимобразом:(0, t < 0,σ(t) =(18)1, t > 0.Функция единичного скачка изображена на рис. 7.�(t)10tРис. 7. Функция единичного скачка, или функция ХевисайдаДругой вид элементарного воздействия — единичныйимпульс, — так в радиоэлектронике называют внешнее воздействие в виде δ-функции, или функции Дирака:(0, t 6= 0,δ(t) =(19)∞, t = 0.Z∞δ(t) dt = 1.(20)−∞Функция единичного скачка представляет собой интеграл от δ-функции, а, соответственно, δ-функция является производной от функции единичного скачка.

Эту связьможно выразить следующими математическими соотношениями:Ztdσ(t)σ(t) =δ(t) dt,δ(t) =.(21)dt−∞Вид реакции (или отклика) цепи на подачу на её входэлементарных воздействий в виде единичного скачка илиединичного импульса играет важную роль в теории электрических цепей. Поэтому такие реакции получили специальные названия и обозначения.Отклик цепи на подачу на её вход единичного скачка(напряжения или тока) носит название:переходная характеристика цепи — h(t).Отклик цепи на подачу на её вход единичного импульса (напряжения или тока) носит название:импульсная характеристика цепи — g(t).Зная для конкретной цепи её переходную характеристику h(t), или импульсную характеристику g(t), можно,на основании принципа суперпозиции, найти отклик цепина любое внешнее воздействие.Это следует из того, что любой сигнал, воздействующийна цепь, может быть представлен либо в виде суммы единичных скачков, либо в виде суммы единичных импульсов.Рассмотрение принципа суперпозиции (принципа наложения) выходит за рамки данного пособия.

Суть принципаможно описать следующим образом. Напряжение, воздействующее на цепь, представляется в виде суммы единичных скачков, или единичных импульсов, в результате чего плавно меняющееся напряжение заменяется на ступенчатую функцию. Реакция цепи определится как алгебраическая сумма реакций на отдельные скачки напряжения,включаемые друг за другом.

Для того, чтобы получить реакцию цепи на плавно меняющееся напряжение, а не наступенчатую кривую напряжения, необходимо промежуткивремени между отдельными скачками уменьшать до бесконечно малой величины, а число скачков увеличивать добесконечности. В результате, сумма в пределе перейдёт винтеграл, который получил название интеграла Дюамеля.Подробно об интеграле Дюамеля и принципе наложенияможно прочитать в учебниках — см. в конце пособия списоклитературы — [1–8].Переходные процессы в дифференцирующей цепиРассмотрим переходные процессы в дифференцирующей RC-цепи.Для этого ещё раз воспользуемся выражением (4), которое устанавливает связь между входным и выходныминапряжениями в RC-цепи.

Будем считать, что в качествевходного напряжения используется функция единичногоскачка, или функция Хевисайда (рис. 7).Поскольку при t > 0 значение uвх (t) = 1, т. е. являетduвх (t)= 0 и уравнеся величиной постоянной (const), тоdtние (4) примёт вид:uвых (t) + τduвых (t)= 0,dt(22)т. е. получаем однородное дифференциальное уравнение.Напомним, что τ = RC — постоянная времени цепи.Для уравнения (22) запишем его характеристическоеуравнениеτ λ + 1 = 0,1которое имеет единственный корень: λ = − .τПоэтому решение дифференциального уравнения (22) имеет вид:tuвых (t) = C1 e− τ .Константу C1 можно найти из условия, что в начальныймомент времени t = 0 выходное напряжение равно входному напряжению, т.

е. uвых (t) = uвх (t) = 1. Отсюда следует,что C1 = 1.В общем случае, когда на вход цепи скачком подаётся постоянное напряжение uвх = E, отличное отединицы, константа C1 = E.Окончательно имеем:tuвых (t) = e− τ .(23)Таким образом, переходная характеристикадифференцирующей RC-цепи (рис. 8,а):thдиф (t) = e− τ .Дифференцирование является линейной операцией, поэтому между импульсной и переходной характеристикамисуществует простая связь, аналогичная той, что существуетмежду функцией единичного скачка и δ-функцией (21):dh(t)g(t) =,dtZth(t) =g(t0 ) dt0 .(24)−∞На рис.

8 представлены переходная и импульсная характеристики дифференцирующей цепи.g(t)h(t)1�(t)0t1/ �0а)tб)Рис. 8. Временны́е характеристики дифференцирующейRC-цепи: а) — переходная характеристика,б) — импульсная характеристикаПереходные процессы в интегрирующей цепиРассмотрим переходные процессы в интегрирующейRC-цепи.Связь между входным и выходными напряжениями винтегрирующей RC-цепи описывается выражением (11).Как и в случае дифференцирующей цепи, в качестве входного напряжения будем рассматривать единичный скачокнапряжения (рис. 7).При t > 0 значение uвх (t) = 1, следовательно уравнение (11) примёт вид:τduвых (t)+ uвых (t) = 1.dt(25)Его характеристическое уравнениеτλ + 1 = 01имеет единственный корень: λ = − , поэтому решениеτсоответствующего однородного уравнения (с равной нулюправой частью):tuвых (t) = C2 e− τ ,(26)где C2 — константа.

Для того, чтобы найти общее решениенеоднородного уравнения (25), нужно найти его частное решение и прибавить его к найденному общему решению (26)однородного уравнения.Рассмотрим частное решение, которое описывает стационарный (установившийся) режим. В рассматриваемой интегрирующей цепи с течением времени ёмкость зарядитсядо стационарного значения э.д.с: u = 1 (поскольку на цепьвоздействует функция единичного скачка).Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (25) будет иметь вид:tuвых (t) = C2 e− τ + 1.(27)Константу C2 можно найти из начального условия. Так какнапряжение на ёмкости скачком измениться не может, тов начальный момент времени t = 0 выходное напряжениеравно нулю, т.

е. uвых (0) = 0. Отсюда находим, чтоC2 = −1.Теперь можем записать окончательное решение уравнения (25):t(28)uвых (t) = 1 − e− τ .Таким образом, переходная характеристикаинтегрирующей RC-цепи (рис. 9,а):thинт (t) = 1 − e− τ .На рис. 9 представлены переходная и импульсная характеристики интегрирующей цепи. Поскольку между функцией единичного скачка и δ-функцией существует простаясвязь — (21), а интегрирование, так же как и дифференцирование, является линейной операцией, то, следовательно,импульсная и переходная характеристики в данном случаесвязаны между собой теми же соотношениями (24).g(t)h(t)11/ �0а)t0б)tРис.

9. Временны́е характеристики интегрирующейRC-цепи: а) — переходная характеристика,б) — импульсная характеристикаВнешнее воздействие на RC-цепь в видепрямоугольного видео-импульсаПусть внешнее воздействие задано в виде импульса напряжения прямоугольной формы, и нужно найти напряжение на выходе RC-цепи.Прямоугольный импульс на входе цепи, очевидно, можно представить как разность двух одинаковых скачков напряжения (рис. 10), смещённых во времени на величину tи ,т.

е.u(t) = U · σ(t) − U · σ(t − tи ),(29)где U — напряжение скачка (или величина импульсного напряжения); tи — продолжительность импульса.Поскольку в данном примере прямоугольный импульсописывается комбинацией двух единичных скачков, расчётвыходных величин удаётся провести легко, даже без использования интеграла Дюамеля.u(t(U0ttиU �(t)tиt0U �(t tи)Рис. 10. Представление прямоугольного импульса напряжения в виде разности двух скачковВид выходного напряжения зависит от значения постоянной времени цепи τ и длительности импульса tи .

На рисунках ниже показан вид напряжения на выходе дифференцирующей (рис. 11,а) и интегрирующей (рис. 11,б) цепейдля разных соотношений между постоянной времени цепиτ и длительностью импульса tи .Анализируя вид выходного напряжения на рис. 11,а,можно сделать вывод, что дифференцирующая RC-цепьхорошо дифференцирует входной сигнал при соотношении:τ tи .Такой же анализ вида выходного напряжения нарис. 11,б приводит к выводу, что интегрирующая RC-цепьхорошо интегрирует входной сигнал при соотношении: τ tи .Эти выводы полностью согласуются с теоретическимирасчётами см. формулу (5) на с. 7 и формулу (12) на с.

10 .Uвых(t)U�~tи�<<tи0Uвых(t)UUe t �U(1 e t �(�~tи�<<tиtиtUet�0tиtUа)б)Рис. 11. Сигнал на выходе цепи при подаче на её вход прямоугольного импульса величиной U и длительностьюtи : а) — дифференцирующая цепь,б) — интегрирующая цепьЭкспериментальные исследованияЭкспериментальные исследования RC-цепей можнопроводить как на реальных лабораторных макетах, так ипри помощи виртуальных инструментов.