1589804116-4b48182f4291e2e4e603e24c1f90ed4b (Методичка для RC-цепей)

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВИнститут физических исследований и технологийН. Э. НиколаевФИЛЬТРЫВЫСОКИХ И НИЗКИХ ЧАСТОТНА ОСНОВЕДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИХ ИИНТЕГРИРУЮЩИХ RC-ЦЕПЕЙУчебно-методическое пособиеДля студентов направления«Физика»МоскваРоссийский университет дружбы народов2019УтвержденоРИС Ученого советаРоссийского университетадружбы народовНиколаев Н. Э.Фильтры высоких и низких частот на основедифференцирующих и интегрирующих RC-цепей:Учебно-методическое пособие. — М.: РУДН, 2019.

— 42 с.Для студентов направления «Физика»; может быть полезно студентам инженерных специальностей, связанным срадиотехникой и радиофизикой.Подготовлено в Институте физических исследований итехнологий РУДН.c Николаев Н. Э., 2019c Российский университет дружбы народов, Издательство,2019Фильтры высоких и низких частот наоснове дифференцирующих иинтегрирующих RC-цепейЦель работыВ работе исследуются стационарные и переходные характеристики линейных четырёхполюсников (RC-цепей).Теоретические сведения1.

Краткие сведения о четырёхполюсникахЧетырёхполюсник — это электрическая цепь, имеющаядва входных и два выходных вывода и, следовательно, имеющая четыре полюса (рис. 1). На практике часто требуетсяопределить связь между сигналами на входе и выходе четырёхполюсника, не описывая внутренние процессы, протекающие в нём. В этом случае в теории цепей четырёхполюсник принято называть «чёрным ящиком».Рис. 1. Электрическая цепь: ЧетырёхполюсникЭлектрические цепи состоят из активных и пассивныхэлементов. Активные элементы способны усиливать мощность колебаний, подводимых к ним.

Пассивные элементымогут лишь изменить форму электрических сигналов.К пассивным элементам относятся резисторы (сопротивления, измеряются в Омах [Ом]), катушки индуктивности(индуктивности, измеряются в Генри [Гн]), конденсаторы(ёмкости, измеряются в Фарадах [Ф]).Мгновенные значения напряжений u(t) и токов i(t) вэтих элементах связаны следующими соотношениями:Z1diidt,uR = iR, uL = L , uC =dtC(аргумент t в функциях напряжения u и тока i здесь опущен — для удобства восприятия).Свойства линейных цепей (линейных четырёхполюсников) можно определить с помощью такого параметра, какчастотный коэффициент передачи, который равен отношению амплитуды напряжения на выходе четырёхполюсникак амплитуде напряжения на входе:Uвых.K=UвхЗдесь используются понятия комплексных амплитудвходного Uвх и выходного Uвых гармонических напряжений.Комплексные амплитуды зависят от угловой частоты ω, поэтому их часто записывают через общепринятые обозначения:Uвх = U̇вх (ω), Uвых = U̇вых (ω).Частотный коэффициент передачи (чаще просто коэффициент передачи) линейной цепи (линейного четырёхполюсника) определяется следующим образом:Uвых= |K̇(ω)|ejϕ(ω) ,Uвх√здесь j — мнимая единица1 : j = −1.K̇(ω) =(1)1В радиотехнике мнимую единицу часто обозначают символом j —чтобы не путать с символом i, которым обозначают силу токаЗависимость от частоты модуля коэффициента передачи напряжения K(ω) = |K̇(ω)| называют амплитудночастотной характеристикой (АЧХ), а зависимость фазовогосдвига между напряжениями на выходе и входе от частотыϕ(ω) — фазочастотной характеристикой (ФЧХ) линейногочетырёхполюсника.

Как правило, АЧХ имеет один максимум (рис. 2,а), а ФЧХ изменяется монотонно при изменениичастоты (рис. 2,б).K1120�(�)���на)�в��в��20�2�нб)Рис. 2. Характеристики линейной цепи: а) — амплитудночастотная (АЧХ), б) — фазочастотная (ФЧХ)В области некоторой полосы частот отклик линейной цепи на входное воздействие начинает уменьшаться. В связи сэтим используют понятие полосы пропускания (рабочей полосы) — области частот, где модуль коэффициента передачиK(ω) имеет значение не менее √12 от своего максимального значения. Значение √12 = 0,707, по которому определя-ют границы полосы пропускания линейной цепи, введеноне случайно. Это связано с тем, что на границах полосыпропускания модуль коэффициента передачи по мощности, равный отношению выходной и входной мощностей,уменьшается в два раза.На рис.

2 полоса пропускания линейной цепи заключенав области от нижней ωн до верхней ωв круговой частоты,Разница верхней и нижней частот определяет ширину полосы пропускания: ∆ω = ωв − ωн . При практических расчётах часто пользуются не круговой, а циклической частотойf = ω/(2π). В этом случае ширина полосы пропусканияцепи∆f = fв − fн ,(2)где fн — нижняя, и fв — верхняя граничные циклические частоты.2. Дифференцирование и интегрирование сигналовВ различных радиоэлектронных устройствах и системахпередачи информации часто встречается необходимость впреобразовании сигналов, имеющем характер дифференцирования или интегрирования.

Поскольку дифференцирование и интегрирование — это линейные математические операции, такие преобразования возможны в линейных цепях.При определённых условиях для этого пригодны простейшие цепочки, содержащие обычные резисторы и конденсаторы.Дифференцирующие цепиРассмотрим одну из схем простейшего линейного четырёхполюсника — последовательную электрическую RCцепь (рис. 3).Рис. 3.

Дифференцирующая цепьПусть на входе цепи действует напряжение uвх (t), а выходное напряжение uвых (t) снимается с резистора R.Попытаемся выяснить, в каких условиях эта цепь будетдифференцировать входной сигнал.Воспользовавшись известным в физике вторым закономКирхгофа, запишем мгновенное значение напряжения длявсей линейной цепиZ1i(t) dt + uвых (t),(3)uвх =Cгде i(t) — мгновенное значение тока.Продифференцируем по времени обе части этого соотношения:1duвых (t)duвх (t)= i(t) +.dtCdtУмножив и поделив первое слагаемое в правой части наR и учитывая, что uвых (t) = i(t)R, получимduвых (t)duвх (t)=τ.(4)dtdtЗдесь величина τ = RC имеет размерность времени и называется постоянная времени RC-цепи.Если постоянная времени цепи τ настолько мала, чтоuвых (t) + τuвых (t) τduвых (t),dt(5)то в левой части выражения (4) можно пренебречь вторымслагаемым, после чего выражение (4) примет вид:duвх (t).(6)dtИз выражения (6) видно, что напряжение uвых (t) на выходе цепи является производной по времени от напряженияна входе uвх (t).

Таким образом, получили, что анализируемая RC-цепь (рис. 3) при соблюдении неравенства (5) может осуществлять линейную операцию дифференцированияподанного на неё сигнала.Чтобы определить частотную зависимость коэффициента передачи дифференцирующей цепи, запишем комплексную амплитуду тока:UвхI=1 .R + jωCuвых (t) ≈ τВыразим комплексную амплитуду выходного напряжения через ток: Uвых = IR, после чего найдём частотныйкоэффициент передачиIRR1jωτUвых==.

(7)K̇(ω) =1 =1 =UвхUвх1 + jωτR + jωC1 + jωτТеперь вычислим модуль частотного коэффициента передачи и определим амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) дифференцирующей цепи:1.(8)|K̇(ω)| = K(ω) = q11 + (ωτ )2Найдём фазу частотного коэффициента передачи и получим фазочастотную характеристику (ФЧХ) дифференцирующей цепи:1arg K̇(ω) = ϕ(ω) = arctg.(9)ωτНа рис.

4,а приведён график АЧХ дифференцирующейцепи.�(�)K1�12�240�н�а)0�н�б)Рис. 4. Характеристики дифференцирующей цепи:а) — амплитудно-частотная (АЧХ),б) — фазочастотная (ФЧХ)Из графика АЧХ (рис. 4,а) видно, что дифференцирующая цепь пропускает высокие частоты, задерживая низкие,т. е. является фильтром верхних частот (ФВЧ). Полосапропускания дифференцирующей цепи ограничена толькосо стороны низких частот. Приравняв правую часть (9) к√1 , вычислим нижнюю граничную частоту полосы пропус2кания:1ωн = .τПрименительно к фильтрам, граничные частоты полосыпропускания называют частотами среза фильтра.1Подставив значение нижней граничной частоты ωн =τв выражение (9), найдём сдвиг по фазе между выходным ивходным сигналами:ϕ(ωн ) = arctg1π= arctg 1 = = 45◦ .ωн τ4Интегрирующие цепиРассмотрим RC-цепь, в которой выходной сигнал снимается с конденсатора (рис. 5).Рис. 5.

Интегрирующая цепьОпределим условие, при котором цепь интегрирует сигнал. Используя аналогию с формулой (3), запишемuвх (t) = i(t)R + uвых (t).(10)При этом1uвых (t) =CZi(t) dt.Продифференцируем uвых (t) по времени:duвых (t)1= i(t),dtCи записав выражение для i(t), подставим его в формулу (10). Учтя, что τ = RC — постоянная времени цепи, получим:duвых (t)uвх (t) = τ+ uвых (t).(11)dtПусть постоянная времени цепи настолько велика, чтоτduвых (t) uвых (t).dt(12)Тогда в правой части выражения (11) останется только первое слагаемое, и выражение примет вид:duвых (t).dtИнтегрирование последнего выражения даёт:Z1uвых (t) =uвх (t) dt.τuвх (t) ≈ τ(13)(14)Таким образом, при большом значении постоянной времени τ выходное напряжение приближается к интегралуот входного, т.

е. RC-цепь с большой постоянной времени τинтегрирует входной сигнал.Для определения частотного коэффициента передачиинтегрирующей цепи запишем комплексную амплитуду тока через комплексное входное напряжениеI=Учитывая, что Uвых =жение, запишемIUвх1 .R + jωCIjωCи используя последнее выраUвхUвыхjωCjωC==K̇(ω) =UвхUвхUвх R +1jωC=1.1 + jωτ(15)Вычислив модуль данного частотного коэффициента передачи, находим АЧХ интегрирующей цепи1.|K̇(ω)| = K(ω) = p1 + (ωτ )2(16)Вычислим фазу частотного коэффициента передачи иопределим ФЧХ интегрирующей цепи:arg K̇(ω) = ϕ(ω) = − arctg ωτ.(17)�(�)K1120 �в��40�в��2а)б)Рис.

6. Характеристики интегрирующей цепи:а) — амплитудно-частотная (АЧХ),б) — фазочастотная (ФЧХ)График АЧХ интегрирующей цепи приведён на рис. 6,а.Из рис. 6,а следует, что интегрирующая цепь пропускает низкие частоты, задерживая высокие, т. е. являетсяфильтром нижних частот (ФНЧ). Верхнюю граничнуючастоту полосы пропускания интегрирующей цепи можноопределить, приравняв правую часть формулы (16) к √12 :ωв =1.τ1τв выражение (17), найдём сдвиг по фазе между выходными входным сигналами:Подставив значение верхней граничной частоты ωв =ϕ(ωв ) = − arctg ωв τ = − arctg 1 = −π= −45◦ .4Поскольку интегрирующие RC-цепи не пропускают высокие частоты, в радиоэлектронных устройствах такие цепи используют в качестве так называемых сглаживающихфильтров.3.

Переходные процессы в RC-цепяхЕсли цепь содержит только постоянные активные элементы (сопротивления), то изменение внешнего воздействия тут же вызывает соответствующие изменения напряжения и тока в ветвях цепи. Однако при наличии реактивных элементов картина будет принципиально иной. Переход цепи к новому стационарному состоянию в этом случае сопровождается появлением так называемых переходных или нестационарных процессов.Возникновение таких процессов связано с особенностями изменения энергии электромагнитного поля в реактивных элементах. В цепи с реактивными (энергоёмкими) элементами величины, определяющие запас энергии, при переходе в новому стационарному состоянию должны менятьсяво времени плавно, без скачков.

В результате выходной токи напряжение будут в большей или меньшей степени отличаться по форме от внешнего воздействия.Теоретически все переходные процессы имеют бесконечно большую продолжительность. Однако на практике значения напряжения и тока уже по истечении определённых конечных промежутков времени становятся близкимик установившимся значениям.Отыскание токов и напряжений в установившемся режиме сводится к нахождению частных решений дифференциальных уравнений цепи.Для отыскания токов i(t) и напряжений u(t) в переходном процессе необходимо найти общие решения дифференциальных уравнений цепи. Как известно, в случае линейного неоднородного уравнения его общее решение i(t) = iон (t)образуется как сумма общего решения однородного уравнения iоо (t), которое получается из уравнения цепи, еслиположить в нём заданные э.д.с.