FN_Alg04 (Лекции 2009), страница 3

Псевдообратная матрицаоднозначно определяется равенствамиттA AA+ = A ,тA+ = A P.(4.2)тт++A+ = a +a...a12m = A (p1 p2 . . . pm ) = A P.ттИтак, в матричном уравнении (4.1) первая часть A AX = A совпадает с первым условиемт(4.2), а вторая часть F A+ = 0, означающая, что столбцы матрицы A+ принадлежат ортогональному дополнению K ⊥ к подпространству K решений системы Ax = 0, равносильна второмутусловию (4.2), поскольку подпространство K ⊥ есть линейная оболочка столбцов матрицы A . IттттттA+ = V + U + = V (V V )−1 (U U )−1 U .(4.3)J Будем опираться на доказанный критерий.

Для матрицы U максимального столбцовоготттранга U U — невырожденная матрица. Поэтому из равенства U U U + = U находим U + =ÔÍ-12Теорема 4.5. Если U — матрица максимального столбцового ранга, то U + = (U U )−1 U .ттЕсли V — матрица максимального строчного ранга, то V + = V (V V )−1 . Наконец, для произвольной ненулевой матрицы A со скелетным разложением A = U V имеемÌÃÒÓИз доказанной теоремы легко понять, что псевдообратная матрица к нулевой матрице поттлучается транспонированием. Действительно, равенства 0 00+ = 0 тривиально (выполняетсятнезависимо от того, что является матрицей 0+ ), а равенство 0+ = 0 P автоматически дает вкачестве 0+ нулевую матрицу.

Остается согласовать типы матриц.ÔÍ-12J Псевдообратная матрица A+ является решением матричного уравнения (4.1), из котороготт+вытекает, что A AA+ = A . Кроме того, столбцы a+i матрицы A , как нормальные псевдорешения систем Ax = ei (ei — векторы стандартного базиса), являются линейными комбинациямиттстолбцов матрицы A (теорема 4.2).

Это можно записать в виде a+i = A pi , где столбец pi составлен из коэффициентов линйной комбинации. Объединяя эти представления, получимÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-120ÌÃÒÓÌÃÒÓ1125481161124 40 31 9 5 −4  = = 1648−1 341−48ÌÃÒÓÔÍ-1206.40ÔÍ-12ÌÃÒÓ1 10 03 75 −1 50 48 −1 30 00 0ÌÃÒÓÌÃÒÓ−2 0∼ 00A+ÔÍ-12 000−211375 −156  0∼4 −12 −16   00 −1920 −3848 −24 −320ÌÃÒÓ7ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-124. ПСЕВДОРЕШЕНИЯИ ПСЕВДООБРАТНАЯÌÃÒÓМАТРИЦАÌÃÒÓÌÃÒÓтт(U U )−1 U . Условие U + = U P в данном случае тривиально, так как ранг матрицы U совпадает с размерностью пространства всех столбцов, т.е. любой столбец разлагается в линейнуюткомбинацию столбцов матрицы U .тДля матрицы V максимального строчного ранга матрица V V невырождена.

Поэтому изттравенства V V V + = V после домножения на V слева и сокращения на невырожденную матттрицу V V , получим V V + = E. Подставляя представление V + = V P , получим уравнениетттттV V P = E, из которого P = (V V )−1 . Значит, V + = V P = V (V V )−1 .ттРассмотрим общий случай A = U V . Равенство A AA+ = A превращается в равенствот тт ттV U U V A+ = V U . Домножим на V слева и сократим на невырожденную матрицу V V :тттттU U V A+ = U . В левой части матрица U U невырожденная. Поэтому V A+ = (U U )−1 U =тт тт т= U + . Использовав представление A+ = A P = V U P , находим V V U P = U + .

Отсюдатттт тттU P = (V V )−1 U + и A+ = A P = V U P = V (V V )−1 U + = V + U + . IДоказанная теорема позволяет вычислять псевдообратную матрицу, находя ее скелетноеразложение. Отметим два важных тождества: V V + = E и U + U = E. Первое из них былоиспользовано в доказательстве.Пример 4.3.

Для матрицы A из предыдущего примера найдено скелетное разложение:13 1021A=3.0 1 −12 −2ÌÃÒÓДля матрицы U вычисляем1114 214−27−1тт −1U U=, (U U ) ==,214192 −2 1496 −1 711 15 47−113 2+U ==.31−296 −1 724 51−4ÔÍ-12ÔÍ-12тÌÃÒÓ8ÌÃÒÓÌÃÒÓтÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-124. ПСЕВДОРЕШЕНИЯИ ПСЕВДООБРАТНАЯÌÃÒÓМАТРИЦАVVт=5 −2−22,т(V V )−1 =162 22 5,V+10 22112 215 .= 0= 22 5662 −12 −1Выполняя последнее умножение, находимÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12J Равенство рангов можно установить разными способами. Например, из критерия 4.4 и заттмечания о ранге произведения заключаем, что во-первых, rang A = rang A = rang(A AA+ ) 6тт6 rang A+ , а во-вторых, rang A+ = rang(A P ) 6 rang A = rang A.

Равенство (A+ )+ = A вытекает из того, что A+ = V + U + — скелетное разложение матрицы A+ . А то, что это скелетноеÔÍ-12Теорема 4.6. Псевдообратная матрица обладает следующими свойствами:1. rang A+ = rang A.2. (A+ )+ = A.тт3. (A )+ = (A+ ) .т4. (A+ A) = A+ A; (A+ A)2 = A+ A.т5. (AA+ ) = AA+ ; (AA+ )2 = AA+ .ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ4 401 9 5 −4  .A+ = V + U + =48−1 34ÔÍ-12ÔÍ-12Аналогичны действия для матрицы V :ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12тразложение, вытекает из первого доказанного свойства, поскольку rang V + = rang V совпадаетс количеством столбцов матрицы V + , а rang U + = rang U — с количеством строк матрицы V + .Поскольку A+ = V + U + — скелетное разложение матрицы A+ , то (A+ )+ = (U + )+ (V + )+ .Остается доказать второе свойство для матриц максимального ранга. ИмеемттттU + (U + ) = (U U )−1 U U (U U )−1 = (U U )−1 .Поэтомутт −1(U + )+ = (U + ) U + (U + )тт= U (U U )−1 U U = U.Аналогичны выкладки для матрицы V .тДокажем третье свойство.

Если A = U V — скелетное разложение матрицы A, то A =т тт= V U — скелетное разложение матрицы A . ПоэтомуттÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ9ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-124. ПСЕВДОРЕШЕНИЯИ ПСЕВДООБРАТНАЯÌÃÒÓМАТРИЦАтттттттт(A )+ = (U )+ (V )+ = (U + ) (V + ) = (V + U + ) = (A+ ) .Проверить свойство для матриц максимального ранга можно, используя формулы вычисления.ттДокажем четвертое свойство.

Имеем U + U = (U U )−1 U U = E. Отсюда вытекает, чтоA+ A = V + U + U V = V + V . Значит, достаточно доказать свойство для матриц максимальногострочного ранга. Имеемттттт(V + V ) = V (V + ) = V (V V )−1 V = V + V,(V + V )2 = V + V V + V = V + (V V + )V = V + V.ÔÍ-12(4.4)ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12тA+ = QA .ÔÍ-12тA+ = A P,ÌÃÒÓAA+ A = A,ÌÃÒÓJ Нетрудно показать, что для псевдообратной матрицы выполняются равенства (4.4). Например, транспонируя первое равенство (4.2), с учетом симметричности матрицы AA+ (свойство5 в теореме 4.6) получаем первое равенство (4.4). Второе равенство (4.4) дублирует второеравенство (4.2), а третье равенство (4.4) есть второе равенство (4.2), записанное для матрицытA .Остается показать, что только псевдообратная матрица удовлетворяет условиям (4.4). Одиниз вариантов — доказать, что только одна матрица может удовлетворять равенствам (4.4). Мыпроведем доказательство, решив систему матричных уравнений (4.4) относительно неизвестттного A+ . Решение основывается на следующем соображении.

Из равенства A AX = A AYттттвытекает равенство AX = AY , а из равенства XA A = Y A A — равенство XA = Y A . Дейтттствительно, равенство A AX = A AY равносильно равенству A AZ = 0, где Z = X − Y . Раттвенство A AZ = 0 означает, что столбцы матрицы Z являются решениями системы A Az = 0,а потому — решениями системы Az = 0. Следовательно, AZ = 0. Транспонируя равенствоТеорема 4.7 (второй критерий псевдообратной матрицы). Псевдообратная матрицаA+ однозначно определяется равенствамиÔÍ-12Следующий критерий в ряде литературных источников лежит в основе определения псевдообратной матрицы. От первого критерия он отличается большей симметрией условий.ÌÃÒÓЗдесь использовано тождество V V + = E, выполняющееся для матриц максимального строчногоранга.Пятое свойство вытекает из четвертого, примененного к матрице A+ .

IÌÃÒÓÌÃÒÓПредположим, что третье свойство установлено для матриц максимального ранга. ТогдаÔÍ-12ÔÍ-12(A )+ = (U )+ (V )+ .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ттттт4.5. Проектирование на подпространствоÌÃÒÓТеорема 4.8. Любое псевдорешение x СЛАУ Ax = b, где A — матрица типа m × n, можнопредставить в видеx = A+ b + (E − A+ A)t,(4.5)ÔÍ-12С помощью псевдообратных матриц можно вычислять проекции векторов на подпространство. Отметим, что для системы Ax = b с произвольной правой частью b вектор x = A+ bявляется псевдорешением. Значит, согласно теореме 4.1 выполняется равенство AA+ b = прH b,т.е. вектор AA+ b представляет собой ортогональную проекцию вектора b на подпространствоH = span(a1 , a2 , .

. . , an ) — линейную оболочку столбцов матрицы A.Итак, если H — линейная оболочка системы векторов a1 , a2 , . . . , an , то чтобы вычислитьпроекцию прH b вектора b на подпространство H, достаточно из координат векторов ai составить матрицу A и вычислить AA+ b.Матрица A+ A также осуществляет проецию вектора на некоторое подпространство. Этоподпространство представляет собой линейную оболочку столбцов матрицы A+ .