FN_Alg04 (Лекции 2009), страница 2

В случае едитнственности псевдорешения понятия псевдорешение“ и нормальное псев””дорешение“ имеют один и тот же смысл.ÌÃÒÓÔÍ-124.2. ПсевдорешенияÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ3ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-124. ПСЕВДОРЕШЕНИЯИ ПСЕВДООБРАТНАЯÌÃÒÓМАТРИЦАÌÃÒÓÌÃÒÓJ Каждый вектор xj , как нормальное псевдорешение СЛАУ Ax = bj , является единственнымрешением СЛАУ! т тA AA bjx=.т0FНепосредственный подсчет показывает, что если x = λ1 x1 + .

. . + λl xl , то l!! т P тll тттXXA bj A AA AA bA bjx=xj ==.= j=1тт00FFj=1j=10Полученное равенство означает, что x есть нормальное псевдорешение СЛАУ Ax = b. IÌÃÒÓНаходя нормальные псевдорешения СЛАУ Ax = b с разными правыми частями b, можнопоступить так. В Rm выбираем стандартный базис e1 , . . . , em . Находим нормальные псевдорешения gi СЛАУ Ax = ei , i = 1, m. Тогда b = b1 e1 + . . . + bm em , где bi — компонентывектор-столбца b, и нормальное псевдорешение СЛАУ Ax = b имеет вид x = b1 g1 + .

. . + bm gm ,что можно записать так: x = (g1 . . . gm )b = A+ b, где матрица A+ составлена из столбцов gi .Проведенное рассуждение показывает следующее. Для данной матрицы A существует такаяматрица A+ , что нормальное псевдорешение СЛАУ Ax = b имеет вид x = A+ b. Это очевидно вслучае квадратной невырожденной матрицы A. В этом случае A+ = A−1 — обратная матрица.Отметим, что матрица A+ определена однозначно.

Действительно, если A+ b — нормальноепсевдорешение СЛАУ Ax = b, то A+ ei = gi — нормальное псевдорешение СЛАУ для правойчасти, являющейся вектором стандартного базиса в Rm . Но произведение A+ ei представляетсобой i-й столбец матрицы A+ . Значит, i-м стобцом матрицы A+ является вектор-столбец gi .Матрицу A+ называют псевдообратной по отношению к матрице A. Отметим, что еслиматрица A имеет тип m × n, то псевдообратная матрица A+ имеет тип nm.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ4ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-124. ПСЕВДОРЕШЕНИЯИ ПСЕВДООБРАТНАЯÌÃÒÓМАТРИЦАÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓРассмотрим линейную оболочку H столбцов ai матрицы A. В этой оболочке выберем базисu1 , .

. . , uk . Тогда каждый вектор fi можно представить в виде линейной комбинации векторовu1 , . . . , uk , т.е. столбец ai можно записать в виде ai = (u1 . . . uk )vi = U vi . Объединяя все этипредставления, получим A = U V , где U = (u1 . . . uk ), а V — матрица координат векторовai в базисе u1 , . . . , uk . Матрица U имеет ранг k, равный рангу матрицы A и совпадающий сколичеством столбцов U , т.е.

максимальный столбцовый ранг. Матрица V — матрицакоординат — имеет тот же ранг, что и система векторов {ai }, т.е. тоже k, причем ранг совпадает с количеством строк матрицы. Значит, матрица V имеет максимальный строчныйранг. Представление A = U V , в котором у матрицы U линейно независимы столбцы, а у матрицы V линейно независимы строки, называют скелетным разложением матрицы A. Влюбом скелетном разложении матрицы A левый множитель можно интерпретировать как наборвекторов базиса в линейной оболочке столбцов матрицы A, а правый множитель — как наборкоординат в этом базисе столбцов матрицы A.Чтобы построить скелетное разложение матрицы A, нужно выбрать базис в линейной оболочке столбцов матрицы A и разложить по этому базису столбцы матрицы A.

В принципе вкачестве базиса можно брать любой. Перебирая все возможные варианты, получим все мыслимые скелетные разложения матрицы A. Это, кстати, показывает, что скелетное разложениене единственно. Однако в дальнейшем нам потребуется какое-либо одно такое разложение.Поэтому можно остановить выбор на том, которое строится проще всего.

В качестве базисаu1 , . . . , uk можно выбрать любой набор базисных столбцов матрицы A, определяемый какимнибудь базисным минором.ÔÍ-12ÔÍ-124.3. Скелетное разложениеÌÃÒÓÔÍ-12Пример 4.1. Найдем скелетное разложение матрицы13 −115 .A=32 −26Выполняя элементарные преобразования строк матрицы, получаем  13 −113 −11 3 −1315  ∼  0 −88  ∼  0 1 −1  .2 −260 −880 00ÔÍ-12Таким образом, матрицу U составляют первый и второй столбцы матрицы A, а матрица V —результат преобразований, т.е.1 3 102A= 3 1.0 1 −1−3 7ÌÃÒÓ12В качестве базисного минора выберем минор M12второго порядка в верхнем левом углу.

Вматрице ступенчатого вида удалим третью нулевую строку, а из из первой строки вычтемутроенную вторую. Получим1 3 −12 0 1 −1  ∼ 1 0.0 1 −10 00ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓгде M — некоторый блок, расположенный в последних столбцах преобразованной матрицы.Удалив нулевые строки в левой и правой частях, получим равенство EV = (E M ), откудазаключаем, что при указанном выборе базиса u1 , . . .

, ur матрица V получается сведением матрицы A к ступенчатому виду с единичным базисным минором и последующием удалениемнулевых строк.Исходя из этих рассуждений можно сформулировать следующий метод построения скелетного разложения.1. Матрицу A элементарными преобразованиями строк приводим к ступенчатому виду.2. В матрице ступенчатого вида выбираем базисный минор (стандартно отмечаем все ненулевые строки и все столбцы, в которых расположены лидирующие элементы ненулевых строк)и удаляем все нулевые строки.3. С помощью дополнительных элементарных преобразований строк приводим выбранныйбазисный минор к ступенчатому виду. Полученная при этом матрица будем матрицей V , аматрицу U составляем из тех столбцов исходной матрицы A, которым в матрицы ступенчатоговида соответствуют столбцы выбранного базисного минора.ÌÃÒÓÔÍ-12Предположим для простоты, что базисный минор матрицы A порядка r расположен в ееверхнем левом углу.

Тогда в качестве базиса в линейной оболочке столбцов матрицы A можновыбрать ее первые r столбцов, т.е. Пусть uj = aj , j = 1, r. Запишем скелетное разложениеA = U V , соответствующее выбранному базису. При одновременном выполнении элементарныхпреобразований в матрицах U и A равенство U V = A не нарушается. С помощью такихпреобразований приведем матрицу A к ступенчатому виду, выберем базисный минор в первыхr столбцах (в соотвествии с матрицей U ) и, продолжая элементарные преобразования, сведембазисный минор к единичному. Тогда матричное равенство сведется к следующему: EE MV =,00 0ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ5ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-124. ПСЕВДОРЕШЕНИЯИ ПСЕВДООБРАТНАЯÌÃÒÓМАТРИЦАÌÃÒÓПример 4.2.

Рассмотрим матрицу из предыдущего примера. Используя выполненное приведение к ступенчатому виду, находим фундаментальную систему решений СЛАУ Ax = 0. Онатсостоит из единственного вектора row−2; 1; 1 . Далее вычисляем14 226тA A =  2 14 −10  .26 −10 623 21 −2 5 6 0 0преобразований. Записав блочную ма0032∼1 −2 56ÔÍ-12Это уравнение будем решать методом элементарныхтрицу, приведем ее к ступенчатому виду: 14226 1 32−2 110 2114 −10 3 1 −2   0 9 33∼ 26 −1062 1 56   0 15 −93−211 0 000 3 75 −1ÌÃÒÓВ результате приходим к матричному уравнению142261 214 −10  3 26 −10 62  X =  −1−2 110ÔÍ-12(здесь F — матрица, составленная из столбцов фундаментальной системы решений однородной СЛАУ Ax = 0), то сама псевдообратная матрица есть единственное решение матричногоуравнения! т тттт A AA e1 A e2 .

. . A enA(4.1)X==.т00...00FÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Псевдообратную матрицу можно строить, опираясь на понятие нормального псевдорешения.+Поскольку каждый столбец a+есть нормальное псевдорешениеi псевдообратной матрицы Aсистемы Ax = ei , т.е. решение системы! т тA AA eix=т0FÌÃÒÓÌÃÒÓ4.4. Псевдообратная матрицаÌÃÒÓÔÍ-12Замечание. Рассуждая так же, как и при построении скелетного разложения, можно показать, что ранг произведения матриц не превышает минимального из рангов сомножителей, т.е.rang(AB) 6 min{rang A, rang B}.

Действительно, равенство C = AB можно интерпретироватькак представление столбцов матрицы C в виде линейных комбинаций столбцов матрицы A,причем коэффициенты линейных комбинаций, записанные по столбцам, составляют матрицуB. Эта интерпретация показывает, что все столбцы матрицы C принадлежат линейной оболочке столбцов матрицы A. Значит, линейная оболочка столбцов C содержится в линейнойоболочке столбцов матрицы A, а ранг системы столбцов C не превышает ранга системы столбцов матрицы A, т.е. rang C 6 rang A.Итак, доказано, что ранг произведения не превышает ранга левого сомножителя.

Посколькутт тттC = B A , заключаем, что rang C = rang С 6 rang B = rang B.Отметим также, что ранг матрицы не изменяется при умножении ее на невырожденнуюматрицу. Действительно, если C = AB и матрица A квадратная невырожденная, то, с однойстороны, rang A 6 rang B, а с другой стороны, в силу равенства B = A−1 C имеем rang B 6rang A. Аналогичен случай, когда невырожденная матрица является правым множителем.ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ6ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-124. ПСЕВДОРЕШЕНИЯИ ПСЕВДООБРАТНАЯÌÃÒÓМАТРИЦАÌÃÒÓУдалив последнююпреобразования:−2 1 10 0 3 75 −10 0 48 −1нулевую строку в матрице ступенчатого вида, продолжим элементарные  0 01 −3 −44 40−96 48 048 0 05 6  ∼  0 48 095 −4  ∼  0 48 09 5 −4  .3 43440 0 48 −10 0 48 −1 3Таким образом,1−12112.Псевдообратную матрицу можно строить с помощью скелетного разложения. Прежде всегодокажем один критерий для псевдообратной матрицы.Теорема 4.4 (первый критерий псевдообратной матрицы).