FN_Alg04 (Лекции 2009), страница 4

А как связатьэто подпространство непосредственно с матрицей A? Отметим, что, согласно теореме 4.2 всестолбцы матрицы A+ , как нормальные псевдорешения систем с соответствующими правымитчастями1 , являются линейными комбинациями столбцов матрицы A . Следовательно, линейнаяоболочка столбцов матрицы A+ является подпространством в линейной оболочке столбцов матттрицы A . Но поскольку размерности этих подпространств совпадают (ранги матриц A+ и Aодинаковы), то на самом деле линейная оболочка столбцов матрицы A+ совпадает с линейнойтоболочкой столбцов матрицы A , которая в свою очередь представляет собой ортогональноедополнение к подпространству K решений однородной системы Ax = 0. Следовательно, векторA+ Ab есть проекция вектора b на подпространство K ⊥ .Так как A+ Ab — проекция вектора b на подпространство K ⊥ , вектор b − A+ Ab = (E − A+ A)bпредставляет собой ортогональную составляющую вектора b при проектировании на K ⊥ . Ноэтот же вектор есть ортогональная проекция вектора b на подпространство (K ⊥ )⊥ = K.Итак, с помощью псевдообратной матрицы A+ можно вычислять ортогональную проекциюпроизвольного вектора b и на линейную оболочку столбцов матрицы A (это вектор AA+ b), и намножество решений однородной линейной системы Ax = 0 (это вектор (E − A+ A)b).ÌÃÒÓÌÃÒÓтÔÍ-12ÔÍ-12тXA A = Y A A, получаем A AX = A AY , откуда согласно уже доказанному AX = AY .ттЕще раз транспонируя, находим XA = Y A .Пусть некая матрица A+ удовлетворяет равенствам (4.4).

Тогда, домножив первое равенттство на A и заменив в нем A+ в соответствии с равенством A+ = QA , получим равенствотттA AQA A = A A, в котором можно сократить правый множитель A. В результате получимттттттA AQA = A , или A AA+ = A , поскольку QA = A+ . Таким образом, из равенств (4.4) вытекает первое равенство (4.2). Второе равенство (4.2) дублирует второе равенство (4.4).

Значит,из равенств (4.4) вытекают равенства (4.2), а матрица A+ , удовлетворяющая равенствам (4.4),является псевдообратной. IÌÃÒÓÌÃÒÓтÌÃÒÓ10ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-124. ПСЕВДОРЕШЕНИЯИ ПСЕВДООБРАТНАЯÌÃÒÓМАТРИЦАJ Множество всех псевдорешений можно представить в виде x = xч + x0 , где xч — некотороечастное псевдорешение, а x0 — общее решение однородной СЛАУ Ax = 0. В качестве частногопсевдорешения можно выбрать нормальное, а множество все решений СЛАУ Ax = 0 можнополучить, проектируя на подпространство K всех решений произвольные векторы t ∈ Rn . IТот же вывод можно сделать, интерпретируя соответствующим образом второе равенство (4.2).ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-121ÔÍ-12ÔÍ-12где t ∈ Rm — некоторый вектор.ÌÃÒÓÌÃÒÓ11ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Замечание.

1. Запись (E − A+ A)t можно рассматривать как линейную комбинацию столбцов матрицы E − A+ A, коэффициенты в которой определяются вектором t. Это похоже на запись общего решения однородной системы через фундаментальную систему решений. Однакофундаментальная система решений есть базис в подпространстве K всех решений системы,а множество столбцов матрицы E − A+ A базисом не является, поскольку в этой матрице количество столбцов равно размерности всего арифметического пространства Rn и превышаетразмерность пространства решений (исключение составляет только случай нулевой матрицыA). Можно лишь утверждать, что подпространство решений системы Ax = 0 является линейной оболочкой столбцов матрицы E − A+ A.2.

Равенство (4.5) представляет собой разложение произвольного псевдорешения x на ортогональную составляющую A+ b и ортогональную проекцию (E − A+ A)t при проектированиина подпространство K всех решений. Кстати, в качестве вектора t во втором слагаемом разложения можно выбрать сам вектор x, т.е. для любого псевдорешения x системы Ax = b верноразложениеx = A+ b + (E − A+ A)x.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-124. ПСЕВДОРЕШЕНИЯИ ПСЕВДООБРАТНАЯÌÃÒÓМАТРИЦАÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ...............................................................................................9. Жорданова нормальная форма9.1.

Корневые подпространства . . .9.2. Жорданова нормальная форма9.3. Комплексные корни . . . . . . .9.4. Теорема Кэли — Гамильтона .........................................................................................121214192013. Операции над тензорами13.1. Понятие тензора . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.2. Матричная запись тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3. Преобразование тензоров, записанных в матричной форме . . . . . . . . . . . . . .2222232414. Множества и отношения14.1.

Алгебра множеств . . . . . . . . . .14.2. Отображения и соответствия . . .14.3. Отношения и операции . . . . . . .14.4. Элементы математической логики14.5. Мощность множеств . . . . . . . ......262630323435.....363636363640..........................16. Кольца и поля16.1. Кольца . . . . . . . . . . . .

. . . . . .16.2. Специальные типы колец . . . . . . . .16.3. Гомоморфизмы колец и факторизация16.4. Модули и алгебры . . . . . . . . . . . .16.5. Алгебры на полем . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................19.

Полукольца и булевы алгебры19.1. Определение полукольца . . .19.2. Ряды в полукольцах . . . . . .19.3. Замкнутые полукольца . . . .19.4. Системы линейных уравнений19.5. Симметричные полукольца . .19.6. Решетки . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................51515357586367...в... . . . . . . .. .

. . . . . .. . . . . . . .полукольцах. . . . . . . .. . . . . . . .69............ÔÍ-12.....434345494950ÌÃÒÓ17. Кольцо многочленов17.1. Определение кольца многочленов . . . . . . . . .17.2. Деление с остатком и его свойства . . . . . . . .17.3. Разложение на неприводимые множители . . . .17.4. Использование делимости в теории шифрования17.5.

Кватернионы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.....ÔÍ-12ÔÍ-12.....ÌÃÒÓÌÃÒÓ.....1134610ÔÍ-124. Псевдорешения и псевдообратная матрица4.1. Метод наименьших квадратов . . . . . . . .4.2. Псевдорешения . . . . . . . . . . . . . .

. . .4.3. Скелетное разложение . . . . . . . . . . . .4.4. Псевдообратная матрица . . . . . . . . . . .4.5. Проектирование на подпространство . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ.