Кратные и Криволинейные интегралы Соболев

Московский государственный технический университетим. Н. Э. Баумана.Соболев С.К.Криволинейные интегралыУчебное пособиеМоскваМГТУ им. Баумана2008С.К.Соболев. Криволинейные интегралы2ВведениеСтудентам второго курса должно быть хорошо известно понятие отфункции f ( x ) на отрезке [a; b] , или, как еще говорят, по отрезку [a; b] ,bкоторый обозначается ∫ f ( x )dx . Студенты также должны хорошо помнитьaсвойства определенных интегралов, методы их вычисления, геометрическиеи физические приложения.Оказывается,можноинтегрировать функцию нетолькопопрямолинейному отрезку координатной оси, но и вдоль любой линии АВ наплоскости или в пространстве, которая может быть как прямолинейнымотрезком, так и произвольной кривой. Такие интегралы называютсякриволинейными, или просто линейными.

При этом вычислениекриволинейных интегралов сводится к вычислению определенныхинтегралов, а многие свойства и приложения криволинейных интегралованалогичны соответствующим свойствам определенных интегралов. Можносчитать, что криволинейный интеграл – это обобщение понятия обычногоопределенного интеграла. Криволинейный интеграл теснейшим образомсвязан с важнейшим понятием в физике: работа силового поля1 вдольнекоторого пути.В данном пособии даются все необходимые теоретические сведенияотносительно криволинейных интегралов, приведены их геометрические ифизические приложения, разобраны иллюстрирующие примеры. Подробноосвещается формула Грина и её применения.Данное учебное пособие может полезно всем студентам техническихВузов, обучающихся на втором и более старших курсах, особенно тем,которые хотят углубить свои знания по криволинейным интегралам, а такжемолодым преподавателям.1работа силового (векторного) поля F , затраченная на перемещение ∆ s = ∆ s – этопроизведение модуля силы, величины перемещения и косинуса угла ϕ между ними, т.е.

этоскалярное произведение вектора силы на вектор перемещения. ∆ A = F ⋅ ∆ s ⋅ cos ϕ = F i∆ s . Работапеременной силы по произвольному пути выражается интегралом.С.К.Соболев. Криволинейные интегралы3Изучая какое-нибудь понятие в математике,уясните для себя следующие четыре вещи: (1)что это такое (т.е. точное определение этогопонятия); (2) какими свойствами оно обладает;(3) как это находить (т.е.

каковы формулы дляего вычисления) и (4) зачем это надо, т.е.каковы его приложения.Автор – студентам1. Криволинейный интеграл первого рода1.1.Определение криволинейного интеграла первого рода.Пусть дана (неориентированная) линия L с концами точках А и В ифункция трех переменных f ( x, y , z ) = f ( M ) , определенная в каждойточке M = M ( x; y; z ) ∈ L . Разобьем линию L на п (на обязательно равных)частей точками A = C0 , C1 , C2 , ..., Cn −1 , Cn = B . Выберем на каждой дугеCk −1CkпроизвольнуюточкуВ = СпM k ( xk ; yk ; zk ) , обозначим через ∆lkMnСn – 1длину хорды2 Ck −1Ck , k = 1, 2, ..., n , и∆l nпусть λ ( P ) = max ∆lk– мелкость∆ln –1 Mn –11≤ k ≤nполученного разбиения Р линии L (см.Сn – 2Рис.1).MС2 3LСоставиминтегральнуюсуммуM2∆l3 С3nС1 ∆l2σ ( P) =f ( M ) ⋅∆l .f∆l 1defРис.1∑kkk =1Если существует конечный предел этихинтегральных сумм при стремленииА = С0мелкости разбиения к нулю, λ ( P ) → 0 ,не зависящий от способа разбиения линии L на п частей и выбора точекCk , то этот предел называется криволинейным (или просто линейным)интегралом первого рода от функции f ( x, y, z ) по линии L, иобозначается:M1nσ f ( P ) = lim ∑ f ( M k ) ∆lk 3∫ f ( x, y, z ) dl def= λ (limP ) →0λ ( P ) →0k =1L2В данном определении в качестве ∆ lk взять и длину дуги Ck −1Ck .3В никоторых книгах криволинейный интеграл первого рода обозначается∫ f ( x, y, z ) dsLС.К.Соболев.

Криволинейные интегралы4Теорема существования. Если линия L имеет кусочно-гладкуюпараметризацию4, а функция f ( x, y , z ) = f ( M ) непрерывна на ней, тосуществует криволинейный интеграл первого рода∫L f ( x, y, z ) dl .Замечание 1. Точно так же определяется криволинейный интеграл отфункции двух переменных f ( x, y ) по произвольной линии L,расположенной в плоскости XOY.

Он обозначается, естественно,∫L f ( x, y ) dl .nЗамечание 2. На языке ε − δ запись limλ ( P )→0∑ f ( M k )∆lk = Jозначаетk =1следующее:Для любого ε > 0 найдется δ (ε ) > 0 такое, что для любого n ∈N и всехразбиений Р линии L на п точек и выбора на полученных дугах точек M kn(1 ≤ k ≤ n ) из max ∆kk < δ следует1≤k ≤n∑ f ( M k )∆lk − J<ε .k =11.2. Свойства криволинейного интеграла первого рода.1) Аддитивность: если линия L есть объединение двух линий L1 и L2 ,имеющих, самое большее, конечное число общих точек, L = L1 ∪ L2 , то∫L1 ∪L2f ( x, y , z ) dl =∫ f ( x, y, z ) dl + L∫L1f ( x, y , z ) dl ;2(точнее, если существуют оба интеграла в правой части и тосуществует и интеграл в левой части и равен сумке двух первых).2) Линейность.

Для любых чисел α , β ∈ R и функций f ( x, y , z ) иg ( x, y , z ) справедливо равенство:∫L (α ⋅ f ( x, y, z ) + β ⋅ g ( x, y, z ) ) dl = α ⋅ L∫ f ( x, y, z ) dl + β ⋅ L∫ g ( x, y, z ) dl ;(точнее, если существуют оба интеграла в правой части, то существуети интеграл в левой части и равен выражению, стоящему в правойчасти).3) Переход к неравенству под знаком интеграла. Если линия L ифункции f ( x, y , z ) = f ( M ) и g ( x, y , z ) = g ( M ) таковы, что для всехточек M ( x; y; z ) ∈ L выполняется неравенство f ( M ) ≤ g ( M ) , то4Это значит, что линия L может быть задана параметрически функциямиx = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) , которые непрерывны, а их производные кусочно-непрерывны наотрезке [α ; β ] .С.К.Соболев. Криволинейные интегралы5∫ f ( x, y, z ) dl ≤ L∫ g ( x, y, z ) dl ;L(при условии, что оба интеграла существуют).4) Интеграл от константы. Если линия L имеет длину L, то∫L C dl = C ⋅ L , в частности, L = L∫ dl .5) Теорема об оценке.

Если для всех точек M ( x; y; z ) ∈ L выполняетсянеравенство m1 ≤ f ( x, y , z ) ≤ m2 , а линия L имеет длину L товыполняется неравенство:m1 ⋅ L ≤ ∫ f ( x, y , z ) dl ≤ m2 ⋅ L .L(при условии, что данный криволинейный интеграл существует).6) Определение среднего значения функции. Средним значениемфункции f ( x, y , z ) = f ( M ) на линии L (имеющей длину L), называетсявеличина f L = 1 ∫ f ( x, y , z ) dl .def LL7) Теорема о среднем.

Если непрерывная линия L имеет длину L, афункция f ( x, y , z ) = f ( M ) непрерывна на L, то найдется точкаM 0 ∈ L , такая, что∫L f ( x, y, z ) dl = f ( M 0 ) ⋅ L ,или, что равносильноf L = f (M0 ) .1.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.Формула для вычисления криволинейного интеграла по линии L зависит отспособа задания этой линии.1) линия L задана в пространстве (или на плоскости) параметрически:x = x (t ), L: y = y (t )  t ∈ [α ; β ] , тоz = z (t ) β222∫L f ( x, y, z ) dl = α∫ f ( x(t ), y(t ), z(t ) ) ⋅ ( x′(t ) ) + ( y ′(t ) ) + ( z′(t ) ) ⋅ dt .понятно, что на плоскости справедлива аналогичная формула:β22∫L f ( x, y ) dl = α∫ f ( x(t ), y (t ) ) ⋅ ( x′(t ) ) + ( y ′(t ) ) ⋅ dt .2) Линия L задана на плоскости XOY явно, т.е.

L: y = y ( x ), x ∈ [a; b] . Тогда:b∫ f ( x, y ) dl = ∫a f ( x, y ( x ) ) ⋅L.21 + ( y ′x ) ⋅ dx .С.К.Соболев. Криволинейные интегралы63) Линия L задана на плоскости в полярных координатах5:L : r = r (ϕ ), α ≤ ϕ ≤ βТогдаd∫L( )f ( x, y ) dl = ∫ f ( r (ϕ ) cos ϕ , r (ϕ )sin ϕ ) ⋅ r 2 + rϕ′2⋅ dϕcУпражнение 1. Напишите формулу для вычисления криволинейногоинтеграла первого рода по линии, заданной на плоскости XOY явно:L: x = x ( y ), y ∈ [c; d ] .1.4. Геометрические приложения криволинейного интегралапервого рода.1) Длина кривой L выражается формулой: L = ∫ dl .L62) Площадь цилиндрической поверхности σ с образующейпараллельной оси OZ и направляющей линией L и расположенноймежду плоскостью XOY и поверхностью z = f ( x, y ) (см.

рис.2),выражается формулой:(1)S (σ ) = ∫ f ( x, y ) dl .L3) Площадь поверхности вращения σ , полученной вращением плоскойкривой L вокруг оси, расположенной в той же плоскости XOY(см. рис. 3), равна:S (σ ) = 2π ∫ R ( x, y )dl ,(2)Lгде R( x, y ) – расстояние от произвольной точки M ( x; y ) кривой L дооси вращения.

В частности, если ось вращения совпадает с осью ОХ, тоR( x, y ) = y , а если ось вращения параллельна оси ОY и заданауравнением x = a , то R( x, y ) = x − a . В общем случае расстояние от5Полярная система координат на плоскости задаются началом отсчета точкой О, называемой полюсом(обычно совмещаемой с началом координат), и выходящей из неё лучом, называемой полярной осью(которая обычно совпадает с осью ОХ). Полярные координаты точки М – это пара чисел(ϕ ; r ) , где φ –ориентированный угол между полярной осью и вектором OM , а r = OM ≥ 0 – расстояние между точкамиМ и О (вместо латинской буквы r иногда используется греческая буква ρ).

Декартовы координаты M ( x; y ) иполярные координаты M (ϕ ; r ) связаны соотношениями: x = r ⋅ cos ϕ , y = r ⋅ sin ϕ , x 2 + y 2 = r 2 .6Цилиндрическая поверхность – поверхность, полученная поступательным движением в пространственекоторой прямой, пересекающей некоторую линию L, называемой направляющей цилиндрическойповерхности, и остающейся параллельной некоторой фиксированной прямой. Каждая из прямых,составляющих цилиндрическую поверхность, называется её образующей. Если поверхность задана впространстве уравнением с двумя переменными, то эта поверхность – цилиндрическая, образующая которойпараллельна оси, одноименной с отсутствующей переменной.С.К.Соболев. Криволинейные интегралыYZAz = f ( x, y )σ7MLBBR( x, y )YσLX0z =0Рис. 2Рис.

3XточкиM ( x; y ) до прямойax + by + cR( x, y ) =.a 2 + b2ax + by + c = 0выражается формулой1.5. Физические приложения криволинейного интеграла первого рода.1) Масса материальной линии. Пусть материальная (например,пространственная) линия L имеет в каждой своей точке M ( x, y, z ) ∈ Lлинейную плотность массы µ ( x, y, z ) . Тогда масса линии L равна:m(L ) = ∫ µ ( x, y, z ) dl .LТочно такая же формула для полного заряда Q, расположенного наматериальной (например, плоской) линии L, если известна линейнаяплотность зарядов q( x, y ) в каждой точке M ( x; y ) ∈ L :Q (L ) = ∫ q( x, y ) dl .L2) Координаты центра масс. Пусть материальная (например,пространственная) линия L имеет в каждой своей точке M ( x, y, z ) ∈ Lлинейную плотность массы µ ( x, y , z ) . Тогда центр масс C ( x0 ; y0 ; z0 )линии L имеет координаты:MyMxMzx0 =, y0 =, z0 =,,m (L )m(L )m (L )где m(L ) = ∫ µ ( x, y, z ) dl – масса этой линии, иLM x = ∫ x ⋅ µ ( x, y, z ) dl , M y = ∫ y ⋅ µ ( x, y, z ) dl , M z = ∫ z ⋅ µ ( x, y, z ) dl .LLLАналогично находятся координаты центра масс плоской линии.С.К.Соболев.

Криволинейные интегралы83) Определение. Центрóидом линии L (нематериальной, простогеометрической фигуры) называется центр масс этой линии с любойпостоянной плотностью (например, равной единице). Например, еслилиния L расположена в плоскости XOY, то её центроид C ( x0 ; y0 ) имееткоординаты:LyL,x0 = x , y0 =LLгде Lx = ∫ x dl , Ly = ∫ y dl и L = ∫ dl – длина кривой L.LLL74) Первая формула Гульдина . Площадь поверхности, полученнаявращением вокруг оси кривой, расположенной в плоскости осивращения по одну сторону от неё, равна произведению длины этойлинии на длину окружности, которую описывает при вращениицентроид этой линии, т.е.S = L ⋅ 2π R0 ,где L – длина линии, R0 – расстояние от центрóида линии до осивращения.Упражнение 2. Не выполняя интегрирования, найдите с помощью первойформулы Гульдина расстояние от центроида полуокружности радиуса R допрямой, проходящей через её концы.5) Момент инерции.

Пусть материальная (например, пространственная)линия L имеет в каждой своей точке M ( x, y, z ) ∈ L линейнуюплотность массы µ ( x, y , z ) . Тогда момент инерции линии Lотносительно некоторой оси s равенI s = ∫ R 2 ( x, y, z ) ⋅ µ ( x, y, z ) dlLгде R( x, y , z ) расстояние от точки M ( x, y , z ) ∈ L до оси s. Например,если s есть ось ОХ, то R 2 ( x, y, z ) = y 2 + z 2 .6) Ньютонов (гравитационный или электрический) потенциалматериальной линии L в данной точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , расположеннойвне этой кривой L, имеющей линейную плотность (массы илисоответственно заряда) µ ( x, y, z ) :µ ( x, y , z )U (M0 ) = ∫dl ,(3)R( x, y , z )L7Гульдин Пауль (1577–1643) – швейцарский математик. Написал работу о центрах тяжести тел, в которойтакже трактуются вопросы о поверхностях и объёмах тел. С его именем связан ряд теорем для определенияобъёмов и поверхностей тел вращения.С.К.Соболев.