Кратные и Криволинейные интегралы Соболев, страница 3

Криволинейные интегралы142.3. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.1) Основная формула для вычисления криволинейного интеграла второгорода, по сути, содержится во второй формой записи этого интеграла:∫ G ( x, y, z ) i dl = ∫ Pdx + Qdy + RdzLL x = x (t ),А именно, пусть в пространстве задана параметризация пути L:  y = y (t ) , z = z (t )причем, заданная ориентация на L соответствует изменению параметра t отt = α до t = β (возможно также, что α > β ) . Тогда dx = x ′(t )dt , dy = y ′(t )dt ,dz = z ′(t )dt и∫L G ( x, y, z ) i dl = L∫ Pdx + Qdy + Rdz =β= ∫ ( P ( x (t ), y (t ), z (t )) ⋅ x′(t ) + Q ( x (t ), y (t ), z (t )) ⋅ y ′(t ) + R( x(t ), y (t ), z (t )) ⋅ z ′(t ) ) ⋅ dt.

(4)α2) В случае «двумерного» криволинейного интеграла второго рода даннаяформула для вычисления выглядит уже не так громоздко:∫ G ( x, y ) i dl = ∫ Pdx + Qdy =LLβ= ∫ ( P( x (t ), y (t )) ⋅ x′(t ) + Q( x( t ), y (t )) ⋅ y ′(t ) ) ⋅ dt .α3) Следующие формулы являются частными случаями предыдущихНапример, если на плоскости путь L задан явно: y = y ( x ) , причем,ориентация пути соответствует изменению х от x = a до x = b (возможно, чтоa < b) то в качестве параметра выступает х, и предыдущая формулапринимает такой вид:b∫ G ( x, y ) i dl = L∫ Pdx + Qdy = ∫a ( P( x, y ( x )) + Q( x, y ( x )) ⋅ y′( x ) ) ⋅ dx.L4) Если же ориентированная линия L задана на плоскости в полярныхкоординатах: r = r (ϕ ) , где ϕ изменяется от ϕ = α до ϕ = β , то надоподставить формулыx = r cos ϕ , y = r sin ϕ ⇒dx = ( r ′ cos ϕ − r sin ϕ ) dϕ , dy = ( r ′ sin ϕ + r cos ϕ ) dϕИ поэтому формула для вычисления криволинейного интеграла второго родав полярных координатах принимает такой вид:С.К.Соболев.

Криволинейные интегралы15∫ G ( x, y ) i dl = L∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy =Lβ= ∫ ( P ( r (ϕ ) cos ϕ , r (ϕ )sin ϕ )( r ′ cos ϕ − r sin ϕ ) +α+ Q ( r (ϕ ) cos ϕ , r (ϕ )sin ϕ )( r ′ sin ϕ + r cos ϕ ))dϕУпражнение 4. Напишите формулу для вычисления криволинейногоинтеграла второго рода вдоль пути, заданного явно x = x ( y ) , где yизменяется от y = c до y = d .Замечание. Часто путем интегрирования (или его частью) в криволинейноминтеграле является отрезок прямой. Если начало и конец отрезка расположены соответственно в точках A1 ( a1; b1; c1 ) и A2 ( a2 ; b2 ; c2 ) , то отрезок A1 A2задаётся параметрически уравнениями:x = a1 + ( a2 − a1 ) ⋅ t , Z(5)y = b1 + (b2 − b1 ) ⋅ t , y = b1 + (b2 − b1 ) ⋅ t , 2aπAпричем t изменяется от t = 0 (точка А1) до t = 1(точка А2).Пример 3.

Найти работу векторного поляG = y i + z j − x k вдоль одного витка винтовойлинии L: x = R cos t , y = R sin t , z = at , направление от точки A( R; 0; 2aπ ) до точки B( R; 0; 0)(см. Рис. 7).Решение. Ориентация пути L соответствуетубыванию параметра t от t = 2π до t = 0 . Поформуле (4), искомая работа равна:YRРис.70A = ∫ G i dl =L(∫2π ( R sin t ( − R sin t ) + atR cos t − aR cos t ) dt == − 12 R 2 (t − 12 sin 2t ) + aR(t sin t + cos t ) − aR sin t) tt == 20π = π R .2B XС.К.Соболев.

Криволинейные интегралы163. Формула Грина.3.1. Предварительные определенияЦиркуляция векторного поля. Если путь в интеграле второго родапредставляет собой замкнутый контур, то он называется циркуляциейвекторного поля по данному контуру и обозначается интегралом скружочком:∫ G ( x, y, z ) i dl = ∫ Pdx + Qdy + Rdz .LLYYxy ≤ 20Х0Хxy > 2Рис. 8б)Рис. 8а)Y2Y2x + y ≤90Рис. 9а)Х0x2 + y2 ≥ 9ХРис. 9б)Связные и односвязные плоские множества.

Множество D плоскости (илипространства) называется связным (точнее, линейно связным), если любыедве его точки А и В можно соединить непрерывной линией, целикомнаходящейся во множестве D. Плоское множество D называетсяодносвязным, если оно связно, и любой замкнутый контур внутри негоограничивает некоторое множество, целиком лежащее в области D.Пример 4. Множество плоскости XOY, заданное неравенством xy ≤ 2 ,связно, а неравенством xy > 2 – несвязно (см.

Рис. 8(а, б)). Каждое измножеств x 2 + y 2 ≤ 9 и x 2 + y 2 ≥ 9 , связно, но только первое из ниходносвязно (см. Рис. 9(а, б)).С.К.Соболев. Криволинейные интегралы173.2. Теорема ГринаТеорема 1. Пусть на плоскости дана односвязная замкнутая область D ,ограниченная замкнутым кусочно-гладким ориентированным контуром Г(символически Г = ∂ ( D ) ), причем при обходеYконтура область остается слева (т.е. обходГконтура производится против часовой стрелке,(см. Рис. 10). Пусть, далее, компоненты P( x, y )DиплоскоговекторногополяQ ( x, y )и их частныеG ( x, y ) = P ( x , y ) i + Q ( x, y ) jпроизводные по у и по х, соответственно,Х0непрерывны в области D.

Тогда справедливаРис.10формула (формула Грина):∂∫D P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫∫D ( ∂x − ∂∂Py ) dxdy .∂QГ∫ ydx + x dy2Пример 5. Вычислить интегралYпо замкнутому контуру Г, состоящему из дугиАOВ параболы y = x 2 и отрезка прямой ВА, гдеA( − 1;1), B(3; 9) ,направлениеобхода:А→O→В→А (см. рис.11).Решение. Сначала вычислим этот интегралнепосредственно. Он равен2J =∫ ydx + x dy = ∫ + ∫ .ГAOBBAВ первом интеграле путь АOВ задаетсяуравнениемy = x 2 , параметром являетсяпеременная х, которая изменяется от x = − 1 доx = 3 , тогда dy = 2 xdx , и поэтому3∫AOB2ydx + x dy =∫ (x−12)+ x 2⋅ 2 x dx =(13x 3 + 12 x 4)(6)B9Yy = x2А1–130ХРис. 11x =3= 28 + 40 = 148 .33x =− 1Во втором интеграле по отрезку ВА, где B(3; 9), A( − 1;1) , параметризациязадается, по формулам (5), уравнениями x = 3 − 4t , y = 9 − 8t , и параметр tизменяется от t = 0 (точка В) до t = 1 (точка А).

Тогда dx = − 4dt , dy = − 8dt , ипоэтому:С.К.Соболев. Криволинейные интегралы1∫BA ydx + x dy = ∫0 ( (9 − 8t )(− 4) + (3 − 4t )2218)( − 8) dt ={замена: 4t = τ }4()= ∫ (9 − 2τ )( − 1) + (3 − τ )2 ( − 2) dτ =04= ∫ − 2τ 2 + 14τ − 27 dτ = − 128 + 112 − 108 = − 116 .330()Следовательно, вся циркуляция равна J = 148 − 116 = 32 .333Теперь вычислим этот же интеграл по формуле Грина. ЗдесьP( x, y ) = y , Q ( x , y ) = x 2 , Уравнение прямой АВ: y = 2 x + 3 , контур Гограничивает область D, заданную неравенствами (см Рис.11): − 1 ≤ x ≤ 3,. 2x ≤ y ≤ 2x + 3Поэтому, по формуле Грина (6), циркуляция равна:J =∫ ydx + x dy = ∫∫2ГD(∂ ( x2 )∂x−3=∂y∂y32 x +3−1x2) dxdy = ∫ dx ∫ (2 x − 1)dy =3232∫−1 dx ( 2 x − 1) ( 2 x + 3 − x ) = −∫1 ( −2 x + 5x + 4 x − 3) dx =(= − 12 x 4 + 53 x 3 + 2 x 2 − 3x)= − 40 + 140 + 16 − 12 = 140 − 108 = 32 .−133333.3.

Приложения формулы Грина.С помощью криволинейного интеграла можно находить площадь плоскойобласти. А именно, пусть замкнутый контур Г ограничивает односвязнуюобласть D, и при обходе область остается слева, т.е. Г = ∂ D . Пусть P( x, y ) иQ ( x, y ) – любые две непрерывно дифференцируемые функции такие, что∂Q ∂P−≡ 1 (например, P = − y, Q = 0 , илиY∂x ∂ybГP = 0, Q = x ). ТогдаS ( D) =∫ Pdx + Qdy .X0∂DВ частности,S ( D) = − ∫ ydx =∂D∫ xdy = 12 ∫ xdy − ydx .

(7)∂D∂DaРис. 12С.К.Соболев. Криволинейные интегралы19Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом сполуосями a и b.Решение. Как известно, эллипс с полуосями a и b с центром в начале2y2координат (см. Рис. 12) задается каноническим уравнением x 2 + 2 = 1 иabx = a ⋅ cos t , y = b ⋅ sin t , 0 ≤ t ≤ 2π ,причемдопускаетпараметризациюположительному (согласованному) направлению обхода контура (т.е.эллипса) Г соответствует возрастание параметра t. Поэтому, согласно второйформуле (7), искомая площадь равна:2π2πS = ∫ xdy = ∫ a cos t ⋅ b cos t ⋅ dt = 12 ab ∫ (1 + cos 2t )dt = π ab.Г00С помощью формулы Грина можно вычислять и криволинейный интегралпо незамкнутому пути. А именно, пусть Г1 = ACB и Г2 = ADB – дванезамкнутых ориентированных пути на плоскости XOY, начинающихся водной и той же точке А и заканчивающиеся в одной и той же точке В, и неимеющих других общих точек.

Пусть эти две линии ограничивают область D.Возможны два случая:(1°) ∂ D = Г1 − Г 2 = ACBDA (т.е. область D находится слева от пути Г1 исправа от пути Г2 (см. рис 13(а));(2°) ∂ D = Г 2 − Г1 = ADBCA (т.е. область D находится справа от пути Г1 ислева от пути Г2 (см. рис 13(а)).ВВГ1Г2DCDГ2Г1АDАDРис. 13(б)Рис. 13(а)Тогда∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy ± ∫∫ ( ∂x − ∂∂Py ) dxdy .∂QГ1Г2(8)DЗнак «плюс» перед двойным интегралом соответствует первому случаю, азнак «минус» – второму.Эту формулу целесообразно применять, когда интеграл по пути Г2вычисляется гораздо проще, чем по пути Г1 и когда выражениетоже относительно просто, в идеале – константа.(∂Q∂x− ∂∂Py)С.К.Соболев. Криволинейные интегралы20Пример 7.

Найти работу векторного поляF = 2 y + y sin πyx ⋅i − 2πy cos πyx + x + x sin πyx ⋅ j() ()вдоль правой части кривой x 2 + y 2 + 30 = 4 x + 12 y от точки А(1; 3) до точкиВ(3; 9).Решение. Уравнение x 2 + y 2 + 30 = 4 x + 12 y ⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 6) 2 = 10 задаетокружность радиуса R = 10 с центром в точкеC (2; 6) , точки А и В лежат на этой окружности иВYявляютсядиаметральнопротивоположными.Данный путь Г1 представляет собой правую дугуокружности, соединяющую точки А и В.СВ качестве пути Г2 возьмем отрезок прямой АВ.Г1Г2Тогда область D, ограниченная замкнутымконтуром Г1 − Г 2 = ∂ D , есть полукруг радиусаАR = 10 (см. (Рис.

14). Чтобы применить формулу(6), параметризуем путь Г2 – отрезок АВ: y = 3x , хизменяется от x = 1 до x = 3 . Здесь:Х0Рис. 14)(P = 2 y + y sin πyx = 6 x + 3x sin π3 = x 6 + 3 2 3 ,Q=−( π cos π2yxy)+ x + x sin πyx = − 6πx cos π3 − x − x32= −x(3π+1+32),dy = 3dx .3∫ Pdx + Qdy = ∫ x (6 + 3 23 − π9 − 3 − 3 23 ) dx = 4 ( 3 − π9 ).ПоэтомуГ21Вычислим:∂Q∂x− ∂∂Py = − ∂∂x( π cos π2yxy)()+ x + x sin πyx − ∂∂y 2 y + y sin πyx == 2sin πy − 1 − sin πyx − πyx cos πyx − 2 − sin πyx + πyx cos πyx = − 3.Следовательно,∫∫ ( ∂x − ∂∂Py ) dxdy = ∫∫ (− 3)dxdy = − 3S ( D) = − 3 ⋅ 12 ⋅ 10π = − 15π .∂QDDВ нашем случае имеет первый случай формулы (8):∫ G ⋅ d l = ∫ Pdx + Qdy =Г1=Г1∫ Pdx + Qdy + ∫∫ ( ∂x − ∂∂Py ) dxdy = 4 ( 3 − π9 ) − 15π .∂QГ2DС.К.Соболев.

Криволинейные интегралы214. Потенциальные и безвихревые поля на плоскости4.1. Основные определенияНапомним, что градиент плоского скалярного поля U ( x, y ) – это векторноеполе F = ∂U i + ∂U j . Как известно, градиент скалярного поля U ( x, y ) в каждой∂x∂yточке ортогонален линии уровня12 поля U ( x, y ) , проходящей через эту точку.Вихрем или ротором плоского векторного поля G ( x, y ) = P ( x, y ) i + Q ( x, y ) jв данной точке M 0 называется плотность циркуляции этого поля в этойточке, т.е.rot G= lim 1G ⋅ dl ,M 0 def D → M0S ( D)∫∂Dгде запись D → M 0 означает, что область D стягивается в точку M 0 , т.е.что M 0 ∈ D и δ ( D ) → 0 , где δ ( D ) – диаметр13 множества D, S ( D ) – площадьобласти D.Заметим, что ротор плоского векторного поля представляет собойскалярное поле.