ziv-geometria-gdz-7d (Решебник Геометрия 7 - 11 Погорелов), страница 3

ОА ⊥ ОВ, то ∠ АОВ = 90°.Пусть угол ВОС = 2х, тогда 45° + х = 75°, значит х= 30° ⇒⇒ ∠ ВОС = 60° ⇒ ∠ АОС = 150°.552.XПусть меньший угол равен х, тогда смежный ему равен 180° – х, сдругой стороны он равен 60° +xx3, т.е. 180° – х = 60° + , 120° = х,222х = 80°. Ответ: 80°, 100°, 80°, 100°.В.

3. С-6.1.Т.к. ∆ АВС = ∆ АDС, то ∠ АВС = ∠ АDС = 70°, значит∠ МDС = 180° – ∠ АDС = 110°.562.Р(АВС) = АВ + ВС + СА = 3АВ = 36 ⇒ АВ = 12 (см).Р(АDС) = АС + АD + DС = АС + 2АD = 12+ 2АD = 40 ⇒ АD = 14 (см)В. 3. С-7.1.Т.к. ∠ ВDС = ∠ ВЕА, то ∆ ВDЕ – равнобедренный ⇒⇒ ВD = DЕ, ∠ ВDА = ∠ ВЕС, т.к. равны смежные имAD = AE – PE, EC = DC – DE, т.к. АD = ЕС, то АD = ЕС ⇒⇒ ∆ АВD = ∆ СВЕ ⇒ ∠ ВАD = ∠ ВСЕ = 40°.572.∠ ВАС = ∠ ВАD + ∠ DAC = ∠ CAE + ∠ DAC = ∠ DAE ⇒⇒ ∆ BAC = ∆ DAE ⇒ BC = DE и ∠ ВСА = ∠ DEA ⇒⇒ ∠ МСА = ∠ КЕА.В. 3. С-8.1.∆ АDВ = ∆ СDВ по 1-му признаку ⇒ ∠ АВD = ∠ DВС и АВ = ВС.Значит, ∆ АВС – равнобедренный и ВD – биссектриса, а значит ивысота ⇒ ВD ⊥ АС. Т.к.

∆ АВС – равнобедренный, то∠ ВАС = ∠ ВСА.582.Т.к. АВ = ВС, то ∆ АВС – равнобедренный. Т.к. АО = ОС, то ВО –медиана, а значит и высота ⇒ ∠ ВОС = 90° ⇒ ∠ ВОК = 45°, т.к.ОК – биссектриса ∠ ВОС ⇒ ∠ АОК = 90° + 45° = 135°.В. 3. С-9.1.Т.к. АМ = МС, то ∆ АМС – равнобедренный ⇒ ∠ МАС = ∠ МСА.АD = АЕ – DЕ = DС – DЕ = ЕС ⇒ ∆ АВD = ∆CFE по 2-му признаку⇒ АВ = FC.592.MBACПусть К – середина АС, тогда ВК ⊥ АС, т.к.

∆ АВС –равнобедренный. Аналогично МК ⊥ АС. Предположим, что ВК несовпадает с МК, тогда к точке К проведены 2 различныхперпендикуляра ⇒⇒ ВК совпадает с МК ⇒ ВМ проходит через середину АС.В. 3. С-10.BDEOACТ.к. ∆ АВС – равнобедренный, то ∠ А = ∠ С ⇒ ∆ АDC = ∆ CEA по1-му признаку. Т.к. АС – общая, значит ∠ ОАС = ∠ ОСА ⇒ ∆ АОС– равнобедренный.60В. 3. С-11.1.∆ ОАВ = ∆ ОDC по 3-му признаку ⇒ ОЕ = OF как медианы равныхтреугольников.2.MaПроведите окружность данного радиуса с центром в точке М.Проведите окружность данного радиуса с центром в одной из точекпересечения 1-ой окружности с прямой а.61В. 3. С-12.1.BLACПроведите окружность с центром в точке В, пересекающую АС в 2-хточках.

Проведите серединный перпендикуляр к полученномуотрезку (см. задачу Вар. 1, С-24.2). Постройте биссектрису ∠ А какописано в задаче Варианта 2, С-12.2. Точка их пересечения будетискомой.2.Проведите биссектрису данного угла как описано в задаче Вар. 2, С12.2, затем проведите биссектрису половинки данного угла. Затемот данного луча отложите угол, равный14данного угла (вы62получили его предыдущим действием) как описано в задаче Вар. 1,С-12.1.В. 3. С-13.1.Т.к. АВ = ВС, то ∠ А = ∠ С = 60° ⇒ ∠ В = 180° – 60° – 60° = 60° ⇒⇒ ∠ ВСЕ = ∠ В + ∠ А = 120° ⇒ ВСD = 60°, т.к.

СD – биссектриса⇒ АВ || СD, т.к. равны соответственные углы.2.Проведем АС. ∆ АВС = ∆ СDА по 3-му признаку ⇒⇒ ∠ ВСА = ∠ САD ⇒ ВС || АD, т.к. равны внутренние накрестлежащие углы.63В. 3.С-14.1.BLACbacПриложите угольник одним катетом к l так, чтобы другой проходилчерез точку В, и проведите прямую вдоль катета. Затем приложитеугольник катетом к этой прямой так, чтобы вершина прямого угласовпадала с точкой В, и проведите прямую вдоль другого катета.Таким образом, вы получили прямую, параллельную l ипроходящую через точку В. Проделайте тоже самое для точек А и С.И так, вы получили 3 прямых, параллельных l. Все они параллельнымежду собой, т.к.

параллельны данной прямой. АС пересечет l, т.к. впротивном случае через точку А проходили бы 2 прямые,параллельные l, что невозможно.2.a || b, т.к. равны соответственные углы.64b || c, т.к. равны соответственные углы ⇒ a || c.В. 3. С-15.1.Т.к. ∠ МАС = 40°, то ∠ ВАС = 140° ⇒ ∠ АВС = ∠ АСВ==180o − 140o= 20°. Т.к. АС || ВD, то ∠ АВD = 40° ⇒ ∠ СВD =2= ∠ АВD – ∠ АВС = 20°.2.ADOCBТ.к.

AC || DB, то ∠ САВ = ∠ВDC, ∠ АОС = ∠ ВОD как вертикальные⇒ ∆ АОС = ∆ ВОD по 2-му признаку.65В. 3. С-16.1.a || b, т.к. сумма внутренних односторонних углов равна 180° ⇒⇒ ни один из семи углов не может равняться 20°, они могут бытьлибо 50°, либо 130°.2.BACDFEПроведем через точку С прямую CF, параллельную АВ (а значит иDЕ, т.к. АВ || DЕ), тогда ∠ ВСF = ∠CBA, ∠ DCF = ∠CDE, а∠ ВСD = ∠ ВСF + ∠ DCF = ∠ B + ∠ D.66В. 3. С-17.1.B800ACТ.к. АВ = ВС, то АВС – равнобедренный ⇒ ∠ А = ∠ С ==180o − 80o= 50°. Т.к. АМ и СМ – биссектрисы, то2∠ МАС = ∠ МСА = 25 ° ⇒ ∠ АМС = 180° – 25° – 25° = 130°.2.C150D800A120B∠ ВАD = 180° – 80° – 12° = 88°. ∠ ВDС = 180° – 80° = 100°.∠ DВС = 180° – 100° – 15° = 65° ⇒ ∠ АВС = 65° + 12° = 77° ⇒⇒ ни один из углов не равен 90° ⇒ ∆ АВС – не прямоугольный.67В.

3. С-18.1.BAMCВС < ВА и ВС < ВМ, т.к. ВC ⊥ АС.ВМ < ВА, т.к. ∠ СВМ < ∠ СВА2.BECADТ.к. DЕ || АС, то ∠ D = ∠ В, ∠ Е = ∠ В, но т.к. ∆ АВС –равнобедренный, то ∠ А = ∠ В ⇒ ∠ D = ∠ Е ⇒ ∆ СDЕ –равнобедренный.68В. 3. С-19.1.Нет, т.к. тогда они не пересекались бы.2.ABDCПо свойству сторон треугольника DB + CB > CD, но∆ BDA = ∆ DBC ⇒ CD = AB ⇒ BD + CB > AB.69В. 3. С-20.1..∠ ВСА = 90° – ∠ АВС = 35°; ∠ DСЕ = 90° – 35° = 55°∠ ВСD = 180° – 35° – 55° = 90° ⇒ ВС ⊥ DС.2.A20 см1500CA1B∠ АВС = 180° – 150° = 30° ⇒ ∠ САВ = 90° – 30° = 60° ⇒1⋅ 60° = 30°, т.к. АА1 – биссектриса ∆ САА1 –21прямоугольный ⇒ СА1 = АА1 = 10 см, т.к. ∠ САА1 = 30°.2⇒∠ САА1 =70В. 3. С-21.1.BDEKAPC∆ DKA = ∆ EPC по 2-м катетам ⇒ ∠ А = ∠ С ⇒ ∆ АВС –равнобедренный ⇒ АВ = ВС.2.BADB1CA1D1C1Т.к.

∆ АВС = ∆ А1В1С1, то ∠ А = ∠ А1 ⇒ ∆ ABD = ∆ A1B1D1 погипотенузе и острому углу ⇒ BD = B1D1.71В. 3. С-22.1.A450CDB∠ АСD = 45° ⇒ ∆ АDС – равнобедренный и АD = DС,но АВ > АD ⇒ АВ > DС.2.AMCNBа) Проведем через точку С прямую, перпендикулярную а, тогда онабудет перпендикулярна и b. Тогда ∆ АСМ = ∆ ВСN по гипотенузе иострому углу ⇒ СМ = CN.б) CN + CM = NM, но NM ⊥ a и NM ⊥ b, значит NM – расстояниемежду а и b.72В.

3. С-23.1.MBNCLADKОпустим перпендикуляры BL и АК на CD. Соединим точки В и К. ∆ВКL = ∆ KBA по катету и гипотенузе ⇒ ∠ А = ∠ L = 90° ⇒⇒ АВ || СD. Опустим перпендикуляры АМ и LN на ВС.∆ АМВ = ∆ DNC по катету и острому углу (∠ МВА = ∠ NCL, т.к.АВ || CD) ⇒ АВ = СD.2.PAaQbПостройте два перпендикуляра к а (Вар. 1, С-24.2) и отложите наних от а в одну сторону по отрезку длиной, равной QP. Проведитепрямую через полученные концы отрезков.

Обозначим ее b.73Проведите окружность с центром в точке Р и радиусом QP. Точкипересечения этой окружности с прямой и будут искомыми.В. 3. С-24.1.Постройте угол равный данному (В. 1, С-12.1). Разделите данныйотрезок пополам (В. 1, С-24.2) и полученный отрезок отложите отвершины одной из сторон угла.

А на другой – отрезок равныйданному ( тоже от вершины угла). Соедините концы этих отрезков.2. Постройте отрезок равный основанию. Проведите окружности сцентрами в концах этого отрезка и радиусом равным сумме длиныоснования и разности длин сторон (полагаю, что отрезок, длинакоторого равна сумме длин двух данных, вы сами сможетепостроить:)). Соедините одну из точек пересечения этихокружностей с концами отрезка.В.

3. С-25.1.ACBПостройте отрезок СВ, равный катету. В точке С проведите к немуперпендикуляр (В.1,С-24.2). Проведите окружность с центром В ирадиусом равным медиане. Точка пересечения окружности и74перпендикуляра будет серединой другого катета. На продолженииэтого отрезка за эту точку отложите такой же по длине отрезок исоедините другой его конец с точкой В.2.Проведите прямую. Отложите от нее угол равный данному (В. 1. С12.1).

В смежном ему проведите биссектрису (В. 2, С-12.2).Отложите от основания угол, равный половине смежного, два разатак, чтобы вершина одного совпадала с одним концом, а другого – сдругим концом основания. Точка пересечения других сторон угловдаст 3-ю вершину треугольника.В. 3. С-26.1.1) Т.к.

∠ АDB = ∠ ABD = 90°, то AD || BC, т.к. это внутренниенакрест лежащие углы.2) ∠ ВАD = 90° – ∠ АВD = 30° ⇒ АD = 2ВD = 8.4 < AD < 12 (следует из условия существования треугольника).753)BCEADПроведем срединную линию KЕ. АК = КD и ЕК ⊥ АD.Т.к. ЕК || BD ⇒ ∆ AED – равнобедренный, т.к. медиана и высотасовпадают ⇒ DE = EA.76В. 4. С-1.1.

6 отрезков: NE, NM, NF, EM, FM, EF.2. Да, пересекаются в точке F.3. N, т.к. она лежит на отрезке EF, а А нет.4.EMBNF775.EMNAFВ. 4. С-2.1.1)Неразвернутых 6. Развернутых 8.2)DCA782.DCAВ. 4. С-3.1.MCABmМС = АС – АМ = МВ – АМ = АВОтвет: равны.2.∠ ЕОС = ∠ СОА – ∠ ЕОА = ∠ СОВ – ∠ FOB = ∠ COF,следовательно, являются.79В. 4. С-4.1.40 см16 дмEPFQMПусть точки Q и Р расположены, как показано на рисунке, тогда ЕР11EF = 160 см – 120 см = 100 см, а221QF = MF – MQ = EF – MQ = 60 см – 40 см = 20 см.

Если точки21лежат наоборот, то ЕР = EF + MP = 60 + 160 = 220 (см),21QF = EF + MQ = 100 (см).2= МР – ЕМ = МР –2.FEAOB1) ∠ АОВ = ∠ АОЕ + ∠ ЕОВ = 4∠ АОЕ = 100° ⇒ ∠ АОВ = 25° и∠ ЕОВ = 75°.2) ∠ AOF = ∠ FOE – ∠ AOE = ∠ EOB – ∠ AOE = 50° – острый.80В. 4. С-5.1.KCBFAOТ.к. АО ⊥ ОВ, то ∠ АОВ = 90°. Пусть AF – биссектриса ∠ AOF,тогда ∠ AOF = ∠ FOB = 45°. Пусть ОК – биссектриса ∠ СОВ, тогда∠ FOK = 20° ⇒ ∠ FOB = 45° – 20° = 25° ⇒ ∠ CОВ = 2∠ КОВ == 50° ⇒ ∠ СОА = 90° – 50° = 40°.2.4X5XПусть меньший из углов равен 4х, тогда другой равен 5х, значит 4х+ 5х = 9х = 180° и х = 20°, т.е.

один угол 80°, а другой – 100°.81В. 4. С-6.1.∠ ВАD = 180° – ∠ FAB = 20°. Т.к. ∆ АВD = ∆ CBD, то∠ BCD = ∠ BAD = 20°.2.Р(АВС) = АС + 2АВ = 12 + 2АВ = 42 ⇒ АВ = 15 (см) ⇒⇒ Р(ВСD) = 3 АВ = 45 (см).82В. 4. С-7.1.∠ ЕВК = ∠ ЕСL, т.к. равны смежные им, тогда ∆ ВЕК = ∆ СЕL по 1му признаку ⇒ ∠ ELC = ∠ BKE = 110°.2.1) ∠ АСВ = 90° – ∠ ВСD = ∠DCE ⇒ ∆ ABC = ∆ DEC по 1-мупризнаку ⇒ АВ = DE.2) ∆ ACD = ∆ BCE ⇒ AD = BE ⇒ P(ABD) = AB + BD + DA == DE + BD + BE = P(BDE).83В.

4. С-8.1.∆ ADB = ∆ CDB по 1-му признаку ⇒ АВ = ВС ⇒ ∆ АВС –равнобедренный ⇒ ∠ ВАС = ∠ ВСА. Из равенства треугольниковследует также, что ∠ АВМ = ∠ СВМ ⇒ ВМ – биссектриса ⇒ ВМ –медиана ⇒ АМ = МС.2.∠ АОМ = 180° – 135° = 45° ⇒ ∠ МОВ = 45° (т.к. ОМ –биссектриса) ⇒ ВО ⊥ АС ⇒ ВО – биссектриса (т.к. АВ = ВС) ⇒⇒ ∠ АВО = ∠ СВО.84В. 4. С-9.1.Т.к. АВ = ВС то ∆ АВС – равнобедренный ⇒ ∠ А = ∠ С ⇒⇒ ∆ ADK = ∆ CEF по 2-му признаку ⇒ AD = EC.2.ABDCВН ⊥ АС, т.к. ∆ АВС – равнобедренный, то АН = НС. DK ⊥ AC, т.к. ∆ADC – равнобедренный, то АК = КС, значит К совпадает с Н ⇒ BD⊥ AC.85В. 4. С-10.1.ABEDПо задаче В.