ziv-geometria-gdz-7d (Решебник Геометрия 7 - 11 Погорелов), страница 8

После этого построим угол, равный разности прямого угла иугла nk. Угол, равный построенному, отложим от луча CD всторону, противоположную вершине B. Сторона этого углапересечет BD в точке A. ∆ABC – искомый.В. 8, С-26.1) ∆KOM = ∆POH по 3-м сторонам ⇒ ∠KOM = ∠POH.2) ∠POK = ∠KOM – ∠POM, ∠MOH = ∠POH – ∠POM ⇒⇒ ∠POK = ∠MOH ⇒ ∆POK = ∆MOH по 1-му признаку ⇒⇒ ∠KPO = ∠OMH. Но ∠POK + 2∠KPO = 180°, т.к.

∆PHO –равнобедренный ⇒ ∠POK + 2∠OMH = 180°.1893) PK = MH, т.к. ∆POK =∆MOH ⇒ ∆KPM = ∆HMP по 3-му признаку⇒ ∠KMP = ∠HPM. Аналогично ∠MKH = ∠PHK. Но т.к. поусловию ∠MPH = ∠MKH, то ∠KMP = ∠MKH ⇒ PM || KK.4) Опустим перпендикуляры OA и OB из точки O на KH и PM.Тогда OA < OB, AH = AK, PB = BM, т.к.

∆POM и ∆KOH –равнобедренные. Отложим на луче OA отрезок OC = OB. ПроведемCD ⊥ OA, DE || AC. ∆OBM = ∆OCD по катету и гипотенузе ⇒ MB =CD. С другой стороны, AE = CD, т.к. DC || AC. Но AE < AH ⇒ BM <AH и PM < KH.190Контрольные работыК-1, В-1.1.∠COB =1∠AOB = 45°.2∠BOD = 180° – ∠COB = 135°2.6,5A6,4CAB = AC + CB = 65 см – CB.⇒ AC > BDBDBC = BD + CB = 64 см + CB ⇒1913.MA500B300O400CDKа) ∠AOM = ∠AOB – ∠MOB = 50°∠COK = ∠COD – ∠KOD = ∠AOB – ∠KOD = 40°б) ∠MOB и ∠COK не являются вертикальными, т.к.

их градусныемеры не равны.4.одну, две или три точки192К-1, В-2.1.∠1 = 180° – ∠2 – ∠BOC = 20°2.BACB ==1AB2CDC =D1134AC = AB ⇒ BD = AB ⇒ AB = BD =24434153 = 204 (мм)33.HA400P40050E0BM193а) ∠PKA = ∠PKH – ∠AKH = 50°, ∠BKE = ∠MKE – ∠MKB = 40°б) Если бы точки A, K и B лежали на одной прямой, то ∠AKHравнялся бы ∠MKB как вертикальные углы, но эти углы не равны,значит не лежат.4К-1. В-3.1.∠AOK =∠DOK – ∠POA = 45°.

∠KOC = 180° – ∠DOK = 45° ⇒⇒ OK – биссектриса ∠AOC.1942.PKMHPK = PM – KM = 535 – KMMH = KH – KM = 535 – KM ⇒ MH = PK3.EOA1300500BPа) ∠AOD = 180° – ∠POB – 50°б) ∠EOB и ∠POA – вертикальные, т.к. они равны, имеют общуювершину и стороны одного являются продолжениями сторондругого.4.195МожноК-1, В-4.1.∠1 + ∠2 = 180° – ∠ab = 90°2.PE5 смK6 смM8 смПусть A – середина PE, B – середина KM, тогдаAB = AE + EK + KB =11PE + EK + KM = 2,5 + 6 + 4 = 12,5 (см) =22= 125 (мм)1963.MABOKа) Прямые OM и OK совпадают, т.к. к одной точке можно провеститолько один перпендикуляр ⇒ ∠MOB = ∠KOA как вертикальные.б) в п. а) указано, что точки M, O, K лежат на одной прямой, а т.к.∠AOM = 90°, то MK ⊥ AB.4. На шесть или семь197К-2, В-1.1.AO = OB, CO = OD, ∠COA = ∠BOP как вертикальные ⇒⇒ ∆AOC = ∆BOD по 2-м сторонам и углу между ними.2.Постройте прямую, параллельную данной и удаленную от нее нарасстояние, равное данному отрезку.

Любая точка этой прямойбудет искомой.1983.BKPMACEа) Т.к. ∆ABC – равнобедренный, то BM – биссектриса, т.о.∠PBM = ∠MBK ⇒ ∠BPM = ∠BKMб) ∆BMP = ∆BMK по 2-му признаку ⇒ BP = BK ⇒ ∆PBH = ∆KBH по1-му признаку ⇒ ∠BHP = ∠BHK ⇒ эти углы прямые ⇒ PK ⊥ BE.4.180180540Постройте прямой угол. Проведите в нем луч так, чтобы с одной изсторон он составлял 54°, тогда другой угол равен 36°. Разделите егопополам, получите угол в 18°. Ответ: можно.199К-2, В-2.1.∠ABD = ∠CBD, ∠ADB = ∠CDB, BD – общая ⇒ ∆BDA = ∆BDC постороне и прилежащим к ней углам.2.Проведите прямую. Проведите к ней перпендикуляр.

Проведитеокружность с центром в точке пересечения и радиусом, равнымданному отрезку. Отрезки, соединяющие точки ее пересечения спрямыми, будут искомыми.2003.BOACа) Т.к. AO = OC, то ∠OAC = ∠OCA, ∆ABO = ∆CBO по 1-му признаку⇒ ∠BAO = ∠BCO и ∠ABO = ∠CBO∠BAC = ∠BAO + ∠OAC = ∠BCO + ∠OCA = ∠BCAб) Т.к. ∠BAC = ∠BCA, то ∆ABC – равнобедренный. Т.к. BO –биссектриса, то BH – медиана ⇒ BO проходит через середину AC.4. Постройте прямой угол и разделите его на восемь частей.201К-2, В-3.1.∆ABD = ∆CBD по 3-м сторонам, т.к. BD – общая.2.Разделите данный отрезок пополам.

Проведите окружность сцентром в вершине угла и радиусом, равным половине данногоотрезка. Любая точка этой окружности – искомая.2023.BHMKPACа) Т.к. ∆ABC – равнобедренный, то BP – биссектриса, т.к.∠MBP = ∠KBP ⇒ ∆MBP = ∆KBP по 1-му признаку ⇒⇒ ∠BMP = ∠BKPб) ∆MBP = ∆KBP ⇒ MP = PK и ∠MPB = ∠KPB ⇒ ∆HMP = ∆HKP по1-му признаку ⇒ ∠KMP = ∠PKM.4. Постройте угол в 3 × 34° = 102°.

Постройте перпендикуляр кодной из его сторон. Оставшийся угол равен 102° – 90° = 12°.120340203К-2, В-4.1.AO = OD = OB = OC как радиусы, ∠COB = ∠AOD как вертикальные⇒ ∆AOD = ∆BOC по 2-м сторонам и углу между ними.2.Постройте угол, равный данному. Проведите окружность с центромв вершине угла и радиусом в половину данного отрезка. Точки еепересечения со сторонами угла искомые.2043.BHMAKCPа) Т.к. ∆ABC – равнобедренный, то ∠A = ∠C ⇒ ∆AMP = ∆CKP по 2му признаку ⇒ MP = KP.б) AB = BC и AM = KC ⇒ BM = BK. Из ∆AMP = ∆CKP ⇒ AP = PC ⇒⇒ BH – биссектриса ⇒ ∆MBH = ∆KBH по 1-му признаку ⇒⇒ ∠MHB = ∠KHB = 90° ⇒ BP ⊥ MK.4. Постройте прямой угол. Разделите его на 4 части.

Возьмите 3 изних.205К-3, В-1.1.Т.к. ∠1 + ∠2 = 180°, то a || b ⇒ ∠3 = ∠4 ⇒ ∠4 = 50°.2.Нет, т.к. тогда они тоже были бы параллельны, но онипересекаются.2063.B520P510T520CAMа) т.к. ∠ABC =∠ATM, то TM || BC ⇒ ∠TMP = ∠MPC = 51°.б) ∠BTM = 180° – 52° = 128°, ∠BTM + ∠TMP = 128° + 51° == 179° ≠ 180° ⇒ BT не параллельна PM ⇒ они пересекаются.4.Приложите полосу одной стороной к одной стороне угла. Вдольдругой проведите прямую. Приложите теперь полосу к другойстороне угла и вдоль другой ее стороны проведите прямую. Уголмежду двумя этими прямыми равен данному.207К-3, В-2.1.Т.к. ∠1 =∠2, то a || b ⇒ ∠3 + ∠4 = 180° ⇒ ∠4 = 40°.2.ABCДа, т.к. иначе эта прямая была быпересекающимсяпрямым.Исключениеразвернутый угол.параллельнасоставляетдвумлишь2083.EKDAB4901430Pа) ∠ABE = ∠PCD = ∠ACK ⇒ BE || CP.б) ∠CBP ≠ ∠ECB ⇒ BP не параллельна CE ⇒ они пересекаются.4.Проведите прямые вдоль каждой стороны полосы.

Проведитепрямую, пересекающую обе прямых.209К-3, В-3.1.Т.к. ∠1 = ∠2, то a || b ⇒ ∠3 = ∠4 ⇒ ∠4 = 120°.2.abcТ.к. a || b и b || c, то a || c ⇒ a и c не имеют общих точек.2103.BA1170CDа) Т.к. AC и BC перепендикулярны к одной прямой, то онипараллельны ⇒ ∠CAB + ∠ABD = 180° ⇒ ∠ABD = 63°.б) ∠BAC + ∠ACD ≠ 180° ⇒ AB не параллельна CD ⇒ онипересекаются.4.bca211Вдоль сторон угла проведите прямые a и b. Приложите угол однойстороной к прямой b и проведите прямую c во внутреннюю область∠ab.

Выберите по отрезку на прямых a и c.К-3, В-4.1.Т.к. ∠1 = ∠2, то a || b ⇒ AB ⊥ b, т.к. AB ⊥ a и a || b ⇒ ∠3 = 90°.2.cabОдну, т.к. иначе через точку пересечения a и c проходило бы двепрямых, параллельных данной.2123.DB137A0450Cа) ∠ABD – ∠BAC = 180° ⇒ BD || AC ⇒ ∠BDC + ∠DCA = 180° ⇒⇒ ∠DCA = 135°б) ∠BAC + ∠DCA = 135° + 43° = 178° ≠ 180° ⇒ AB не параллельнаDC ⇒ они пересекаются.4.Приложите угол одной стороной к одной из прямых, а вдоль другойпроведите прямую до пересечения с другой прямой. С помощьюданного угла проверьте, равны ли внутренние накрест лежащиеуглы.213К-4, В-1.1.A500700600CB∠A = 180° – ∠B – ∠C = 30° ⇒ ∠B > ∠A ⇒ AC > BC.2.BP?AТ.к.

AC =C1BC, то ∠B = 30°.2MK∆ABC = ∆MPK по гипотенузе иострому углу ⇒ ∠P = ∠B = 30°.2143.BA150DCа) ∠BDA = ∠DBC + ∠C = 30° ⇒ BD = 2AB.б) BC < BD + DC = 2BC = 4AB.4.Т.к. все стороны треугольника имеют разные длины ⇒ все его углыразличны ⇒ один из углов меньше 60° ⇒ при любом резаньи одиниз образовавшихся треугольников будет иметь угол меньше 60° ⇒не будет равносторонним ⇒ нельзя.215К-4, В-2.1.C1200A400200BТретий угол равен 180° – 120° – 40° = 20° ⇒ ∠C = 120°, ∠B = 20°,∠A = 40°, т.к. напротив большей стороны в треугольнике лежитбольший угол.2.

∆ABC = ∆MKP ⇒ ∠K = ∠B = 30° ⇒ KM =1KP.23.ADCB216а) ∠DBC = 60° ⇒ CD = DB = CB. ∠ADB = 120° ⇒ ∠DAB = 30° ⇒⇒ AD = DB = CB.б) Р(ABC) = BC + CD + DA + AB = 3BC + AB < 3BC + BD + DA == 5BC.4. Да, любые 4 равных равнобедренных треугольника.К-4, В-3.1. Пусть ∠A = 20° ⇒ ∠C = 20° ⇒ CB = BA.2. AB + BC > AC, но BC = PK ⇒ AB + PK > AC.3.а) ∠A = 90° – ∠C. ∠DBC = 90° – ∠C ⇒ ∠A = ∠DBC.б) Аналогично доказывается, что ∠ABD = ∠C.Т.к. если ∠ABD > ∠DBC, то AD > DC, то и если ∠A < ∠C,то AD > DC.4.Можно. Разрезать по линии, составляющей 60° с меньшим катетомтреугольника с углами 90°, 60°, 30°.К-4, В-4.1. Они равны по катету и острому углу.2.

AB < CB = 2AC, т.к. ∠B = 30°.3.а) ∠MHC = 180° – ∠M – ∠C = 180° – ∠B – ∠C = ∠Aб) Если MH < CM, то ∠C < ∠H ⇒ ∠C < ∠A ⇒ AB < BC4. Треугольник можно разрезать на два треугольника толькопрямым разрезом, проходящим через вершину. Пусть отрезок AM(M ∈ BC) разделил разносторонний ∆ABC на два равных ∆AMB и∆AMC ⇒ ∠B = ∠C ⇒ AB = AC, чего быть не может ⇒ нельзя.К-5, В-1.1.217а) ∠B = 180° – 2∠45° = 90° ⇒ ∆ABC – прямоугольный иравнобедренный.б) ∆ADB = ∆CDB по 1-му признаку.в) BK и DC перпендикулярны к DB ⇒ они параллельны ⇒ непересекаются.г) ∠CBK = 90° – 45° = 45°.

∠KBH = 90° – ∠CBK = 45° ⇒⇒ BK – биссектриса внешнего угла при вершине A.д) Нет, т.к. ∆AED = ∆CED по 3-м сторонам ⇒⇒ ∠EDA = ∠EDC = 90° ⇒ E ∈ BD.К-5, В-2.1.а) CB = 180° – ∠A – ∠B = 60° ⇒ ∆ABC – равносторонний.б) Они равны по 1-му признаку.в) ∠BMH =1(180° – ∠B) = 60° = ∠A ⇒ MH || AC.2г) ∆MBH = ∆MKH ⇒ равны и их высоты BQ и QK ⇒ расстояние отB до MH равно расстоянию от MH до AC.д) Постройте к каждой стороне серединный перпендикуляр. Точкаих пересечения будет искомой.К-5, В-3.1.а) ∠B = 180° – ∠A – ∠C = 90° ⇒ ∆ABC – прямоугольный.б) ∠ACB = ∠CAM (т.к.

AM || BC), ∠MCA = ∠BAC (т.к. AB || CM) ⇒⇒ ∆ABC = ∆CMA по 2-му признаку.в) Т.к. BC || MA, то ∠A + ∠B = 180° ⇒ AB ⊥ MA.Аналогично доказывается, что BC ⊥ MC, CM ⊥ MA.г) Т.к. AB =1AC = AO, то ∠AOB = ∠ABO. Т.к. ∠BAO = 60°, то2∠AOB = 60°.д) Т.к. ∆AOB – равносторонний, то AO = OB = OC.Т.к. ∆ABC = ∆CMA, то BO = MO ⇒ AO = BO = CO = MO ⇒ можно:окружность с центром O и радиусом OA.К-5, В-4.1.а) ∆AOD – равносторонний. Постройте отрезок OP. Проведите кнему серединный перпендикуляр. Отметьте на нем точку A.Проведите AO и AD. На продолжении AO и OD отложите OC = ODиOB = OA.б) ∆AOD = ∆COB по 1-му признаку ⇒ ∠D = ∠C ⇒ AD || BC.218в) OM < AO = OC ⇒ OM < OCг) ∆AOC = 180° – 60° = 120° ⇒ ∠OAC = ∠CAO =1(180° – 120°) =2= 30° ⇒ ∠EAC = ∠ECA = 60° ⇒ ∠AEC = 60°.д) MO = OH (это следует из равенства ∆AOD и ∆COB). А посколькуэто медиана ⇒ это и высота ⇒ точки M, O, H лежат на однойпрямой ⇒ точка O – середина ∆BMH.Математические диктантыМД-1, В-1.1.ACBТочка A.2.

5 лучей.2193.AKMNOB4.а) Серединой отрезка называется точка, лежащая на отрезке иравноудаленная от его концов.б) ∠MOB = ∠MOC + ∠COB = ∠AOB + ∠COB > ∠AOM.5.4 смAB6 смC220BC = AC – AB = 6 (см).6.BСAНет, т.к. AC < AB + BC7.700160° = x + (x + 20°) ⇒ x = 70°. Ответ: 90° и 70°.8.221∠MOB =11∠MOB = (180° – ∠AOC) = 70°229.∠COD10.Нет, т.к.