ziv-geometria-gdz-11g (Решебник Геометрия 7 - 11 Погорелов), страница 3

Дано: ∆ABC, ∠ABC =B120°, AB = BC, AC = 4 3 , AC —ось вращения.Найти: Sтела вр..Решение:Опустим высоту BH.AВ ∆ABH ∠H = 90°, ∠A = 30°, AH =CHAC=2 3 ⇒2AH2 3⋅2AB= 2; ∆ABH = ∆CBH== 4; BH =cos 30°23⇒ Sтела вр. = π[Aβ ⋅ BH + BC ⋅ BH] = π ⋅ 2AB ⋅ BH = 16π.Ответ: 16π.2. Дано: DABC — правильная пирамида,Dвокруг DABC описан конус, AB = a, DH —высота, ∠DAH = 30°.Найти: Sбок. конуса.Решение:a 3В ∆ABC AH =.3AB =Из ∆AHD AD == Rконуса ⇒Sбок.

конуса20=AHa 3 ⋅ 2 2a=; AH=cos 30°33 3π⋅AD⋅AH=πBAHC⋅2a a 3 2a 2 π 3.⋅=933С—101. Дано: сфера, O(0, 0, 4) — центр, A( 2 2 , 0, 5) ∈ сфере.1) Написать уравнение сферы.Решение:Уравнение сферы x2 + y2 + (z – 4)2 = R2.A ∈ сфере ⇒ 8 + (5 – 4)2 = R2; 8 + 1 = R2 ⇒ R = 3.Уравнение сферы: x2 + y2 + (z – 4)2 = 9.2) Выяснить, принадлежат ли сфере точки B(3, 1, 5), C(0, 5 , 6).Решение:Подставим координаты точек в уравнение сферы:B: 32 + 12 + (5 – 4)2 = 10 + 1 = 11 ≠ 9 ⇒ B ∉ сфере.C: 5 + (6 – 4)2 = 5 + 4 = 9 = 9 ⇒ C ∈ сфере.2.

Дано: ABCD — квадрат, AB, BC, CD,OAD касаются сферы, AC = 10 2 , O — центрсферы, AC ∩ BD = H, OH = 12.Найти: Rсферы.Решение:B1AH = AC = 5 2 .H2Из прямоугольного равнобедренного AED∆AEH EH = r = 5.CИз прямоугольного ∆EHO EO = r = EH 2 + HO 2 = 13.Ответ: 13.С—111. Дано: шар(O, R), сечение(O1, r), S((O1r))= 25π, OO1 = 12.Найти: Sшара.Решение:ORшара = OO12 + r 2 . Но S((O1, r)) = πr2 = 25π⇒ r2 = 25.Rшара = 144 + 25 = 13 ⇒ Sшара = 4πR2 = 4π ⋅169 = 676π.Ответ: 676π.2. Дано: шар(O, R), плоскость α ∩ шар =окружность(O1, r), AC — диаметр шара, A ∈окружности, AB — диаметр окружности, ∠OAB= 45°, AC = 4 2 .Найти: lлинии пересечения.O1CO21AO1BРешение:1= 2 2 ; ∠AOB = 2∠ACB (т.к.

центральный и вписанный2углы опираются на одну хорду AB).Из ∆ACD ∠ABC = 90°, т.к. опирается на диаметр ⇒ ∠ACB = 45° ⇒∠AOB = 90°.AO = R = AC ⋅Из ∆AOB AB = AO 2 = 4 ⇒ AO1 = 2 = r⇒ lлинии пересечения = 2πr = 2π ⋅ AO1 = 4π.Ответ: 4π.С—121.

Дано: DABC — правильная пирамида, AC = 4, BE ⊥ AC, ∠DEB = 60°. В DABCвписана сфера.Найти: rсферы.Решение:Опустим высоту DH. ∆DEH достроимдо равностороннего ∆DEF.3Из ∆ABC BE = AC=2 3. H —2DBAточка пересечения медиан ∆ABC ⇒ HB = EF =EFHC24 3.FB =33В ∆DEF вписан большой круг сферы.3 16 3 4 3 1= ⋅S(EDF) = EF2== P(EDF) ⋅ r.43 432P(EDF) = 3EF = 4 3 ⇒ r =Ответ:2S8 32== .P 3⋅ 4 3 32.32. Дано: ABCDA1B1C1D1 — правильная призма, AB = 2, AA1 = 2 2 . Вокруг призмы описана сфера.B1C1Найти: Sсферы.Решение:AЦентр сферы — т. O — точка пересе- 1D1чения BD1 и B1D.OОпустим перпендикуляр OH на ABCDCB H(H = AC ∩ BD).A1DOH = A1A = 2 ; AC = AB 2 = 2 2 ;21AH = AC = 2 .222OA — радиус сферы.Из ∆AHO AO = AH 2 + OH 2 = 2 + 2 = 2⇒ Sсферы = 4π ⋅ AO2 = 16π.Ответ: 16π.С—131.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед, AB : AD : AC1 = 1 : 2 : 3, AA1 = 4.Найти: V(ABCDA1B1C1D1).Решение:Пусть AB = a, тогда AD = 2a, AC1 = 3a.B1C1D1А1BCАDAC1 = AB 2 + AD 2 + AA12 = a 2 + 4a 2 + 16 = 3a .a2 + 4a2 + 16 = 9a2; 4a2 = 16, a = 2.AB = 2, AD = 4 ⇒ V = AB ⋅ AD ⋅ AA1 = 2 ⋅ 4 ⋅ 4 = 32.Ответ: 32.2. Дано: ABCA1B1C1 — прямая призма,AB = AC, ∠BAC = 90°, ∠B1CB = 45°, CB1 = A112.Найти: Vпризмы.Решение:CBИз ∆B1BC BB1 = CB = 1 2 = 6 2 .2AПроведем AK ⊥ CB.1В ∆ABC AK = CK = KB = CB = 3 2211⇒ S(ABC) = AK ⋅ CB = ⋅ 3 2 ⋅ 6 2 =2218.Vпризмы = BB1 ⋅ S(ABC) = 6 2 ⋅ 18 = 108 2 .B1C16 212B3 2K6 2CОтвет: 108 2 .С—141. Дано: ABCA1B1C1 — прямая призма, AB = BC = 10, ∠ABC = 30°, EF ⊥AA1, (A1EFA) ⊥ BB1C1C), ∠A1FA = 45°.B1A1Найти: Vпризмы.Решение:EC1111S(ABC) = AB ⋅ BC ⋅ sin30° = ⋅ 100 ⋅ =222125 = BC ⋅ AF = 5AF ⇒ AF = 5.BA2FИз ∆A1AF A1A = AF = 5 ⇒ Vпризмы = AA1 ⋅S(ABC) = 5 ⋅ 25 = 125.CОтвет: 125.232.

Дано: цилиндр, O1O2 — ось, ABCD — сечение, (ABCD) || O1O2, O1K ⊥ AB, O1K = 15, BD =20, O1A = 17.Найти: Vцилиндра.Решение:Из∆O1AKAKBA= O1 A2 − O1K 2 = 289 − 225 = 64 = 8.AB = 2AK = 16.ИзKO1C∆BADO2ADD= BD 2 − AB 2 = 400 − 256 = 144 = 12⇒ Vцил. = π ⋅ O1A2 ⋅ AD = π ⋅ 289 ⋅ 12 = 3468π.Ответ: 3468π.С—151.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — наклонный параллелепипед, ABCD — ромб,BD = 6, A1B ⊥ (ABCD), A1B = 5 3 , ∠A1AB= 60°.Найти: V(ABCDA1B1C1D1).Решение:Из прямоугольного ∆A1BA AB = A1B ⋅3= 5.tg30° = 5 3 ⋅3B1A1C1D1BCOADBD⎛⎞Из ∆AOB AO = AB 2 − BO 2 = 25 − 9 = 4 ⎜ BO == 3⎟ ;2⎝⎠11AC = 2AO = 8 ⇒ S(ABCD) = BD ⋅ AC = ⋅ 6 ⋅ 8 = 24.22V(ABCDA1B1C1D1) = A1B ⋅ S(ABCD) = 5 3 ⋅ 24 = 120 3 (A1B — высотапараллелепипеда).A1B1Ответ: 120 3 .2. Дано: ABCA1B1C1 — призма, E ∈FC1CC1, F ∈ BB1, AE ⊥ CC1 AF ⊥ BB1, K ∈KEF, A1K ⊥ (BB1CC1), A1E = A1F = 13, A1KE= 5, AA1 = 10.Найти: Vпризмы.ABРешение:Докажем, что K ∈ EF. По теореме оCтрех перпендикулярах KF ⊥ BB1 и CC1 иKE ⊥ CC1 и BB1 ⇒ EK и KF — однапрямая ⇒ K ∈ EF.

Причем ∆EA1F — равнобедренный.Из прямоугольного ∆EKA1: EK = A1E 2 − A1K = 169 − 25 = 12 ⇒⇒ EF = 2EK = 24.2411EF ⋅ A1K = ⋅ 24 ⋅ 5 = 60.22Vпризмы = AA1 ⋅ S(A1EF) = 10 ⋅ 60 = 600.Ответ: 600.S(A1EF) =С—161. Дано: MABCD — правильная пирамида, AC = d, MH — высота, MK ⊥ AD,∠MKH = α.Найти: V(MABCD).Решение:1dAH = AC = .22Из ∆AKH AK = KH =d 2.4d 2tgα.Из ∆KHM HM = KH ⋅ tgα =41S(ABCD) = d2.2MBCHADK11 d 21d 3 tgα 2tgα ⋅ d2 =.V(MABCD) = MH ⋅ S(ABCD) = ⋅2433 42d 3 + tgα 2D.242. Дано: DABC — пирамида, AB = BC =Ha, ∠ABC = α, BD ⊥ (ABC), DE ⊥ AC, ∠BED= β.Найти: V(DABC).Решение:Ba 2 sin α1.S(ABC) = AB ⋅ BC ⋅ sinα =22ααИз ∆BEC BE = BC ⋅ cos = acos .22αИз ∆DBE DB = BE ⋅ tgβ = acos tgβ2a 2 sin α11α=⇒ Vпирамиды = DB ⋅ S(ABC) = ⋅ acos tgβ ⋅2233αa 3 cos sin αtgβ2.=6Ответ:AEC25αa 3 cos sin αtgβ2Ответ:6С—171.

Дано: конус, D — вершина, DH — вы-Dсота, DAB — сечение, AB = 6 3 , ∠AHB =120°, K ∈ AB, AK = KB, ∠HKD = 45°.Найти: Vконуса.Решение:ABAK ==3 3.2Из ∆AKH AH =HK =3 3⋅2AK== 6 = R.cos 30°3BH1AH = 3.2Из ∆HKD HD = HK = 3 ⇒ Vконуса =KAπ⋅ DH ⋅3π⋅ 3 ⋅ 36 = 36π.3Ответ: 36π.2. Дано: MABCD — правильная пирамида. Вокруг MABCD описан конус.VНайти: конуса .VпирамидыAH2 =MРешение:Пусть AB = a ⇒ BH =VконусаVпирамидыBa 2= R ⇒2Ha2πSкругаπ== 22 = .aS ( ABCD)2Ответ:ADπ.2С—181.

Дано: ABCA1B1C1 — правильнаяусеченная пирамида, A1B1 = 4 3 , AB= 8 3 , E ∈ C1B1, F ∈ CB, S(AA1EF) = 54,C1E = EB1, CF = FB.Найти: Vпирамиды.Решение:26CA1B1O1EC1AO2BFCПусть O1, O2 — центры ∆A1B1C1 и ∆ABC; O1O2 — высота.3= 6.В ∆A1B1C1 A1E = A1B1 ⋅2В ∆ABC AF = AB ⋅S(AA1EF) =3= 12.21(A1E + AF) ⋅ O1O2 = 9 ⋅ O1O2 = 54 ⇒ O1O2 = 6.2S(ABC) = AB233= 64 ⋅ 3 ⋅= 48 3 .44S(A1B1C1) = A1B1233= 16 ⋅ 3 ⋅= 12 3 ⇒ V(ABCA1B1C1) =441= O2O1 ⋅ (S(ABC) + S(A1B1C1) + S ( A1B1C1 ) ⋅ S ( ABC ) )=31= ⋅ 6 ⋅ (48 3 + 12 3 + 3 ⋅ 48 ⋅ 12 ) = 2 ⋅ (60 + 24) 3 = 168 3 .3Ответ: 168 3 .2.

Дано: усеченный конус, ABCD —Bосевое сечение, O1O2 — ось, O1O2 = 5,BD = 13, BO1 : AO2 = 1 : 2.Найти: Vконуса.Решение:1S(ABCD) = S(ABD) + S(BCD) = OO121AH⋅ AD + O1O2 ⋅ BC =2= OO1(BO1 + AO2) = OO1 ⋅ 3BO1.Опустим высоту BH. Из прямоугольного ∆BHD:O1O2CDHD = BD 2 − BH 2 = 169 − 25 = 12 (BH = O1O2).AD − BC BC AD3BC== 12 == 12 ⇒ BC =Но HD = BC + AH = BC ++22221AD=88 ⇒ AD = 2BC = 16; BO1 = BC = 4, AO2 =22ππ⇒ Vконуса = O2O1 ⋅ (BO12 + AO22 + BO2 ⋅ AO2) = ⋅ 5(16 + 64 + 32) =33π560π= ⋅ 5 ⋅ 112 =.33560π.Ответ:3С—19271. Дано: шар, Vшара =32π.3Найти: Sполушара.Решение:432πVшара = πR3 =⇒ R3 = 8 ⇒ R = 2.33Sполушара = 2πR2 = 8π.Ответ: 8π.2.

Дано: конус, ∆ABC — осевое сечение,AB = BC = AC. Вокруг конуса описан шар.VНайти: конуса .VшараРешение:Опустим высоту BH. Пусть AB = a ⇒ BHa 3.=2Если O — центр ∆ABC, то BO =ππ a 3 a 2 πa 3 3⋅,⋅ BH ⋅ AH2 = ⋅=243 243Vконуса =4π4π a 3 ⋅ 3 3 4πa 3 3=⋅ BO3 =⋅272733VконусаVшараОтвет:=OA2a 3a= R. AH = .BH =323Vконуса =⇒Bπa 3 3 ⋅ 279=.24 ⋅ 4πa 3 3 329.32ДС1. Дано: A(2, m, –1), B(1, 2, m), плоскость α: 2x – 3y + z – 1 = 0.Найти: m такое, что α || AB.Решение:GGAB (–1, 2 – m, m + 1), n (2, –3, –1) ⊥ α ⇒ n ⊥ AB , т.е.7G( n ⋅ AB ) = –2 – 6 + 3m + m + 1 = 0; 4m = 7, m = .47Ответ: при m = .42.

Дано: плоскость β: 2x – 2y + z – 3 = 0; A(–1, 2, 1), B(2, –1, –2).Найти: угол α между AB и β.Решение:28CπG– γ, где γ — угол между AB и n (2, –2, 1) ⊥ β.2JJJGJJJGGAB (3, –3, –3); | AB | = 3 3 ; | n | = 3;JJJG GJJJGG( AB ⋅ n ) = 6 + 6 – 3 = 9 = | AB | ⋅ | n | ⋅ cosγИскомый угол α равен⇒ cosγ =Ответ:33π, γ = arccos⇒ α = – γ.332π3− arccos.2329Вариант 3С—11. Дано: тетраэдр DABC, ∠ACB = 90°, ∠BAC = 30°, AB = 10, DB ⊥ ABC,ADC ∠ABC = 60°.zD1) Найти: вершины — ?Решение:C = (0, 0, 0).BC = AB ⋅ sin∠BAC = 5 ⇒ B = (–5, 0, 0).AC = AB ⋅ cos∠BAC = 5 3 ⇒ A = (0,B− 5 3 , 0).∠DCB = 60° (по теореме о трех перпендикулярах)⇒ DB = CB ⋅ tg60° = 5 3 ⇒ D = (–5, 0,ACxy5 3 ).2) Найти: CM — ? (M — точка пересечения медиан ∆ADB)Решение:Найдем середину стороны AB (т. M1).⎛ 5 5 3 ⎞⎛5 5 3⎞; 0 ⎟⎟ ⇒ DM 1 = ⎜⎜ ; −; −5 3 ⎟⎟ ⇒M1 = ⎜⎜ − ; −22⎝ 2⎠⎝2⎠⇒⎛ 5 5 3 10 3 ⎞⎛ 10 5 3 5 3 ⎞2DM 1 = ⎜⎜ ; −;−;−⎟⎟ ⇒ M = ⎜⎜ − ; −⎟ ⇒33 ⎠33 ⎟⎠3⎝3⎝ 3⎛ 10 5 3 5 3 ⎞10 G 5 3 G 5 3 G⇒ CM = ⎜⎜ − ; −;j+k.⎟⎟ = − i −333333⎝⎠JJGJJJGJJJG2.

Дано: OA = (1; –1; 2), OB = (3; –2; 4), OC = (5; –3; 6).Найти: лежат ли точки A, B, C на одной прямой.Решение:JJG JJJGOA – OB = (–2; 1; –2) = BAJJJG JJJGOB – OC = (–2; 1; –2) = CBJJGJJGBA коллинеарен CB ⇒ B, A и C лежат на одной прямой.С—21. Дано: ∆ABC — равнобедренный (AC = CB), A = (1, –2, 1), B = (3, 2, –3), C ∈ оси ординат.Найти: S∆ABC.Решение:Т.к. C ∈ Oy ⇒ C = (0, y, 0) ⇒ 1 + ( y + 2) 2 + 4 = 9 + ( y − 2) 2 + 9 , y=2.C = (0, 2, 0).30H ∈ AB, CH ⊥ AB ⇒ CH = 4 + 4 + 1 = 3 (H совпадает с серединой AB,т.к. ∆ABC — равнобедренный).AB ⋅ CH= 9.AB = 4 + 16 + 16 = 6 ⇒ S∆ABC =2Ответ: 9.GG2. Дано: a сонаправлен b = (–2, 2, 1).GGНайти: a , если | a | = 12.Решение:GGa = k ⋅ b , где k — действительное число, ∈ R.GG|k| 4 + 4 + 1 = 12 ⇒ |k| = 4, k = ±4, но т.к.