ziv-geometria-gdz-11g (Решебник Геометрия 7 - 11 Погорелов), страница 22

Дано: цилиндр, O1O2 — ось, ABCD — сечение, ABCD || O1O2, ∠AO1B= 2α, угол между AC и O1O2 = ϕ. Расстояние от AC до O1O2 равно d.Найти: Vцилиндра.AO1BDO2CРешение:Расстояние между O1O2 и AC равно AH — высоте ∆AO1B. А угол ϕ между AC и O1O2 равен ∠ACB.Из ∆O1HA: AH = O1H ⋅ tgα = dtgα ⇒ AB = 2AH = 2dtgα.AB 2dtgα.Из ∆ABC: L = BC ==tgϕtgϕ222O1Hd=.cos α cos α2dtgα2πd 3 tgαd2.=⋅⇒ Vцилиндра = πR2L = π ⋅2cos α tgϕcos 2 α ⋅ tgϕИз ∆O1HA: O1A = R =2πd 3 tgα.cos 2 α ⋅ tgϕ3*. Дано: DABC — правильная пирамида, DH — высота, BM — медиана∆ABC, ∠DMH = 60°, HK ⊥DM, HK = 2 3 , в DABC вписан шар, плоскость αпроходит через точки касания боковой поверхности.Найти объем меньшей части шара.Ответ:DPSOK60°MHRРешение:Рассмотрим осевое сечение DMB. Достроим прямоугольный ∆MHD доMHравнобедренного ∆MDR: MD = DR == 8 = MR.cos 60°В ∆MDR вписан большой круг шара, MR = 2MH = 8, DH = 4 3 .1S(∆MDR) = DH ⋅ MR = 16 32r = PO = OH = MH ⋅ tg30° = MH ⋅ tg∠OMH =Из ∆POS SO =12 3PO =23Hсеч = r − SO =2 33Vсеч = π ⋅4 334 − 3 ⎛ 4 3 2 3 ⎞ 4π 3−.⎜⎟=9 ⎜⎝ 39 ⎟⎠27Вариант 22231.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — правильная призма, AC ∩ BD = M, ∠C1MC =45°, CH ⊥ C1M. CH = 4 2 .Найти V(ABCDA1B1C1D1).A1B1C1D1KHBAMDCРешение:В ∆C1CM: CH = C1H = HM = 4 2 ⇒ CM = C1C = 8.1В ∆CMD CM = DM – 8 = AC.2112S(ABCD) = AC = ⋅ 256 = 128.22Vпризмы = C1C ⋅ S(ABCD) = 8 ⋅ 128 = 1024.2. Дано: конус, B — вершина, BMN — сечение, AC — диаметр основания, AC ⊥ MN, BH — высота,∠MHN = 2α, ∠BPH = ϕ, AH = R.Найти: Vконуса.BNAPHMРешение:Из ∆HPN: HP = HN ⋅cosα = Rcosα,Из ∆BHP: BH = HP ⋅ tgϕ = Rcosα ⋅ tgϕBHπR 3⇒ Vконуса = π ⋅⋅ R2 =⋅ cosαtgϕ.33224C3*.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — правильная призма, AC ∩ BD = M, ∠C1MC= 45°, CH ⊥ C1M. CH = O E , вокруг призмы описан шар, K ∈ DB1, DK : KB1= 3 : 1, α ⊥ DB1, K ∈ α.Найти: Vсегмента (меньшего).Решение:dсферы = DB1 = BD 2 + C1C 2 = 256 + 64 = 8 5 = 2R ⇒ R = 4 5 ,KB1= 2 5 ; Hсегмента = R – KB1 = 2 5 .Vсегмента = πH2a= π ⋅ 202 0 4 8 3 = 20π ⋅ 10 5 =327C B1.Вариант 31. Дано: PABCD — правильная пирамида, PH — высота, MH ⊥ AD,∠PMH = 60°, K ∈ HP, HK = KP, LK ⊥ MP, LK = 2.Найти: V(PABCD).PKLUKBNCOAMHDРешение:Из прямоугольного ∆PLK: PK = 2LK = 4 ⇒ PH = 8.8 3 1= AB ⇒Из прямоугольного ∆PHM: MH = PH⋅tg30° =32AB =16 3.318 256 2048V(PABCD) = PH ⋅ AB2 = ⋅.=33 392.

Дано: цилиндр, O1O2 — ось, ABCD — сечение, ABCD || O1O2, ∠AO1B= ϕ, AC = 2m, расстояние между O1O2 и AC равно m.Найти: Vцил..225AO1HBDO2CРешение:O1H = m. Из ∆O1HA:ϕϕAH = O1H ⋅ tg = mtg ;22O1HmO1A === R;ϕϕcoscos22ϕAB = 2AH = 2mtg .2Из ∆ABC:ϕBC = L = AB + AC = 4m − 4m tg= 2m2222Vцил. = πBC ⋅ O1A = π ⋅ 2m222ϕϕ− cos 222 .ϕcos2− sin 2ϕϕ− cos 2222 ⋅ m =ϕϕcos 2cos22− sin 2ϕϕ− cos 222 = 2πm3 cos ϕ .= 2πmϕϕcos3cos3223*. Дано: PABCD — правильная пирамида, PH — высота, MH ⊥ AD,∠PMH = 60°, K ∈ HP, HK = KP, LK ⊥ MP, LK = 2. В PABCD вписан шар.Точки касания образуют плоскость α || ABCD, α отсекает сегмент от шара.Найти: Vменьшего сегмента.Решение:3226sin 2PH = 8; MN = AB =16 3. Из ∆MHP:316 3⇒ ∆MNP — равносторонний3PH 81 4⇒ PO : OH = 2 : 1 ⇒ OH = R == ; h = HO ⋅ = .332 3h1684π⋅1620320π 320π⎛⎞⎛⎞⇒ Vсегм.

= πh2 ⋅ ⎜ R − ⎟ = π ⋅ ⋅ ⎜ − ⎟ =.⋅==3939998181⎝⎠⎝⎠320π.Ответ:81MP = 2MH = MN =Вариант 41. Дано: ABCA1B1C1 — правильная призма, A1BC — сечение, M ∈ BC,BM = MC, ∠A1MA = 45°, AK ⊥ A1M, K ∈ A1M, AK = 2.Найти: V(ABCA1B1C1).A1B1LC1KBAMCРешение:В прямоугольном равнобедренном ∆A1AM: AK = A1K = KM = 2 ⇒1S(AA1M) = AK ⋅ A1M = 4. Достроим ∆A1AB до квадрата AA1LM.2S(AA1LM) = 2S(AA1M) = 8.. Из ∆ABC:A1A = AM =BCcAHD234 6AM =BC = AM⇒ BC = 2BM =.23311 4 6 16 6BC = 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ ⋅=.22 332. Дано: конус, B — вершина, BH — высота, BMN — сечение, ∠MHN =α, ∠BKH = ϕ, BH = h.Найти: Vконуса.Vпризмы = AA1 ⋅ AM ⋅227BNAHKCMРешение:AC — диаметр, AC ∩ MN = K.BHИз ∆BHK: HK =.tgϕHKh=.ααcostgϕ cos22πh 2 πh2πh3R = ⋅h⋅=Vконуса =.αα33cos 2 tg 2ϕ 3 cos 2 tg 2ϕ223*.

Дано: ABCA1B1C1 — правильная призма, A1BC — сечение, M ∈ BC,BM = MC, ∠A1MA = 45°, AK ⊥ A1M, K ∈ A1M, AK = 2, вокруг призмы описаншар, плоскость BB1C1C — секущая.Найти Vменьшего сегмента.Решение:2 AM 4 2Радиус окружности, описанной около ∆ABC r ==.33h AA1== 2 образует с r прямоугольный треугольник, гипотенуза ко22Из ∆HKM: HM =торого R = r 2 +h2325 2=+2 =.433Расстояние от центра сферы до BB1C1C: R – H =5 22 23 2−H =⇒H== 2.333228AM 2 2=;33⎛5 2H⎞2 ⎞ 8π 2⎛⇒ V = πH2 ⎜⎝ R − 3 ⎟⎠ = π ⋅ 2 ⋅ ⎜⎜ 3 − 3 ⎟⎟ = 3 .⎝⎠К—4Вариант 1Дано: MABCD — правильная пирамида, MH — высота, AB = 6, MA = 5.1) Найти Sбок.(MABCD).ZMBACHPDXYРешение:S(AMB) = p ( p − MA) 2 ( p − AB ) ; p =5+5+6= 8.2S(AMB) = 8(8 − 5) 2 (8 − 6) = 4 ⋅ 3 = 12.Sбок. = 4S(AMB) = 4 ⋅ 12 = 48.2) Найти V(MABCD).Решение:2AH = AB=3 2 .2Из ∆AHM: MH = AM 2 − AH 2 = 25 − 18 = 7 .11V(MABCD) = MH ⋅ S(ABCD) = ⋅ 7 ⋅ 36 = 12 7 .333) P ∈ AB, AP = PB.Найти ∠MPH.Решение:ADPH == 3 ⇒ из ∆MHP: MP = PH 2 + MH 2 = 9 + 7 = 42PH 33⇒ cos∠MPH == ⇒ ∠MPH = arccos .4MP 42294) Найти ( AD + AB) ⋅ AM .Решение:AD + AB = AC .

Поместим пирамиду в полярную систему координатHxyz. AM (−3 2 , 0, 7 ) , AC (−6 2 , 0, 0) , ( AM ⋅ AC ) = 18 ⋅ 2 = 36.5) Вокруг MABC описан шар.Найти Sсферы.Решение:Вокруг ∆AMC описан большой круг сферы. AC = 6 2 , MH = 7 , AM =AM ⋅ AC ⋅ MC5⋅6 2 ⋅52525 7===.114272⋅62⋅74 ⋅ AC ⋅ MH2625 π2Sсферы = 4πR = 4 ⋅ π ⋅= ⋅ 625.28 76)* Найти угол между BD и (DMC).Решение:Координаты точек: D(0, 3 2 , 0), C(– 3 2 , 0, 0), M(0, 0,MC = 5 ⇒ R =7 ),7 ), n (x0, y0, z0) ⊥ (DMC).⎧ x = − y0(n ⋅ DC ) = 0 ⎧−3 2 x0 − 3 2 y0 = 0 ; ⎪ 0.3 14⎨⎨(n ⋅ CM ) = 0 ⎩3 2 x0 + 7 z0 = 0⎪⎩ z0 = − 7 x0 = 0DC (– 3 2 , – 3 2 , 0), CM ( 3 2 , 0,⎛3 14 ⎞n ⎜⎜ −1,1,⎟ , BD (0, 6 2 , 0).7 ⎟⎠⎝πИскомый угол α = – β, где β — угол между n и BD .2|n | = 2+9 ⋅ 14322==4; | BD | = 6 2 ;777( n ⋅ BD ) = 6 2 = | n | ⋅| BD | ⋅ cosβ;cosβ =6 217==;22 4 24⋅6 2 477⎛ 14 ⎞πβ = arccos ⎜⎜⎟⎟ ⇒ α = – β.2⎝ 8 ⎠Вариант 2Дано: MABC — правильная пирамида, MH — высота, AB = 4 3 , AM = 5.1) Найти: Sбок..230ZDYAKBHECXРешение:∆AMB: AM = MB = 5; p = 5 + 2 3 .S(AMB) = (5 + 2 3 )(2 3 ) 2 (5 − 2 3 ) = 2 3 25 − 12 = 2 39 .Sбок.

= 3S(AMB) = 6 39 .2) Найти V(MABC).Решение:2 33AH = ⋅⋅ AB =⋅ 4 3 = 4.3 23Из ∆AHM ⇒ HM = 52 − 42 = 3.3 48S(ABC) =AB2 4 =3 = 12 3 .411V(MABC) = MH ⋅ S(ABC) = ⋅ 3 ⋅ 12 3 = 12 3 .333) ∠MAH = ?Решение:MH 33tg∠MAH == ; ∠MAH = arctg .AH 4414) ( MB + MC ) EA = ? (E ∈ BC, BE = EC).2Решение:Введем полярную систему координат Hxyz. M(0, 0, 3); A(0, 4, 0);B( −2 3 , –2, 0), C( 2 3 , –2, 0) ⇒ E(0, –2, 0).AE (0, –6, 0), MB ( −2 3 , –2, –3), MC ( 2 3 , –2, –3).h AA1b = = 1 = 2 = (0, –4, –6) = (0, –2, –3);222(b⋅ b ) = 12 ⇒ ( EA ⋅ b ) = –12.2315) В MABC вписан шар.Найти Vшара.Решение:Большой круг шара вписан в ∆KME, где K ∈ AH, AK = KH, KE = 4, ME= HM 2 + HE 2 = 9 + 4 = 13 = MK.1211P ⋅ r = S(KME) = KE ⋅ MH = 6 ⇒ r =222 13 + 4⇒Vшара3=3=34π ⎛ 12⎞ 4π ⎛ 6 ⎞ 4π 3 ⎛ 13 − 2 ⎞ 32π⋅⎜⋅ 6 ⎜⎜⎟⎟ =⎜⎟ =⎟ =3 ⎝ 2 13 + 4 ⎠3 ⎝ 13 + 2 ⎠381⎝ 9 ⎠6)* Найти угол α между AB и (AMC).Решение:()4 3πr3313 − 2 .A(0, 4, 0), C( 2 3 , –2, 0), M(0, 0, 3); AM (0, –4, 3), AC ( 2 3 , –6, 0),n (x0, y0, z0) ⊥ (AMC) ⇒( n ⋅ AM ) = –4y0 + 3z0 = 0( n ⋅ AC ) = 2 3 x0 – 6y0 = 04⎧⎪ z 0 = y0⎨3⎪⎩ x0 = 3 ⋅ y04⎞⎛n ⎜ − 3 , −1, − ⎟ ⊥ (AMC); AB (–2, –6, 0)3⎠⎝1636 + 16 4 13==; | AB | = 4 3 .993GπИскомый угол α = – β, где β — угол между n и AB .2| n | = 3 +1+( n ⋅ AB ) = 2 3 + 6 = 4 3 ⋅cosβ =4 13⋅ cosβ3⎛ 3(2 3 + 6) ⎞(2 3 + 6)3; β = arccos ⎜⎜⎟⎟ .16 13⎝ 16 13 ⎠Вариант 3Дано: MABCD — правильная пирамида, AM = 8, MH — высота, ∠MAH =60°.1) Найти Sбок..232ZMBCHAEXDYРешение:∆AMB: AM = MB = 8, AB = 4 2 ; p = 8 + bS(AMB) =AB.= 2 2 ⋅ 64 − 8 = 2 2 ⋅ 2 14 ==8 7 .Sбок.

= 4S(AMB) = 32 7 .2) Найти V(MABCD).Решение:3AMИз ∆AHM: AH == 4, MH = AM= 4 3 ; AB = AH 2 = 4 2 .22MH4 3128 3⋅ S(ABCD) =⋅ 16 ⋅ 2 =.3333) Найти угол между (AMD) и (DMC).Решение:Искомый угол равен ∠EMF, где E ∈ AD, AE = ED, F ∈ BC, BF = FC.V(MABCD) =В ∆EMF: EM = MF = EH 2 + HM 2 = 8 + 48 = 2 14 .По теореме косинусов: EF2 = 2EM2(1 – cos∠EMF);16 232 = 2 ⋅ 56(1 – cos∠EMF); 1 – cos∠EMF == ;56 755cos∠EMF = , ∠EMF = arccos .7714) Найти ( MA + MC ) ⋅ ME (E ∈ DC, DE =EC).2Решение:Введем полярную систему координат Hxyz. В ней M(0, 0, 4 3 ),A( −2 2 , 2 2 ,0), C( 2 2 , −2 2 ,0), D( 2 2 , 2 2 ,0) ⇒ E( 2 2 , 0, 0).MA ( −2 2 , 2 2 , −4 3 ), MC ( 2 2 , −2 2 , −4 3 )233ME ( 2 2 , 0, −4 3 ).1b = ( MA + MC ) = (0, 0, −4 3 ) = MH2( MH ⋅ ME ) = 16 ⋅ 3 = 48.5) Вокруг MABCD описан шар.Найти Vшара.Решение:∆AMC вписан в большой круг шара; AC = 8, AM = MC = 8;3S(AMC) = AM2 4 = 16 3 ;R=83AM ⋅ MC ⋅ AC8 8 3===4S34 ⋅ 16 334 3 483 ⋅ 3 3 4 ⋅ 83 π ⋅ 3 2048 3πR = π ⋅==.272727336)* Найти угол α между AM и (DMC).⇒ Vшара =AM ( 2 2 , −2 2 , 4 3 )DM ( −2 2 , −2 2 , 4 3 )CM ( −2 2 , 2 2 , 4 3 )n (x0, y0, z0) ⊥ (MCH) ⇒(n ⋅ DM ) = −2 2 x0 − 2 2 y0 + 4 3 z0 = 0 ⎫⎪⎬(n ⋅ DN ) = −2 2 x0 + 2 2 y0 + 4 3 z0 = 0 ⎪⎭⎧ y0 = 0⎪⎨x = 4 3 z = 6z0⎪⎩ 0 2 2 0n ( 6 , 0, 1) ⊥ (DMC).πИскомый угол α = – β, где β — угол между n и AM .2| AM | = 8 + 8 + 48 = 8; | n | = 6 + 1 = 17( AM ⋅ n ) = 4 3 + 4 3 = 8 3 = 8 7 cosβcosβ =33π; β = arccos; α = – β.277Вариант 4Дано: MABC — правильная пирамида, AB = 2 3 , MO — высота ∆ABC,∠MHO = 60°.1) Найти Sбок..234ZMYAOECFBXРешение:AC = AB13= 3; HO = AC = 1, т.к.

O — центр ∆ABC.32В ∆HOM: HM = 2HO = 2, MO = 313⇒ Sбок. = 3 ⋅ AB ⋅ HM = ⋅ 2 3 ⋅ 2 = 6 3 .222) Найти V(MABC).Решение:33S(ABC) = AB2 4 = 12 ⋅ 4 = 3 331V(MABC) = ⋅ MO ⋅ S(ABC) = 3 ⋅ 3 3 = 3.33) Найти ∠MAO.Решение:AO = 2HO = 2, MO = 3 ⇒ Из ∆MAO: tg∠MAO =∠MAO = arctg4) НайтиMO3=;AO23.21( MC + MB) ⋅ OM .2Решение:Введем полярную систему координат Oxyz.В ней M(0, 0, 3 ), C( − 3 , –1 ,0), B( 3 , –1 ,0);MC ( − 3 , –1 , − 3 ), MB ( 3 , –1, − 3 ).1( MC + MB) = (0, –1, − 3 ); OM (0, 0, 3 )21⇒ ( MC + MB) ⋅ OM = –3.25) В MABC вписана сфера.235Найти Sсферы.Решение:Достроим ∆HOM до равнобедренного ∆HME, в который вписан большой круг сферы.1S(HME) = ⋅ 2 ⋅ 3 = 3 ; P(HME) = 2 + 2 + 2 = 622S 2 33==P631 4π2.⇒ Sсферы =4πr = 4π ⋅ =3 36)* Найти угол α между MF и (AMC), F ∈ BC, BF = FC.Решение:⇒r=F(0, –1, 0), MF (0, –1, − 3 ), AC ( − 3 , –3, 0), AM (0, –2, 3 ),n (x0, y0, z0); n ⊥ (AMC) ⇒⎧ x = − 3 y0(n ⋅ AC ) = 0 : ⎧− 3 x0 − 3 y0 = 0 ; ⎪ 02 3⎨⎨y0(n ⋅ MA) = 0 : ⎩−2 y0 + 3z0 = 0 ⎪ z0 =3⎩⎛2 3⎞n ⎜⎜ 3 , −1, −⎟3 ⎟⎠⎝| MF | = 2; | n | = 3 + 1 +Искомый угол α =π– β, где β — угол между MF и n .2( MF ⋅ n ) = 1 + 2 = 3 =β = arccos236124=.9383 3cosβ; cosβ =;833 3π; α = – β.28.