ziv-geometria-gdz-11g (Решебник Геометрия 7 - 11 Погорелов), страница 20

Дано: AC = 16, ∠CAD = 60° радиус основания равен 5.Найти: расстояние от оси до плоскости.BC30°H1GHAZDРешение:1) Рассмотрим ∆ACD: ∠ACD = 30°, AC = 16 ⇒ AD = 8.AD 2+ R 2 = 25 − 16 = 3 .42. Дано: ABCD — ромб, сторона 4, ∠BAD = ∠BCD = 60°, высота AA1 = 5.Найти: Sвписан. цилиндра.2) Искомое расстояние равно−191B1C1A1D1BCOADHРешение:G1) Рассмотрим ∆AOD: ∠OAD = 30°, AD = 4 ⇒ OD = 2 ⇒ AO = e2) Рассмотрим ∆AOH: AO = 12 , ∠AOH = 30°⇒ HO =12= 3 = R.23) Sцил. бок. пов. = 2πR ⋅ h = 2π 3 ⋅ 5 = 10π 3 π.3. Дано: ∠COB = 60°, ∠CAB = 90°, СВ = m.Найти: Sбок. пов..ACOBРешение:1) ∆OCB равнобедренный (OC = OB = R, ∠COB = 60°)⇒ OC = CB = OB = m.2) Рассмотрим ∆ABC: ∠CAB = 90°, AB = AC как образующие.2mm.m2 = AB2 + AC2, но AB = AC; m2 = 2AB2; AB ==222m2 2=m π.224. Дано: DO = 1, AB =BC = AC = 6.3) Sбок.

пов. = πRl = π ⋅ m ⋅192.Найти: Sконуса.DBAGOCРешение:1) Рассмотрим ∆ABC. Он правильный. r =a 3= 3.62) Рассмотрим ∆DGO: OG = r = 3 , DO = 1 ⇒ по теореме Пифагора DG= 2.3) Sконуса = πrl = π ⋅ 2 ⋅ 3 = 2 3 π.5. Это будет сфера с диаметром, равным этому отрезку.6. Центры будут лежать на одной из 2 плоскостей, параллельных даннойи лежащих от нее на расстоянии, равном радиусу.7. Дано: координаты B(3; 4; 12), сфера x2 + y2 + 22 = 169, B ∈ α, α ⊥ OxНайти: Rсеч..Решение:Уравнение α : x = K, B ∈ α ⇒ K = 3Значит плоскость удалена от центра сферы на K = 3Радиус сечения равен V = R 2 − K 2 = 169 − 9 = 160 = 4 10 .8. Дано: AB = CD = 6, в конус вписан шар.Найти: Sбок. пов.

цил..BCGADРешение:1) Sбок. пов. = π(R + r)l.2) Рассмотрим трапецию ABCD: т.к. в сечении в нее вписана окружность, то AB + CD = BC + AD, но BC = r, AD = R; AB = CD = 6, 12 = R + r193⇒ Sбок. пов. = π ⋅ 12 ⋅ 6 = 72π.9. Дано: ∠JAC = ∠JBD = ∠JCA = ∠JDB = 45°, Sопис. сферы = 64π.Найти: сторону основания пирамиды.JBCOADРешение:Рассмотрим ∆AJC: AJ = JC, ∠JAC = ∠JCA = 45° ⇒ ∠AJC = 90°⇒ т. O — центр описанной окружности, а значит, и сферы.Sсферы = 4πR2; 64π = 4πR2; R2 = 16, R = 4 ⇒ d = AC = 8 = 2a ⇒ a =4 2.10.

Дано: ∠BAC = 45°.Найти:BO.OGJGBCOADРешение:1P ⋅ r = S. Пусть радиус сферы равен V, сторо2aна основания a, тогда высота пирамиды h = .21. Рассмотрим сечение:S=194(1 a a2a 2a⋅ =; P = a + 2⋅= a 1+ 22 2 42)V=aa22S==P 2 1+ 2h−r =()()()2 −12()()2− 22 +1a a 2− 2 ⋅2−== 2−2+2 2 = 2 2 .2 2a 2 − 11()МД—3Вариант 11. Дано: ABCDA1B1C1D1 — правильная призма, ABCD — квадрат,∠C1A1H = 45°, BD = d.Найти: Vпризмы.B1C1A1D1BCHDРешение:1) Рассмотрим ∆A1AH в нем: ∠A1HA = 45° (как накрест лежащий припараллельных плоскостях); ∠A1AH = 90° ⇒ ∠AA1H = 45° ⇒ AH = AA1.12) AH = d .21113) Vпризмы = Sосн. ⋅ h = d 2 ⋅ d = d 3 .2242. Дано: S AA1C1C = 30, S CC1B1B = 40, ∠GC1H = 90°.Найти: V.195A1B1GHC1ABÑРешение:1) Рассмотрим сечение GC1H, в нем: GC1 = 3 (т.к.

S AA1C1C = 30, а ребро10), C1H = 4 (аналогично рассуждая) ⇒ GH = 5 (т.к. ∠GC1H = 90°) ⇒S GC1H = 6 ⇒ V = 6 ⋅ 10 = 60.Ответ: 60.3. Дано: V — объем призмы ABCA1B1C1, H — середина BB1, Z — середина A1B1, V — середина C1B1.Найти: VZB1VH .ZA1VB1C1HABCРешение:111S ZB1V = S A1C1 B1 ; hZB1VH = hпризмы ⇒ VZB1VH = Vпризмы.4281Ответ: V.84. Дано: ABCD — пирамида, AC = 3, CB = 4, боковые грани наклонены коснованию по углом = 45°.Найти: V.196DBAOCРешение:1) Рассмотрим ∆ABC: ∠C — прямой, AC = 3, CB = 4 ⇒ AB = 5.1S62) Pr = S; r = 2 = 2 ⋅ = 1 .2P12O — центр вписанной окружности.11Высота пирамиды h = r = 1 ⇒ V = S ( ABC ) ⋅ h = ⋅ 6 ⋅ 1 = 2 .33Ответ: 2.5.

Дано: ABCD — квадрат, 4S∆AHD = S, OI = d.Найти: V.HIBKACIODРешение:Разбив пирамиду на несколько, получим V = S ⋅ d1 Sd=.3 36. Дано: Vпир. = V, BR = RH = HA.Найти: VHONMYRZW.197BWZRYOHNNAACDРешение:V = h ⋅ SADCE. Пусть SADCE = S.141SRZWY = S, SHONM = S, hHONMYRZW = h993h⎛144 1 2 ⎞ h⎛5 2 ⎞ 77⇒ Vус. пир. = ⎜⎜ S + S +.⋅ S ⎟ = ⎜ + S ⎟ = hS =279⎝999 9 ⎟⎠ 9 ⎝ 9 9 ⎠ 817Ответ:.277. Дано: Vконуса = 40, AB = BC.Найти: Vцил..ABCРешение:1Sосн. ⋅ h = 40.3112) Sверх. = Sосн. ⋅ , hцил. = h421) Vконуса =198⇒ Vцил. =11140Sосн. ⋅ h = Vконуса == 5.4288Ответ: 5.8. Дано: пирамида, ∠DAO = ∠DBO = ∠DCO = 45°, AB = 10, ∠ACB = 30°.Найти: Vконуса.DBADCРешение:1) Т.к. ребра равнонаклонены, то точка пересечения — центр описаннойокружности.AB2) По теореме синусов в ∆ABC= 2R, R == 10.sin ∠BCA3) Рассмотрим ∆ADO: он равнобедренный, т.к. ∠DOA = 90°, а ∠DAO =45° ⇒ AO = OD = 10.1111000π4) Vконуса = Sосн.

⋅ h = πR2 ⋅ h = π ⋅ 1000 =.33339. Дано: в правильную призму вписан шар, сторона 2 3 .Найти: Vшара.199B1A1C1HIA1UBCРешение:1) Рассмотрим сечение HVI:радиус вписанной окружности: r =2) Vшара =3 ⋅a 2⋅3== 1.6644⋅π4⋅ πr2 =⋅π = π .3334π.310. Дано: RA = 3, AI = 9.Найти: Vсегм..Ответ:AOIРешение:3⎞H⎞⎛⎛V = πH2 ⎜⎝ R − 3 ⎟⎠ = π ⋅ 9 ⎜⎝ 6 − 3 ⎟⎠ = 45π.Вариант 21. Дано: ABCA1B1C1 — правильная призма, сторона a, ∠A1GA = 45°.200Найти: V.A1B1C1BAGCРешение:1) Рассмотрим ∆A1AG: он прямоугольный и равнобедренный (∠A1GA =45°) ⇒ A1A = AG.32) Рассмотрим ∆ABC: он правильный ⇒ AG =a.2a2 3 33a 3⋅⋅a =.4282. Дано: призма, S AA1C1C = 20, SCC1 B1 B = 30, боковые ребра 5.3) V = Sосн. ⋅ h =Найти: V.A1B1C1IRABCРешение:1) S AA1C1C = A1R ⋅ AA1 = 20, AR = 4.2) SCC1 B1 B = RI ⋅ CC1 = 30, RI = 6.∆ARI — прямоугольный ⇒ SARI =1⋅ 4 ⋅ 6 = 12; V = 12 ⋅ 5 = 60.2Ответ: V = 60.2013.

Дано: наклонный параллелепипед, AR = RA1, объем параллелепипеда— V.Найти: VARBD.B1C1A1RD1BCADРешение:Vпарал. = h ⋅ Sосн.; VARBD =111h ⋅ Sосн. = V.2241V.44. Дано: ABCD — ромб, сторона a, ∠BAD = 30°, боковые грани наклонены к основанию под углом = 60°.Найти: V.RОтвет:RCOADРешение:1. Рассмотрим ∆ABD: по теореме косинусов BD2 = 2a2 – 2a2 ⋅a 2− 3 a 2− 3;=221a2a2S ( ABO ) = S ( ABD ) = ⋅ sin 30° ==248= a 2 − 3 ; OD =2023; BD2=1aaAB ⋅ HO =HO ⇒ HO =224⇒ Из ∆ROH OR = OH + g 60° =a⋅ 34122 a 2 a 3 a3 3=.V = S ( ABCD ) ⋅ RO = S ( ABD) ⋅ RO = ⋅ ⋅333 4424a3 3.245. Дано: пирамида, ∆ABC — правильный, V — ее объем, S — площадьбоковой поверхности.Найти: OI.Ответ:DIAROGCРешение:1113V.VARCO = SARC ⋅ OI = S ⋅ OI, но V = 3VARCO = S ⋅ OI ⇒ OI =393S6.

Дано: пирамида, ребра разделены в отношении 1 : 2 : 1.VНайти: EBVCSLOH .VEBVCNNEHBOU CSLDRIG203Решение:Пусть h — высота в пирамиде EBVCN. Тогда высота в усеченной пирамиде SLOHEBVC = 2h.1Пусть SHOLS = S, тогда SEBVC = S9VEBVCSLOHS ⋅ 2h= 18.⇒=1VEBVCNS ⋅h97. Дано: конус, в него вписан цилиндр, AR = RI, Vцил. = 9.Найти: Vконуса.IRAРешение:h⇒ Sосн. ⋅ h = 18.2Vконуса = 4Sосн. ⋅ h = 72.8.

Дано: пирамида, RI = 6, IG = 8, RG = 10, ∠ORS = ∠OGS = ∠OIS = 60°.Найти: Vконуса.Vцил.= Sосн. ⋅OIRSG204Решение:1) R =abc6 ⋅ 8 ⋅ 106 ⋅ 8 ⋅ 10== 5 (из RIG).=4 ⋅ 244 p ( p − a )( p − b)( p − c) 4 12 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 22) Рассмотрим ∆RSO:⇒ Vконуса =OS= tg60°; OS = 3 ⋅ 5R1 21125π 3πR ⋅ OS = ⋅ 25π ⋅ 5 3 =.3339. Дано: прямой параллелепипед, ABCD — ромб, сторона 4 3 , ∠BAD =60°.Найти: Vшара.B1C1A1D1BCOSDРешение:1) Рассмотрим ∆AOD: ∠AOD = 90° (как пересечение диагоналей); ∠OAB4⋅3=6.= 30°; AD = 4 3 ⇒ OD = 2 3 , AO =22 3 ⋅6SO AO= 3.; SO ==OD AD4 3443) Vшара = πR3 = π ⋅ 27 = 36π.3310.

Дано: сектор 60° и радиус 6.Найти: Vтела вращения.2) ∆AOD ∼ ∆AOS;205CBRAРешение:1) Vсектора =2 2πR H.32) Рассмотрим ∆RBA: в нем BA = 3 3 ⇒ CB = H = 6 − 3 3 .2⇒ V = V = π ⋅ 36 6 − 3 3 = 24π 6 − 3 3 = 72π 2 − 3 .3(206)()()Контрольные работыК—1Вариант 11.

Дано: | a |, | b | = 1, ( a + 2 b , 5 a – 4 b ) = 0.Найти: угол между a и b .Решение:∧( a + 2 b , 5 a – 4 b ) = 5| a | – 8| b | + 6( a b ) = 5 – 8 + 6cos( ab ) = 0∧∧1π; ab = .232. Дано: ABCDA1B1C1D1 — куб, AB = 1, M ∈ D1C, D1M = MC.1) Найти угол между AM и B1D.cos( ab ) =ZB1C1A1D1YMCBAXDРешение:Введем полярную систему координат Axyz.⎛ 1 1⎞A(0, 0, 0), M ⎜1, , ⎟ , B1(0, 1, 1), D(1, 0, 0),⎝ 2 2⎠⎛ 1 1⎞AM ⎜1, , ⎟ , B1D(1, –1, –1).⎝ 2 2⎠1 1( AM ⋅ B1D ) = 1 – − = 0 ⇒ AM ⊥ B1D.2 22) Найти расстояние между серединами отрезков AM и B1D.Решение:⎛1 1 1⎞⎛1 1 1⎞⎛ 1 1⎞E ∈ AM, AE = EM, F ∈ B1D, E ⎜ , , ⎟ , F ⎜ , , ⎟ , EF ⎜ 0, , ⎟ ,244222⎝⎠⎝⎠⎝ 4 4⎠| EF | =122=.442073.

Дано: A ∈ Oy, B(1, 0, 1), угол между AB и (Oxy) равен 30°.Найти: координаты A.Решение:Пусть A(0, y0, 0); AB (1, –y0, 1) составляет с n (0, 1, 0) угол в 60°, т.к.n ⊥ Oxy∧⇒ ( AB ⋅ n ) = 1 = | AB | ⋅ | n | ⋅ cos AB n = 2 + y02 ⋅ 1 ⋅1⇒22 + y02 = –2y0.2 + y02 = 4 y02y0 = ±⇒ A(0,2322, 0) или (0, −, 0).33∧G4*. Дано: a || b (6; 8; –7,5); | a | = 50; a j >Gπ.2Найти: координаты a .Решение:a = k ⋅ b ; | b | = 36 + 64 + 56, 25 = 12,5 ⇒ т.к.

| a | = k ⋅ | b | ⇒ k = ±4.∧j (0, 1, 0), т.к. a j >π, то ( a ⋅ j ) < 0 ⇒ k = –4,2т.е. a = –4 b = a (–24, –32, 30).Вариант 21. Дано: A(–1, 2, 1), B(3, 0, 1), C(2, –1, 0), D(2, 1, 2).∧1) Найти ABCD .Решение:AB (4, –2, 0), CD (0, 2, 2), | AB | = 2 5 , | CD | = 2 2∧( AB ⋅ CD ) = –4 = | AB | ⋅ | CD | ⋅ cos ABCD∧∧4101=−; AB ⋅CD = − arccos+π.104 10102) E ∈ AB, AE = EB, F ∈ CD, CF = FD, E(1, 1, 1), F(2, 0, 1)⇒ cos ABCD = −EF = (1, –1, 0), | EF | = 2 .2. Дано: ABCA1B1C1 — прямая призма, ∠ACB = 120°, AC = CB = BB1.Найти угол между AB и CB1.208A1ZB1C1BAXCYРешение:Поместим призму в полярную систему координат Mxyz.Пусть AC = a, тогда высота MC — ∆ABC.aa 3MC = , AB = a 3 , AM = MB =.22⎛ a 3⎞⎛a 3⎞⎛a 3⎞⎛ a ⎞A ⎜⎜ −, 0, 0 ⎟⎟ , B ⎜⎜, 0, 0 ⎟⎟ , C ⎜ 0, , 0 ⎟ , B1 ⎜⎜, 0, a ⎟⎟ , AB(a 3 , 0, 0) ,2⎝ 2 ⎠⎝⎠⎝ 2⎠⎝ 2⎠⎛a 3 a ⎞CB1 ⎜⎜, − , a ⎟⎟ , | AB | = a 3 , |CB1| = a 2 ;2 ⎠⎝ 2∧( AB ⋅ CB1 ) =a2 ⋅ 3= | AB | ⋅ | CB1 | ⋅ cos( AB ⋅ CB1 ) = a2 6 cosα2∧3a 233; cosα =, α = arccos.22a 62 22 23.

Дано: A ∈ Oxy, B(1, 1, 1), A(x0, x0, 0). Угол между AB и Ozy = 30°.Найти: координаты A.Решение:⇒ cos AB ⋅ CB1 =AB (1 – x0, 1 – x0, 1) составляет с n (1, 0, 0) угол 60°, т.к. n ⊥ Oyz.| AB | = 2(1 − x02 ) + 1 ; | n | = 1( AB ⋅ n ) = 1 – x0 = | AB | ⋅ | n | ⋅ cos AB ⋅ n = 2(1 − x0 ) 2 + 1 ⋅⇒ 4(1 – x0)2 = 2(1 – x0)2 = 1; 2(1 – x0)2 = 1; (1 – x0)2 =1 – x0 = ±121;222, x0 = 1 ∓22⎛⎛22 ⎞22 ⎞⇒ A ⎜⎜1 +,1 +, 0 ⎟⎟ или A ⎜⎜1 −,1 −, 0 ⎟⎟ .2222⎝⎠⎝⎠209G4*. Дано: a (7, 0, 0), b (0, 0, 3), ( OM ⋅ a ) = 0, ( OM ⋅ b ) = 0.Найти: множество точек M.Решение:Пусть OM(x0, y0, z0) ⇒ ( OM ⋅ a ) = 7x0 = 0 ⇒ x0 = 0;( OM ⋅ b ) = 3z0 = 0 ⇒ z0 = 0.Значит, искомое множество точек M(0, y, 0), где y — произвольная координата.Вариант 3∧1. Дано: a , b , | a | = 2, | b | = 2 , a b = 135°.Найти: | a – 2 b |.Решение:УголG|2 b | = 2 2 ⇒ по теореме косинусов имеем| a – 2 b |2 = | a |2 + 4| b |2 – 4| a | ⋅ | b | ⋅ cos35°2= 20; | a – 2 b | = 2 5 .22.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — куб, AB = 1, M ∈ A1D1, A1M = MD1.Найти: 1) угол между A1C и C1M.| a – 2 b |2 = 4 + 8 – 8 2 ⋅ZA1B1C1MD1YCBAXDРешение:Поместим куб в полярную систему координат Axyz. В ней⎛1⎞A1(0, 0, 1), C(1, 1, 0), D1(1, 0, 1), M ⎜ , 0,1⎟ , C1(1, 1, 1);2⎝⎠5⎛1⎞A1C (1, 1, –1), MC1 ⎜ ,1, 0 ⎟ ; | A1C | = 3 , | MC1 | =.22⎝⎠∧( A1C ⋅ MC1 ) =21013+ 1 = = | A1C | ⋅ | MC1 | ⋅ cos A1C MC1 =22∧=15cos A1C MC1 .2∧∧333.=; A1C MC1 = arccos55152) E ∈ A1C, A1E = EC, F ∈ C1M, C1F = FM.Найти: EF.Решение:1 15⎛3 1 ⎞⎛1 1⎞⎛1 1 1⎞E ⎜ , , ⎟ , F ⎜ , ,1⎟ , EF ⎜ ,0, ⎟ , | EF | =+ =.16 44⎝2 2 2⎠⎝4 2 ⎠⎝4 2⎠cos A1C MC1 =3.