Elektromagnetizm_2-1 (Физика лекции 3 сем), страница 5

Если какая-то ЭДС ξ повышает потенциал в направлении обхода, её надо братьсо знаком плюс, в противоположном случае – со знаком минус.Закон Джоуля–Ленца1). Однородный участок цепиЕсли сила тока в проводнике на участке 1 – 2равна I, то за время dt через каждое сечениепроводника пройдёт заряд dq  I dt .Совершаемая при переносе этого заряда отсечения 1 к сечению 2 работа сил поляA  (1  2 )  dq  I (1  2 ) dt .Если проводник неподвижен и в нём не происходят химические превращения, тоэта энергия должна выделяться в форме внутреннеё (тепловой)) энергии.A  Q dt,гдеQ  I (1   2 ) тепловая мощность.С учётом закона Ома получаем закон Джоуля–Ленца:2UQ  I R  I U R2Используя формулы R  dlиdS.I  j dS для малого объёма dV  dl  dSполучаем закон Джоуля–Ленца в локальной (дифференциальной) форме:Q   j 2 dV dt ;илиQ уд   j 2удельная тепловая мощность постоянного тока пропорциональна квадрату плотностиэлектрического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке.Если на носители тока действуют только электрические силы, то на основаниизакона Ома в локальной форме получаем  Е2Qуд  j  E    E2 .2).

Неоднородный участок цепиЕсли в законе Ома для неоднородного участка цепи каждое слагаемое умножитьна силу тока I получаемI 2 R  I (1   2 )  I ξ ,I 2 R  Q  тепловая мощность;где29Iξ – мощность, развиваемая стороннимиДля замкнутой цеписилами на данном участке цепи.1  2 . ПолучаемQ  I ξ , т.е.Общее количество джоулевой теплоты, выделяемое за единицу времени в замкнутойцепи, равно мощности только сторонних сил.В локальной форме для неоднородного участка цепи закон Джоуля–Ленцаимеет вид  Qуд  j  ( E  Е )   j 2 .Лекция 6Магнитное поле в вакуумеq,Опыт показывает, что сила, действующая на точечный зарядзависит в.общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скоростиСоответственно этому силу, действующую на точечный заряд, разделяют на двесоставляющие – электрическуюFМFЭ(она не зависит от движения заряда) и магнитную(она зависит от скорости заряда). Все свойства магнитной силы можно описать,если ввести понятие магнитного поля, которое характеризуется вектором магнитнойиндукцииВ. . FМ  q  , BПолная электромагнитная сила, действующая на заряд   FЛ  q( Е   , B ) .q(сила Лоренца):Это выражение является универсальным: оно справедливо как для постоянных,так и для переменных электрических и магнитных полей, при любых значенияхскоростизаряда.Выражение для силы Лоренцаэлектрического и магнитного полей.ВможнорассматриватькакопределениеЕВектораналогично векторухарактеризует силовое действие магнитногополя на движущийся заряд.Магнитная сила всегда перпендикулярна вектору скорости заряда и потомуработы над зарядом не совершает.

Это означает, что в постоянном магнитном полеэнергия движущейся заряженной частицы всегда остаётся неизменной.В нерелятивистском приближении сила Лоренца, как и любая другая сила, независит от выбора инерциальной системы отсчёта. Вместе с тем магнитная силаменяется при переходе от одной системы отсчёта к другой из-за. Поэтому должна30меняться и электрическая составляющаяFЛнаFЭиFМFЭ  qЕ .Следовательноразделениезависит от выбора системы отсчёта.Магнитное поле равномерно движущегоя зарядаОпыт показывает, что само магнитное поле порождается движущимися зарядами(электрическими токами).

Экспериментально была установлена зависимость 0 q, r В4 r 3 ,0  4 107 Гн/мrгде– магнитная постоянная;радиус-вектор, проведённый от зарядаqк точке, где определяется векторrТ.к. начало радиус-вектораВ.движется вместе сВзарядом со скоростью  , то векторв данной системеотсчёта зависит не только от координат точки, но и отвремени.ВекторВнаправлен перпендикулярно плоскости, вкоторой расположены векторыrипо правилуправого винта.Единицей магнитной индукции в СИ является тесла (Тл).Так как, электрическое поле точечного заряданерелятивистской скоростью, описывается выражениемq , движущегося с1 q Er , то можно записать34 0 r 1  В   0 0  , E  2  , E , гдеc с1 0 0  электродинамическая постоянная, равная скорости света в вакууме.Принцип суперпозиции–магнитное поле, создаваемое несколькимидвижущимися зарядами или токами, равно векторной сумме полей, создаваемыхкаждым зарядом или током в отдельности:В   ВiЗакон Био – СавараЭтот закон позволяет находить индукцию магнитного поля, создаваемогопостоянным электрическим током.31Подставимввыражениедля индукции магнитного поля движущегосяточечного заряда   dV вместо q , гдеобъёмная плотность электрического заряда.dV– элементарный объём,Так как    j , то получаем  0 j , r dVdВ 4r3 .Учитываем, что j  dV  j  S  dl  I  dl , провода.dlгде– элемент длиныj  dV  I  dl .dlВведя векторв направлении тока I можно записатьИ тогда окончательно получаем закон Био – Савара (иногда называют законБио – Савара – Лапласа): Полное полеинтегрированием: 0 I dl , rdВ 4 r 3В 0В4.в соответствии с принципом суперпозиции получаетсяV  j,rdV3rили 0В4  I dl , rl r 3.Пример 1.

Магнитное поле прямого тока, текущего по тонкому прямомупроводу бесконечной длины.dВВ произвольной точке А векторыот всехэлементов тока имеют одинаковое направление (от нас).0 I  dl  r  sin  0 I  dl  sin 3.4r4r2Из рисунка видно, что dl sin   r  d иdВ rb.sin ТогдаdВ 0 Isin  d .4 b для всех элементов бесконечного прямого проводника с токомУголизменяется в пределах от нуля до π.Интегрируя, получаем0 I 0 2 IВ   dB sind4 b 04 b.32Пример 2.

Магнитное поле на оси кругового тока.От всех элементов тока будет образовываться конусвекторов dВ , а результирующий вектор В в точкебудет направлен по оси Z.Проекция dВ на ось Z: I dldВZ  dB cos   0 2 cos  .4 rАИнтегрируя по всему круговому витку получаем2R I cos В   dBZ  04 r 2Т.к.Приcos  Z 0Rrиr 2  Z 2  R2 ,(в центре витка)На большом расстоянии 0 2R 2 I0 dl  4 r 2 cos  .BZ 0 (Z  R)Bто0 I R 22( Z  R )2232.0 I2R.BZ 0 0 I R 22 Z3.Основные законы магнитного поляКак и любое другое векторное поле, полеВможет быть представлено спомощью линий вектора В . Их проводят обычным способом – так, чтобы касательнаяк этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора В , а густота линийбыла бы пропорциональна модулю вектора В в данной точке пространства.1).

Теорема Гаусса для поля В : поток вектора магнитной индукции сквозьлюбую замкнутую поверхность равен нулю: В dS  0 .Т.е. линии вектораВ,ВSне имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий векторавыходящих из любого объёма, ограниченного замкнутой поверхностью S, всегдаравно числу линий, входящих в этот объём.33Из теоремы Гаусса следует так же то, что в природе нет магнитных зарядов,на которых начинались бы или заканчивались линии вектора В , т.е. магнитное полене имеет источников в противоположность полю электрическому.В дифференциальной форме теорема Гаусса для поля В имеет вид di B  0 или   B  0 , т.е.Дивергенция поля В всюду равна нулю.

Этот закон справедлив не только дляпостоянных, но и для переменных магнитных полей.2). Теорема о циркуляции вектора В (для магнитного поля постоянных токовв вакууме).Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуруравна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов,охватываемых этим контуром: В dl  0   I K илиВll1dl  0   I KТок считается положительным, если его направление связано с направлениемобхода по контуру правилом правого винта. Если ток I распределён по объёму, то его можно представить как I   j dS ,Sгде S – произвольная поверхность, натянутая на контур l .ВекторdSобразует с направлением обхода контура правовинтовую систему.В общем случае   B dl  0  j dS  0  jn dS .lSSИз теоремы о циркуляции следует, что магнитное поле не потенциальное (вотличие от электростатического).

Такое поле называют вихревым илисоленоидальным.ВТеорема о циркуляции векторапозволяет намного легче чем закон Био –Савара вычислять магнитные поля в некоторых симметричных системах.В дифференциальной форме теорема о циркуляции вектораrot В  0 jили   В  0 jВимеет вид:Ротор поля вектора магнитной индукции равен произведению магнитной постояннойна плотность электрического тока в данной точке пространства.ВПрименение теоремы о циркуляции вектора1). Магнитное поле прямого тока I:Пусть ток течёт вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглоесечение радиуса R.34Вне провода: B  2r   0 IB0 I.2 rBВнутри провода:IrB  2r  0 2  r 2  0 I  RR20 I  r.2 R 22). Магнитное поле соленоида, по которому протекает ток I:Пусть на единицу длины соленоида приходится п витков проводника.Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждыйвиток соленоида можно приближённо заменить замкнутымкруговым витком.

Будем также предполагать, что сечениепроводника настолько мало, что ток можно считать текущим поповерхности.Опыт показывает, что для достаточно длинныхсоленоидов индукция магнитного поля снаружи соленоида вблизи его поверхностипрактически равна нулю.ВИз соображения симметрии ясно, что линии векторавнутри соленоиданаправлены вдоль его оси.Выбираем прямоугольный контур (на рисунке изображён пунктиром) со сторонойl, расположенной параллельно оси соленоида.По теореме о циркуляциигдеnIB  l  0 n  l  I B  0 n I ,число ампервитков.3). Магнитное поле тороида:Из соображения симметрии следует, что линии вектораокружностями, центры которых расположены на оси ОО’.Вдолжны бытьВ качестве контура выбираем одну из такихокружностей.Пусть N – число витков в тороиде;I – сила тока в каждом витке:r – радиус контура.ПотеоремеоциркуляцииB  2r  0  N  IB0 N Iвнутри тороида.2 rВне тороида B  2r  0 , т.е.

магнитного поля нет.Лекция 7Проводники с током в магнитном полеЗакон Ампера35Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этойсилы передаётся проводнику, по которому движутся заряды. В результате магнитноеполе действует с определённой силой на сам проводник с током. , dFM   dV   , Bгде  объёмная плотность электрического заряда;dV  объём малого элемента проводника;  скорость упорядоченного движения зарядов.Т.к.  j,то  dFM  j , B dV .j dV  I  dlЕсли ток течёт по тонкому проводнику, тоАмпера dFA  I dl , Bи получаем закон.Сила взаимодействия двух параллельных проводников с токами I1 икоторые находятся на расстоянии b друг от друга.I2 ,0 I1.2 b0 I1I 2На единицу длины проводника с током I2 действует сила Fед .2 bТок I1 создаёт вокруг себя магнитное поле с индукцией B1 Токи одинаково направленные, притягиваются, а противоположно направленные– отталкиваются.Сила, действующая на контур с током Fl  I  dl , BЕсли магнитное поле однородно, тоlВ constFl  I  B  dl  0 .иlДля неоднородного магнитного поля рассмотрим поведение элементарногоплоского контура малого размера площадью dS .Вводится понятие магнитного моментарМ  I  dS  n  I  dS pM   A  м2.Сила, действующая на элементарный контур с током внеоднородном магнитном поле36BFl  pM.nЭто выражение аналогично выражению для силы, действующей на электрическийдиполь в электрическом поле.FlВектор силысовпадает лишь с направлением элементарного приращениявектора В , взятого в направлении вектора рМ в месте расположения контура.Пример:B 0 , т.е.рВ направлении оси Х направлен М иxна контур действует сила, направленная влево – в сторону,где индукция магнитного поля больше.Момент сил, действующих на контур с токомЗамкнутый проводящий контур с током произвольной геометрической формы,помещённый в однородное магнитное поле, испытывает действие вращающего моментасил, равного: M  pM , B  угол между векторами р Мили M  pM B sin  , гдеи В .Вращающий момент стремится привести контур в положение устойчивогорравновесия, при котором вектор М совпадает по направлению с вектором В .Магнитное поле в веществеЕсли в магнитное поле, образованное токами в проводах, ввести вещество, тополе изменитсяВ0 В'  В  В0  В' ,гдепервичное поле (в вакууме);магнитное поле, создаваемое намагниченным веществом.ПолеВ' ,как и поледля результирующего поляВВ0не имеет источников (магнитных зарядов), поэтомупри наличии вещества справедлива теорема Гаусса :  В dS  0 .S 37В иЭто означает, что линии векторапри наличии вещества остаются всюдунепрерывными.Механизм намагничивания заключается в том, что в веществе под действиемвнешнегомагнитногополямагнитныемоментымолекулприобретаютпреимущественную ориентацию в одном направлении.