Elektromagnetizm_2-1 (Физика лекции 3 сем)

1ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМНекоторые сведения из математикиОператор «набла» (оператор Гамильтона)a  a  a   grad a  a  ех  е у  ez .хуzГрадиент скалярной величиныДивергенция вектораа–      ех  е у  ez .хуz(скалярная величина)   a x a y a zdi a    a хуz.  ex ; e y ; ezРотор вектораа–    ; ;rot a  , а  x y z =ax ; a y ; az а z a y    a x a zex  =  yz x z   a y a x  ez .e y  y  xТеорема Остроградского- ГауссааПоток вектора, характеризующего какое-либо поле, через произвольнуюзамкнутую поверхность S , мысленно проведённую в этом поле, равен интегралу отдивергенции вектораповерхностью Sа, взятому по объёму V, adSdiadVSТеорема Стоксаограниченному замкнутой.Vа , характеризующего какое-либо поле, вдоль произвольногоЦиркуляция векторазамкнутого контура l , мысленно проведённого в этом поле, равна потоку ротора вектораачерез поверхность S , натянутую на контур l .   a dl   rot a dSlS.2Лекция 1ЭЛЕКТРОСТАТИКАЭлектрический заряд.Все тела в природе способны электризоваться, т.е.

приобретать электрическийзаряд.Наличие электрического заряда проявляется в том, что заряженное теловзаимодействует с другими заряженными телами. Заряды условно различают наположительные и отрицательные. Точечные заряды одного знака отталкиваются, разныхзнаков – притягиваются друг другом.Заряд заряженных элементарных частиц (электронов, позитронов и протонов)одинаков по абсолютной величине и представляет собой наименьший встречающийся вприроде электрический заряд, называемый элементарным зарядоме  1,6  1019 Кл .Всякий заряд образуется совокупностью элементарных зарядов и является целымкратным е:q  N eт.е.

электрический заряд «квантуется».Закон сохранения электрического заряда: суммарный заряд электрическиизолированной системы не может изменяться.Этот закон тесно связан с релятивистской инвариантностью заряда т.е. величиназаряда не зависит от того движется этот заряд или покоится.Закон Кулона: сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов,находящихся в вакууме, прямо пропорциональна величине каждого из зарядов и обратнопропорциональна квадрату расстояния между ними. Направление силы совпадает ссоединяющей заряды прямой.Точечным зарядом называют заряженное тело, размерами которого можнопренебречь по сравнению с расстоянием от этого тела до других тел, несущихэлектрический заряд.F12 q1  q2 r124 0 r 2 r1F12  сила, действующая на заряд q1 со стороны заряда q2 ( F12   F21) ;r12  вектор, направленный от q2 к q1 ;3 0  8,85 10 12Ф / м электрическая постоянная,относящаясякчислу19 м(910)фундаментальных физических постоянных4 0Ф .Здесь Ф – размерность электрической ёмкости фарад .Электрическое поле и его характеристики.Всякий электрический заряд изменяет свойства окружающего его пространства –создаёт в нём электрическое поле.

Об «интенсивности» поля можно судить повоздействию, которое оказывает поле на пробный электрический заряд, помещённый вданную точку пространства.Силовой характеристикой электрического поля является векторная величина,называемая напряжённостью электрического поля в данной точке пространства, котораячисленно равна силе, действующей на единичный точечный заряд, находящийся в даннойточке поля: FЕqпр .ЕНаправление векторасовпадает с направлением силы, действующей наположительный заряд.Используя закон Кулона можно получить формулу для напряжённости поляточечного заряда:Еq r4 0 r 2 r .1Единица напряжённости в СИ имеет название вольт на метр – В/мЭлектрическое поле можно описать с помощью линий напряжённости (силовыхлиний).

Касательная к силовой линии в каждой точке совпадает с направлением вектораЕ . Густота линий выбирается так, чтобы число линий, пронизывающих единицуповерхности, перпендикулярной к линиям площадки, было равно модулю вектора Е .Для поля точечного заряда полное число линий, пересекающих сферическуюповерхность произвольного радиуса r , будет равно произведению густоты линий на4r 2 . Так как густота линий по условию равна1 qq1 q24rЕ 0 , т.е. число4 0 r 2 , то количество линий численно равно 4 0 r 2площадь поверхности сферылиний на любом расстоянии от заряда будет одним и тем же.Силовые линии нигде не пересекаются.

Они могут начинаться или заканчиватьсялишь на зарядах либо уходить в бесконечность.Энергетической характеристикой электрического поля является потенциал,который определяют как отношение потенциальной энергии, которой обладает пробныйзаряд в данной точке пространства к величине этого заряда:4AW  , гдеqпр qпрА  работа сил поля по удалению пробного заряда из данной точки на бесконечность, гдепредполагается, что электрическое поле отсутствует, или в такую точку пространства, гдепотенциал принимается равным нулю, например, на заземлённый проводник.1 Дж В СИ потенциал измеряется в вольтах 1В .1Кл Энергия взаимодействия системы зарядов.Для двух точечных зарядов q1 и q2 , находящихся на расстоянии1 q1  q2W12потенциальная энергия их взаимодействия равна4 0 r .r друг от другаДля системы, состоящей из N точечных зарядов q1 , q2, …, qN энергиявзаимодействия всех зарядов равна сумме энергий взаимодействия зарядов, взятыхпопарно:1 N1 qi  qk 1 NW   qi  i .2 i  k 4 0 rik2 i 1Суммирование производится по индексам i и k .

Оба индекса пробегают,независимо друг от друга, все значения от 1 до N. Слагаемые, для которых значенияиндекса i совпадают со значением индекса k, не принимаются во внимание.i потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме qi в точке, где помещается заряд qi.Принцип суперпозиции полей:а) Напряжённость поля системы зарядов равна векторной сумме напряжённости полей,которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:n Е   Еi ;i 1б) Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической суммепотенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:n   i .i 1Связь между напряжённостью и потенциалом электрического поля.Из курса механики известно, что сила связана с потенциальной энергиейF  gradW .соотношениемДля заряженной частицы, находящейся в электростатическом полеF  qE иW  q   , т.е.

q  E   grad (q   )  q  grad . Тогда     Е   grad  ijk или Еx  ; Ey  ; Ez  xyzxyz5Дляпроизвольногоl получаем Еl  направленияЕчто векторнаправлен в сторону убывания потенциала.. Знак минус показывает,lТеперь можно легко получить выражение для потенциала точечного заряда:1q14 0 r 4 0Итак: по известным значениямqx2  y2  z 2.можно найти напряжённость поля в каждойточке или по заданным значениям Е в каждой точке найти разность потенциалов междудвумя произвольными точками поля, т.к.

работа, совершаемая силами поля над зарядом qпри перемещении его из точки 1 в точку 2 , может быть вычислена как A12   qE dl .21Вместе с тем A12  W1  W2  q(1  2 ) . Получаем:2 1  2   E dl .1Для обхода по замкнутому контурувектора Е :1  2 и получаем теорему о циркуляции  E dl  0lциркуляция вектора напряжённости электростатического поля равна нулю. Эта формуласправедлива только для электрического поля неподвижных зарядов.ЕИспользуя теорему Стокса можно получить теорему о циркуляции векторавдифференциальном виде:rot E  0 .Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным.Воображаемую поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал,называют эквипотенциальной поверхностью. Её уравнение имеет вид: ( x; y; z)  const .Силовые линии в каждой точке пространства направлены по нормали кэквипотенциальной поверхности, проходящей через данную точку.Лекция 26Число линий, пронизывающих элементарную площадку dS ,пЕнормалькоторой составляет угол α с векторомопределяюткак E  dS  cos  .

Эту величину называют потоком dФЕ вектораЕ сквозь площадку dS: dФЕ  En dS  E  dS  cos   E  dS .Если имеется некоторая произвольная поверхность S , то поток вектора Е сквозь неё ФЕ   E dS .SЭта величина алгебраическая. В случае замкнутых поверхностей, положительноеп принято выбирать наружу области, охватываемой этиминаправление нормалиповерхностями (внешняя нормаль).Теорема Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля ввакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраическойсуммы электрических зарядов, находящихся внутри этой поверхности, к электрическойпостоянной0 .  qВНУТРE dS   .0SЕсли заряды распределены непрерывно с объёмной плотностьюкоординат, то  1 E dS S 0 V , зависящей от dV ,Где интегрирование производится только по объёму, заключённому внутри замкнутойповерхности S.q1 , q2 , q3 ... , тоЕсли поле создаётся системой точечных зарядов  E  E1  E2  E3  ...

. Тогда q1 q2 q3  EdSEEE...dS    ... .SS 1 2 30 0 0ЕСамо полезависит от конфигурации всех зарядов, а потокФЕ сквозьпроизвольную замкнутую поверхность S определяется только алгебраической суммойзарядов внутри поверхности S.Применение теоремы Гаусса.1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.7Бесконечная плоскость заряжена с постоянной dqdSповерхностнойплотностью. Линии напряжённости перпендикулярны рассматриваемой плоскости инаправлены от неё в обе стороны.В качестве Гауссовой поверхности примем поверхность цилиндра, образующиекоторого перпендикулярны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от неё.Поток через боковую поверхность цилиндра равеннулю.