K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger), страница 11

und Endzustandnun wieder wie in den anderen StoBgleichungen ohne unteren Index geschriebenwerden:~)_(0 2 s (~P-P )3T (8(21)- 8 -12 Op21e1)+ ...Das Medium steht im vorliegenden FaIle in keinem Energieaustausch mit der Urn·gebung. Es kann daher nur in einer Richtung flieBen, in welcher seine Entropieansteigt, denn die dauernde Entropieabsenkung in einem Teil der Stromung ohneeinen entsprechenden Entropieanstieg in einem anderen Teil bedeutete einenWiderspruch zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik.

Es zeigt sich im iibri·gen, daB die Entropie nicht nur bei kleinen, sondern auch bei groBen Druck·anstiegen stets zunimmt. Danach sind stets nur StoBweIlen moglich, welche mitDruckanstiegen verbunden sind. Diese sind wegen Gl. (15) stets mit Geschwindig.keitsabnahmen und weiter wegen der Kontinuitatsbedingung mit Dichtezunahmenverkniipft. Man bezeichnet die StoBweIlen daher auch als Verdichtung88Wf3e.VerdiinnungsstoBe konnten nur bei Medien auftreten, welche eine negative zweiteAbleitung von ~ nach P langs der Isentrope aufweisen.eDer VerdichtungsstoB wurde hier als stationare Stromungsform behandelt.Es ergibt sich das gewohnte Bild einer laufenden StoBwelle fUr einen Beobachter,der sich mit der Geschwindigkeit W des anstromenden Mediums auf die StoB·front zu bewegt. Diese eilt dann mit der Geschwindigkeit W in das fUr denBeobachter nun ruhende Medium hinein.

Hinter der StoBfront flieBt dasMedium mit der Geschwindigkeit W- W der StoBfront nacho Die Rechnungendieses Abschnittes haben nicht nur fiir Gase, sondern sie haben auch fiirFliissigkeiten Bedeutung, indem sie auch die Frage der Fortpflanzung endlicherDruckspriinge in Fliissigkeiten betreffen. Die Geschwindigkeit W, das ist alsodie negative Laufge8chwindigkeit U eines in gleichbleibender Starke in einruhendes Medium vordringenden StoBes, sowie die Relativge8chwindigkeit LI W derGasmasse hinter dem StoB zu jener vor dem StoB, kann aus den beiden erstenGleichungen des Systems (12) leicht wie folgt berechnet werden:w=-u=Vee pe-e '(22)p.Mit dem Grenzubergang zu ,beliebig kleinen Druckspriingen nimmt auch dieNachlaufgeschwindigkeit W -TVbelie big kleine Werte an.

Der Quotient~-pQ-Qwird gleich dem entsprechenden Differentialquotienten der Rankine.Hugoniot.Kurve und also gleich der entsprechenden Ableitung auf der Adiabate. Damitist der Grenzwert c fiir die Fortpflanzungsgeschwindigkeit kleinster Druck·storungen:c=V(~:L·(23)Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit kleinster Storungen ist aber die Schallge8chwindigkeit. Sie wurde hier nur fUr einen kleinen Drucksprung er·mittelt. Da die Zustandsanderung isentrop ist, gilt Gl. (23) ebenso furkleine Druckabnahmen und also auch fiir beliebige WeIlenformen, die immerals GrenzfaIl iiberlagerter stufenformiger Storungen angesehen werden konnenII.

Stationare Fadenstromung.24(Abb. 6). Kleinheit der Starung bedeutet dabei, daB die Druckunterschiedeim Verhaltnis zum Druck, die Dichteunterschiede im Verhaltnis zur Dichteund schlieBlich die Storungsgeschwindigkeiten der Teilchen im Verhaltnis zurSchallgeschwindigkeit klein sein mussen.Es sei darauf hingewiesen, daB die isentrope Zustandsanderung in derSchallwelle bei dies em weniger ublichen Weg der Ableitung der Formel fUr dieSchallgeschwindigkeit nicht eine Voraussetzung, sondern vielmehr ein Ergebnisder Rechnung war.Stramungen werden nun wesentlich von der Ausbreitung kleiner Storungen imflieBenden Medium beeinfluBt. Daraus ergibt sich eine auBerordentliche Bedeutung des Verhaltnisses von Stramungsgeschwindigkeit Wp-pund Schallgeschwindigkeit c.

Dieses wird nach demPhysiker ERNST MACH als Machsche Zahl M bezeichnet:MoX= ~.c(24)Abb. 6. Aufbau einer SchaUwelle aus kleinen Sto/3wellen.1st die Stromungsgeschwindigkeit kleiner als dieSchallgeschwindigkeit des Mediums, herrscht also"Unterschallstromung" , so ist M < 1. 1st die Stromungsgeschwindigkeit groBer als die artliche Schallgeschwindigkeit, herrscht "Uberschallstromung", so ist M > 1.Aus der Adiabatengleichung (I, 25) folgt fur ein ideales Gas:oP) =(012sJ!..,X12folglich fur die Schallgeschwindigkeit zusammen mit Gl.

(I, 17):c=V =Vx :(25)cp (x-I) T.Die Schallgeschwindigkeit des ideal en Gases hangt nur von der Temperatur aboWeiter folgt fur die Mach-Zahl des idealen Gases:M2=_12_W_2XP=_-,-_W_2--o-:---;;;-Cp(x -(26)I) TWird die Enthalpie i fur das id. Gas konst. sp. W. mit Gl. (I, 19) und (I, 17)durch p und e ausgedruckt, so lautet die dynamische Adiabate Gl. (16) fUr dieses:_x_x-I(~e_E)= ~ (~ +~) (p _e2 eep).Mit Hilfe der Identitatp e-p§ = ~ [(p -p)(§+ e) -(§ - e){p+ p)]folgt schlieBlich die von v.

KARMAN auf dem Volta-KongreB in Rom 1935 mitgeteilte Beziehung:P-P---e-ep+p= x12+12A--·(27)Diese Form der dynamischen Adiabate des id. Gases konst. sp. W. zeigt wiederdie nahe Verwandtschaft zur Isentrope Gl. (I, 25). Abb. 7 gibt beideKurven fUr x=1,400 im ~,p-Diagramm.

Sehr deutlich ist das OskuliereneAim Punkte 1. Bis zu Werten von J!.. = 2 ist die Adiabate eine ausgezeichnetePII, 4. Einige Folgerungen aus dem Energiesatz.25Naherung fur die Zustandsanderung im VerdichtungsstoB. Das Dichteverhaltniskann den Werte=e+uIu-lnicht uberschreiten. An dieser Schranke steigt derDruck uber alle Grellzen.Aus der zweiten G1. (14) folgt diewelle in ein ruhendes Gas abhangigder Rohe des Drucksprunges. Es istG1. (25) fUr das id. Gas konst.

sp.Wanderungsgeschwindigkeit U einer StoBvonmitW.: i.p(28)10,,IIII\StoBwel1en starkeren Druckanstieges lau\\fen also mit Uberschallgeschwindigkeit.\Dieses Resultat stimmt mit der Erfahrung\\uberein, welche man bei der Messung der\\Schallgeschwindigkeit in der Nahe starker\\Explosionen gemacht hat. G1. (28) gilt nur 5\\fUr den einfachen Fall des Fortschreitens\\\einer Druckstufe mit gleichbleibend hohem-.;:Druck "hinter der Wellenfront. Eine solche'"Welle kann nur aufrechterhalten bleiben,wenn hinter der Front dauernd Massenachgeliefert wird.Ob nun das flieBende Medium alsT,0P/pkontinuierliche Masse oder auch als eineAbb. 7. Rankine·I1ugoDiot·Rurvc und Isent.ropegroBe Zahl durcheinanderfliegender Mole( ... -) fiir >< = 1,400.kUle betrachtet wird, in keinem Fall istein absolut scharfer Druck- und Geschwindigkeitssprung in der StoBfrontdenkbar. Die StoBfront muB eine bestimmte Tiefe haben, davon soIl spater dieRede sein (Abschnitt XI, 1).

Diese Tiefe erweist sich als auBerordentlich gering,etwa von der GroBenordnung der mittleren freien Weglange der MolekUle.\4. Einige Folgerungen aus dem Energiesatz.Der Energiesatz G1. (6) gibt einen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeitund Enthalpie i, bei idealen Gasen also einen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Temperatur. Bei diesen hangt, wenn der Energiesatz in der einfachenForm der G1.

(6) gilt, nach G1. (25) die Schallgeschwindigkeit und nach G1. (26)auch die Machsche Zahllediglich von der Geschwindigkeit abo Es kann demnacheine der genannten GroBen durch eine beliebige andere ausgedruckt werden. Furdas id. Gas konst. sp. W. lassen sich hierfiir Formeln angeben, welche sehr oftbenutzt werden, weshalb es nutzlich ist, diese ein fur allemal abzuleiten.1m Ruhezustand hat die Schallgeschwindigkeit Co einen aus der Ruhetemperatur To leicht zu errechnenden Betrag. Mit der Geschwindigkeit verschwindet also auch die Mach-Zahl im Ruhezustand.

Bei der Maximalgeschwindigkeit hingegen verschwindet mit der Temperatur auch die Schallgeschwindigkeit,hier wachst also die Machsche Zahl uber aIle Grenzen. Zwischen diesen Extremzustanden werden jene Werte von besonderem Interesse sein, wo die Unterschallstromung in Uberschallstromung ubergeht (M = 1), wo also die Stromungsgeschwindigkeit gleich der Schallgeschwindigkeit ist.

Fur das id. Gas konst. sp. W.kann der Energiesatz G1. (9) mit G1. (25) auch geschrieben werden:W2 +2u-lc2 =W~ax'(29)26II. Stationare Fadenstr6mung.Wird der "kritische Zustand", in welchem gerade 211 = 1 ist, mit einem Sterngekennzeichnet, so folgt aus Gl. (29):% + 1%-1W*2=-"_+ 1_C*21% _W'=max'Zusammen mit Gl. (10) und (25) ist dann:·w'max =%+1 W*2= %+1 C*2= __2 _ C2 =(x+l)c T*=2c T%_ 1%_ 1%_ l O PP0'(30)woraus das Verhaltnis der verschiedenen charakteristischen GraBen unmittelbarabgelesen werden kann.Die Temperatur wird in der Regel durch die Ruhetemperatur To dimensionslos gemacht. Dies solI auch entsprechend bei der Schallgeschwindigkeit geschehen.Da es keine "Ruhegeschwindigkeit" gibt, bleibt die Maglichkeit, W entwederdurch W max oder durch W* = c* zu dividieren.

Beides hat gewisse Vorteile.Bei letzterem ist eine Unterscheidung von Unter- und Uberschallstramung sofortmaglich, weshalb es ublich geworden ist, mit dieser GraBe zu rechnen und fur siedie Beziehung:2lf*=~C*(31)zu wahlen. M* nimmt abhangig von M die Werte an:M01=-----1-1-'M*01V +1II1(32)-c-----iIIii%%-1'1~ und ~ gelten Formeln,Fur die gegenseitigen Beziehungen von M, 211*,oCowelche in Tab. II, 5 mit einigen anderen Beziehungen zusammengestellt sind.Der Energiesatz - etwa in der Form Gl. (29) - gilt in gleicher Weise vorund hinter einem StoB.

Damit bleibt die Ruhetemperatur, die Ruheschallgeschwindigkeit und bleiben alle aus Gl. (30) hervorgehenden kritischen GraBendurch den StoB ungeandert.5. Zustandsanderung im senkrechten Sto.B des idealen Gases konstanterspezifischer Warme.Es ist keineswegs erforderlich, daB die StoBfront stets senkrecht auf derStramungsrichtung steht. 1st dies, wie bisher vorausgesetzt, der Fall, so wirdvon einem senkrechten StofJ gesprochen.