Численные методы. Ионкин (2012) (v1.1) (косяки есть), страница 9

Òîãäà èòåðàöèîííûé ìåòîä Íüþòîíàñõîäèòñÿ, è îöåíêà 3.22 âåðíà. Äîêàçàòåëüñòâî âûøå. Ìîäèôèöèðîâàííûé ìåòîäÍüþòîíà:f 0 (x∗ )S (x∗ ) = 1 − 0 0f (x )0Âîçüì¼ìx0âîçëåx∗ :åñëè äðîáü áëèçêà ê1, S 0 ê0,òîãäà ïîâåçëî.Íåñòàöèîíàðíîå: áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó âî âðåìåíè ïî ñëîÿì; â êà÷åñòâå ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèå íà ïðåäûäóùåì ñëîå (¾íå ñëèøêîì ñèëüíî èçìåíèòñÿ¿). Âïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ìåòîä ïðîáóåì óãàäàòü.73Ãëàâà 4Ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿçàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêèŸ 1. ÂâåäåíèåÇàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ñ ïîìîùüþ ðàçíîñòíûõ ñõåì.Äîñòàòî÷íî ìíîãî âðåìåíè ïîòðàòèì, íî ïîçíàêîìèìñÿ âñ¼ ðàâíî ïîâåðõíîñòíî.Âàæíåéøèé ðàçäåë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè. Áóäåò íà ãîñóäàðñòâåííûõýêçàìåíàõàõ. Òåîðåòè÷åñêàÿ áàçà ïîñòðîåíà Òèõîíîâûì è Ñàìàðñêèì.Ÿ 2. Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷èóðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèÅñòü êó÷à äðóãèõ ìåòîäîâ, âåðîÿòíîñòíûå è âñÿêèå ïðî÷èå, íî ðàçíîñòíûåñàìûå èçâåñòíûå è íàèáîëåå ïîäõîäÿùèå.Ïîñòàíîâêà:ãäå∂u ∂ 2 u= 2 + f (x, t),∂t∂x(4.1)u(0, t) = µ1 (t); u(1, t) = µ2 (t); 0 ≤ t ≤ T(4.2)0 < x < 1, 0 < t ≤ T .Êðàåâûå: ïåðâîãî ðîäà.Íà÷àëüíîå óñëîâèå:u(x, 0) = u0 (x); 0 ≤ x ≤ 1(4.3)Èùåì óðàâíåíèå, âíóòðè óäîâëåòâîðÿþùåå 3.18, íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíèöàõ4.2 è 4.3.Çíàåì ñóùåñòâîâàíèå, åäèíñòâåííîñòü, óñòîé÷èâîñòü ïî ïðàâîé ÷àñòè è ïî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ êîððåêòíî ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à.74Ðèñ.

4.1:Èùåì êëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿ, îáîáù¼ííûå áóäóò â êóðñå ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà.×òî çíà÷èò ¾ðåøèòü ðàçíîñòíûì ìåòîäîì¿?Íåïðåðûâíóþ îáëàñòü áóäåì ìåíÿòü íà äèñêðåòíóþ (òî åñòü ñåòêó). Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ÷àñòü âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè.Òåîðèÿ áóäåò íà ñåòêàõ ñ ïîñòîÿííûì øàãîì, òàì ïðîùå. Íî íå âñåãäà ýòîãîäèòñÿ:Ðèñ. 4.2:ωh = {xi = ih; i = 1, 2, ..., N − 1; h = 1/N },ãäåh > 0 øàã ïî ïåðåìåííîé x âíóòðåííèå óçëû ñåòêèω̄h = {xi = ih; i = 0, 1, ..., N ; hN = 1} - âñå óçëû ñåòêè (êàê75áû çàìûêàíèå)ωτ = {tj = jτ ; j = 1, 2, ..., j0 ; j0 τ = T }ω̄τ = {tj = jτ ; j = 0, 1, ..., j0 ; j0 τ = T }Âñå âíóòðåííûå óçëûωτ h = ωτ × ωh .- øàã ïî âðåìåíèÒàêæåtτ > 0.ω̄τ h = ω̄τ × ω̄h .Ñ çàìåíû îáëàñòè íà ñåòêó íà÷èíàåòñÿ ëþáîå ðåøåíèå ðàçíîñòíûì ìåòîäîì.Ðàññìîòðèì îáëàñòüD = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, 0 < t ≤ T } (T çàäàííîåïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî).Çàïèøåì ïåðâóþ êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â ýòîé îáëàñòè:êðàåâûå óñëîâèÿ:∂u ∂ 2 u= 2 + f (x, t), (x, t) ∈ D,∂t∂x(u(0, t) = µ1 (t),u(1, t) = µ2 (t),(4.4)(4.5)íà÷àëüíîå óñëîâèå (íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà):u(x, 0) = u0 (x).(4.6)Ââîäèì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:Ðèñ.

4.3: Ââîäèì ñåòêó, ïîx- ñ øàãîìa,ïît- ñ øàãîìτÂîçíèêàþò ñîîòâåòñòâóþùèå óçëû ñåòêè.  ðåàëüíîñòè - âíóòðåííèõ óçëîâìíîãî áîëüøå, ÷åì ãðàíè÷íûõ. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ óçëîâ, ñîîòâåòñâóþùèõ ìîìåíòóâðåìåíètk(âêëþ÷àÿ ãðàíè÷íûå) áóäåì íàçûâàòü ñëîåì.Ïðèìå÷àíèå.T- èñêóññòâåííàÿ ãðàíèöà, ìîæíî ïðîñòî ïèñàòü, ÷òît > 0).Ïóíêò 1. ßâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìàÐåøàÿ ëþáóþ äèôôåðåíöèàëüíóþ çàäà÷ó, ìû äâèæåìñÿ ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:ñíà÷àëà ââîäèì ñåòêó, à çàòåì ðàññìàòðèâàåì ñåòî÷íóþ ôóíêöèþ.Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷èñëåííîå ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ÷åðåçyin = y(xi , tn ).76y(x, t).

Ïóñòü- ââåëè ñåòî÷íóþ ôóíêöèþ (îò äâóõ ïåðåìåííûõ).÷òî ïðè ñòðåìëåíèè øàãîâ ê íóëþfin - çíà÷åíèÿ â óçëàõ. Ïîêàæåì,y áóäåò ñõîäèòüñÿ ê ðåøåíèþ (ñ ëþáîé çàäàííîéòî÷íîñòüþ)Çàïèøåì ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå:nnyi−1− 2yin + yi+1yin+1 − yin=+ f (xi , tn ),τh2ò.å. òî÷êè(xi , tn )(xi , tn ) ∈ ωτ h ,(4.7)ïðèíàäëåæèò âíóòðåííåé ÷àñòè îáëàñòè.Òàêèì îáðàçîì, ïîñòàâèëè èñõîäíîìó óðàâíåíèþ 4.1 åãî äèñêðåòíûé àíàëîã óðàâíåíèå 4.7.Ïî÷åìó âûáðàëè èìåííî ïåðâîå êðàåâîå? Ïðîñòî ïðîùå äåëàòü íóæíîé ïîãðåøíîñòü (â îòëè÷èå îò óñëîâèÿ ñ ïðîèçâîäíîé). Çàäà¼ì ãðàíè÷íûå è íà÷àëüíîåóñëîâèÿ:(y0n+1 = µ1 (tn+1 ),n+1yN= µ2 (tn+1 ),yi0 = u0 (xi ),tn+1 ∈ ω τ ,tn+1 ∈ ω τ ,xi ∈ ω h .(4.8)(4.9)Ò.î., èñõîäíîé çàäà÷å ïîñòàâèëè äèñêðåòíûé àíàëîã 4.74.9. Ò.å.

ïîëó÷èëèÑËÀÓ - îíà è íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòíîé ñõåìîé.Ïîñìîòðèì, êàêèå óçëû èñïîëüçóåò ýòà ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ øàáëîíîì ðàçíîñòíîé ñõåìû)Ðèñ. 4.4:Èñïîëüçóåòñÿ 2 ñëîÿ:tn + 1ètnÏîëó÷àåòñÿ ÷åòûðåõòî÷å÷íûé øàáëîí.Ïðèìå÷àíèå 1:Ìû ñòðåìèìñÿ ê òîìó, ÷òîáû ñõåìà àïðîêñèìèðîâàëà áîëåå òî÷íî. Äëÿ ýòîãîìîæíî çàäåéñòâîâàòü áîëüøå óçëîâ øàáëîíà. Íî åñëè áóäåò ïîãðåøíîñòü âûñîêàÿ,òî èç-çà áîëüøîãî ÷èñëà óçëîâ ìû ìîæåì ïîòåðÿòü óñòîé÷èâîñòü.77Ïðèìå÷àíèå 2:90% ñòóäåíòîâ âî âðåìÿ ýêçàìåíà íå ïîíèìàþò, ÷òî òàêîå óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû. Íàì âáèëè â ãîëîâû, ÷òî ýòî íåïðåðûâíàÿ çàâèñèìîñòü îò âõîäíûõäàííûõ.

Çäåñü ýòî íå òàê, ó íàñ áîëåå æåñòêàÿ çàâèñèìîñòü!Çàäà÷à 4.74.9 ðåøàåòñÿ íà ñëîÿõ. Íóëåâîé ñëîé çàäàí. Ïðîâîäèì âû÷èñëåíèÿíà ïåðâîì ñëîå; îò íåãî - ïåðåõîäèì íà âòîðîé, è ò.ä. Ðåøåíèå ïî ÿâíîé ôîðìóëå,íà êàæäîì ñëîå íå òðåáóåòñÿ íèêàêèõ îáðàùåíèé ìàòðèöû è ò.ä.yin+1 = yin +τ nn(yi−1 − 2yin + yi+1) + τ fin ,2hi = 1, . . . , N − 1.Ýòî çàïèñàíî ïî ñëîÿì, íî âíóòðè ñåòêè; à ñíàðóæè n+1y0n+1 , yN(4.10) çíà÷åíèÿçàäàíû ïî óñëîâèÿìè.Òàêèì îáðàçîì, ïðåèìóùåñòâî äàííîãî ìåòîäà â ïðîñòîòå ðåàëèçàöèè, âñå ôîðìóëû ÿâíûå.Ñôîðìóëèðóåì âîïðîñû, êîòîðûå îáû÷íî ðåøàþòñÿ ïðè èçó÷åíèè ðàçíîñòíûõñõåì.1.

Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè. (Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ñõåìà íå ïðèáëèæàåò èñõîäíóþ çàäà÷ó - íå÷åãî å¼ èññëåäîâàòü.Äàëåå: Ïðî çàäà÷ó 4.44.6 - çàäà÷à êîððåêòíî ïîñòàâëåííàÿ, íî åñëè íåïðàâèëüíî âûáåðåì ðàçíîñòíóþ çàäà÷ó äëÿ 4.44.6 - ìîæåò áûòü íåêîððåêòíîé)2. Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû (ò.å.ÑËÀÓ). (Ìû äîëæíû äîêàçàòü åù¼, åñòü ëè ðåøåíèå è åäèíñòâåííîå ëè îíî)3.

Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿÈ êëþ÷åâûå âîïðîñû:4. Ñõîäèìîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû ê ðåøåíèþ èñõîäíîé çàäà÷è (ìîæíî êîðîòêî:ñõîäèìîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû)5. Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû ïî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ è ïðàâîé ÷àñòè (êîðîòêî ãîâîðÿò: ïî âõîäíûì äàííûì)Ïðèìå÷àíèå:Êàæäûé èç ýòèõ ïóíêòîâ äëÿ ðàçëè÷íûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì ðåøàåòñÿ ñ òîé èëèèíîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè. Äàëüøå ìû äîêàæåì òåîðåìó Ôèëèïïîâà, êîòîðàÿ ñâÿæåò ìåæäó ñîáîé âîïðîñû 45(êëþ÷åâûå) è ïåðâûé.Äëÿ íàøåé ñõåìû: ñóùåñòâîâàíèå, åäèíñòâåííîñòü, àëãîðèòì - äîêàçàíî íàëè÷èåì ÿâíûõ ôîðìóë.Çàéìåìñÿ êëþ÷åâûìè âîïðîñàìè.78Ïðèìå÷àíèå:Ôèëîñîôñêèé âîïðîñ: áóäåì ñðàâíèâàòü ðåøåíèå äèñêðåòíîå (ôóíêöèþ âóçëàõ) è íåïðåðûâíîå ðåøåíèå.

Êàê èõ ñðàâíèâàòü, îíè èç ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâ?Âî-ïåðâûõ, åñëè ïîëó÷èëè ñåòî÷íóþ ôóíêöèþ â óçëàõ, ìîæåì âîññòàíîâèòü å¼âî âñåé îáëàñòè (ñïëàéíàìè, êâàäðàòè÷íî, êàê óãîäíî). Òîãäà áóäåì ñðàâíèâàòüâ ìåòðèêå ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé (èëè áîëååòî÷íî: â òîì ïðîñòðàíñòâå, ãäå áûëà ïîñòàâëåíà èñõîäíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿçàäà÷à).

Èëè íàîáîðîò: áóäåì ïðîåöèðîâàòü ôóíêöèþUâíóòðè ñåòêè. Ìû áóäåìèäòè ïî âòîðîìó ïóòè, ñ÷èòàåì ýòîò ïóòü ëó÷øèì.Íàñòóïèë ïðèíöèïèàëüíûé ìîìåíò: êàê ðàç çäåñü âîïðîñ íîðìû ñòàíîâèòñÿïðèíöèïèàëüíûì: ìû íå ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî åñëè â îäíîé íîðìå cõåìà ñõîäèòñÿ,òî è â äðóãîé íîðìå áóäåò ñõîäèòüñÿ.Ñõåìà ó íàñ - óñëîâíî ñõîäÿùàÿñÿ è óñëîâíî óñòîé÷èâàÿ: äàëåå ìû ïîêàæåì,÷òî åñëèτh2< 0.5,òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ñõîäèòñÿ.

Èíà÷å - íå áóäåò ñõîäèòüñÿ.Åñëè cõåìà ñõîäèòñÿ ïðè ëþáûõ øàãàõ, òî å¼ íàçûâàþò àáñîëþòíî ñõîäÿùåéñÿè óñòîé÷èâîé.Îïðåäåëèì ïîãðåøíîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìûzinòàê:zin = yin − uni .(4.11)n+1z0n+1 = 0, zN= 0, zi0 = 0(4.12)ïðè ýòîìÏðèìå÷àíèå:Ïîãðåøíîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû 4.14 -zin = yin − u - ýòî íå ïîãðåøíîñòü çàäà÷è.Òîãäà (4.7) ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì (â ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è):nnzi−1− 2zin + zi+1zin+1 − zin=+ ψin ,2τhÎïðåäåëèì åù¼ ôóíêöèþψinÎïðåäåëåíèå.(xi , tn ) ∈ ω τ h .ψin :uni−1 − 2uni + uni+1 un+1− unii=−+ fin .2hτÔóíêöèÿ(4.13)ψin ,(4.14)îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì (4.14), íàçûâàåòñÿ ïî-ãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîé ñõåìû (4.7) (4.9) íà ðåøåíèå çàäà÷èèñõîäíîé çàäà÷è 4.4 4.6.Ïðèìå÷àíèå:Íàäî â ðàçíîñòíóþ ñõåìó âìåñòîyïîäñòàâèòü÷àñòåé è åñòü ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè.79u,è ðàçíîñòü ëåâûõ è ïðàâîéÇàäà÷à:Äîêàçàòü, ÷òîψin = O(τ + h2 ).(Ýòî áóäåò ðàññêàçàíî â îáùåì âèäå, íî è ñåé÷àñ âñ¼ âèäíî; ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿè âòîðàÿ çàìåíÿþòñÿ íà êàêèå-òî Î-áîëüøèå)Ïîýòîìó ãîâîðÿò, ÷òî äëÿ äàííîé ñõåìû ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ïåðâîãîïîðÿäêà ïîτè âòîðîãî ïîh.Ðåøåíèå:ÏóñòüU (x, t)Ðàçëîæèì- äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ.u(xi , tn+1 )â óçëå(xi , tn )ïî ôîðìóëå Òåéëîðà:u(xi , tn+1 ) = un+1= u(xi , tn ) + ut (xi , tn )τ + O(τ 2 ).iÐàçëîæèìu(xi+1 , tn )â óçëå(xi , tn )ïî ôîðìóëå Òåéëîðà:11u(xi+1 , tn ) = uni+1 = u(xi , tn ) + ux (xi , tn )h + uxx (xi , tn )h2 + uxxx (xi , tn )h3 + O(h4 ).26Ðàçëîæèìu(xi−1 , tn )â óçëå(xi , tn )ïî ôîðìóëå Òåéëîðà:11u(xi−1 , tn ) = uni+1 = u(xi , tn ) − ux (xi , tn )h + uxx (xi , tn )h2 − uxxx (xi , tn )h3 + O(h4 ).26Ïîäñòàâèâ âûïèñàííûå ðàçëîæåíèÿ â (4.14), ïðèâåäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû è âîñïîëüçîâàâøèñü (4.4), ïîëó÷èìψin = O(τ + h2 ).Äîêàæåì, ÷òî óñëîâèÿ (4.10) äîñòàòî÷íî äëÿ ñõîäèìîñòè â ñèëüíîé íîðìå, âíîðìå C.Ââåäåì íîðìó íà ñëîå (è äîêàæåì ñõîäèìîñòü â íåé):ky n kC = max |yin |.0≤i≤NÂâåäåííàÿ òàêèì îáðàçîì íîðìà íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíîé (ñèëüíîé).Äîêàæåì, ÷òî óñëîâèå (4.16) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ ñõîäèìîñòè (è óñòîé÷èâîñòè) ÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû.Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèÿ (4.16).

Ïóñòü ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî. ÒîãäàÂûðàçèìzin+1â ôîðìóëå (4.13): Ðàññìàòðèâàåì òîëüêî óðàâíåíèå; íà÷àëüíûåè êðàåâûå - òàì âñ¼ ïîíÿòíî.Çàïèøåì ðàçíîñòíóþ çàäà÷ó äëÿ z ( !!çäåñü îøèáêà 404 - ñìîòðèòå ó ÑÏøíèêîâ!!), îòòóäà:nnzin+1 = (1 − 2γ)zin + γ(zi−1+ zi+1) + τ ψin ,(êîýôôèöèåíò - íåîòðèöàòåëüíûé ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ). Ïîýòîìó ìîæåìâçÿòü ìîäóëü è äëÿ êîýôôèöèåíòà åãî íå ñòàâèòü.80nn|zin+1 | ≤ (1 − 2γ)|zin | + γ(|zi−1| + |zi+1|) + τ |ψin |,ßñíî, ÷òî íåðàâåíñòâî òîëüêî óñèëèòñÿ, åñëè âìåñòî ìîäóëåé ïîñòàâèì íîðìó:|zin+1 | ≤ (1 − 2γ)kz n kC + γ(kz n kc + kz n kC ) + τ kψ n kC ,|zin+1 | ≤ kz n kC + τ kψ n kC ,ïîñêîëüêó ýòî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõi,òî ìû ìîæåì ïîñòàâèòü íîðìó:kz n+1 kC ≤ kz n kC + τ kψ n kC .(4.15)Ýòî è åñòü êëþ÷åâàÿ îöåíêà, êîòîðàÿ ïîçâîëèò äîêàçàòü ñõîäèìîñòü, à ïîòîì èïîçâîëèò ñêàçàòü îá óñòîé÷èâîñòè.Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (4.15) êàê ðåêóððåíòíóþ, îïóñòèìñÿ äî íóëåâîãî ñëîÿ, ïîëó÷èì:kzn+10kC ≤ kz kC + τnXkψ k kC ,(4.16)k=0ïîñêîëüêókz 0 kC = 0,òîkzn+1kC ≤ τnXkψ k kC .(4.17)k=0Ñ ëåãêîñòüþ ïîëó÷àåì ðåçóëüòàò:Ò.ê.ψin = O(τ + h2 ),h.Ó÷èòûâàÿ, ÷òînPòîkψ k kC ≤ M (τ + h2 ), M∃M > 0 :τ = tn+1 ≤ T,íå çàâèñèò îòτèèìååìk=0kz n+1 kC ≤ M T (τ + h2 ) = M1 (τ + h2 ).Ïðè ýòîì,M1íå çàâèñèò îòτèh.Ìû ïîëó÷èëè àïðèîðíóþ îöåíêókz n+1 kC ≤ M1 (τ + h2 ).(4.18)Èç ïîëó÷åííîé îöåíêè âèäíî, ÷òîτ, h → 0 ⇒ kz n+1 k → 0,ò.å.kyin+1 − un+1k → 0.iÒàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ê ðåøåíèþ èñõîäíîé çàäà÷è ñ ïåðâûì ïîðÿäêîì ïîτè âòîðûì ïîñõåìà èìååò ïåðâûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïî81τhè âòîðîé ïî(ãîâîðÿò, ÷òî ðàçíîñòíàÿh).Äîêàçàëè ñõîäèìîñòü, ïîãîâîðèì îá óñòîé÷èâîñòè.

Åñëè ìû ðàññìîòðèì íàøóðàçíîñòíóþ ñõåìó ïðè íóëåâûõ êðàåâûõ óñëîâèÿõy0n+1 = ynn+1 = 0,òî äëÿ ñåòî÷íîé ôóíêöèèykyáóäåò âûïîëíåíî îöåíêà âèäà 4.15.n+1kC ≤ ky0 kC +nXτ kf k kC ,(4.19)k=0Íàëè÷èå òàêîé îöåíêè (êîòîðóþ íàçûâàþò àïðèîðíîé) è íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâîñòüþ. Ãîâîðÿò, ÷òî ðåøåíèå óñòîé÷èâî ïî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ è ïî ïðàâîé ÷àñòèóðàâíåíèÿ.Ïðèìå÷àíèå:Îöåíêà â äîêàçàòåëüñòâå áûëà ïîëó÷åíà â ïðåäïîëîæåíèèτh2< 0.5,Òàê ÷òî,ðàçíîñòíàÿ ñõåìà - óñëîâíî ñõîäÿùàÿñÿ.Äîêàæåì, ÷òî óñëîâèåτh2< 0.5ÿâëÿåòñÿ è íåîáõîäèìûì.Âûïèøåì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó:nnyi−1− 2yin + yi+1yin+1 − yin,=τh2(xi , tn ) ∈ ωτ h .Áóäåì èñêàòü åå íåêîòîðûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ â âèäååäèíèöà,(4.20)yjn = q n eijhφ , ãäå i - ìíèìàÿi2 = −1, φ ∈ R, q ∈ C.Ïîäñòàâèì ýòî â óðàâíåíèå. Ïîëó÷èì:q = 1 + γ(eihφ − 2 + e−ihφ ) = 1 + γ(2 cos hφ − 2) = 1 − 4γ sin2Åñëè âçÿòüφòàêîå, ÷òî|q| > 1,òî ïîëó÷èìγ >hφ.212 ,, - ÷òî áóäåò îçíà÷àòüíåóñòîé÷èâîñòü.Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå (4.16) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì äëÿ ñõîäèìîñòè è óñòîé÷èâîñòè ÿâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû.Ïîäâîäÿ èòîã, îòìåòèì ñëåäóþùèå ìîìåíòû ðàññìîòðåííîé ñõåìû:1.