Численные методы. Ионкин (2012) (v1.1) (косяки есть), страница 5

ìû ðàññìàòðèâàåì çàäà÷ó â âåùåñòâåííîì ïðîñòðàíñòâå⇒ R2 = R2∗ ⇒(Ax, x) = (2R2 x, x) = 2(R2 x, x)(Ax, x)24(R2 x, x)2∆(Ax, x)δkxk ≤ (Ax, x) ==≤kxk2 = ∆kxk2(Ax, x)(Ax, x)(Ax, x)2⇒δ≤∆⇒ρ≤1×åìξáëèæå ê 1, òåì ìåíüøåρ⇒wf (ξ) = γγ21 (w)(w) .B ≥ 2wA, A ≤äîëæíî ìèíèìèçèðîâàòüξ.Ðàññìîòðèì ôóíöèþÌû óæå ïîëó÷àëè12w R⇒ γ2 (w) =12w∆1B = E + wA + w2 R2∗ R2 ≤ A + wA + w2 A =δ41w2∆1w2 ∆ −1=( +w+) ⇒ γ1 (w) = ( + w +)δ4δ4Äëÿ ìèíèìèçàöèρíåîáõîäèìî íàéòè ìèíèìóìf (w) =1δf (ξ) = f (w).+ w + ∆4 w211∆= (1 ++ w)2w2δw41∆1421 ∆2√),=,w=⇒w=w=.f (1) = ( −02 4δw24δw2δ∆δ∆12f (2) => 0 ⇒ f (w0 ) − min.2δw3Òåïåðü ïåðåñ÷èòàåì âñå êîíñòàíòû.1γ2 (w) ==2wγ1 (w) =1δ1=+ w + ∆4 w2√11δ+√2∆δ+32∆ 44 ∆δ∆δ4=2δ√1δ δ∆√ ,= √+ √2δ∆2( ∆ + δ)τ=2,γ1 + γ2√2 δ√√ ⇒=√δ∆δ+ ∆q√√1 − ∆δ∆− δq√ == √3 δ+ ∆ 1+3 δ∆1 − ξ(w)γ1ρ=, ξ(w) ==1 + ξ(w)γ21−ρ=1+Ïðèη=δ∆⇒ρ=√δ√2 √δ+ ∆√√ 2 δ√∆+ δ√ √√4 2(√δδ+∆δδ)√1− η√1+3 η ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû.÷òä.Ïîêàæåì êà÷åñòâî ÏÈÒÌ.

Ñðàâíèâàåì ÷èñëî îïåðàöèéO(m−2 )-ìàëåíüêàÿη0 (ξ) =ln 1ξ,ln ρ1η =âåëè÷èíà â áîëüøèíñòâå çàäà÷.Îöåíèì:√√√(1 + 3 η)(1 + η)1 √11 1+3 η√=≈ 1+4 η ⇒ ln ≈ η ⇒ n0 (ξ) ≈ √ = O(m)√ =ρ1− η1−ηρηÏîñìîòðèì ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè è ñðàâíèì êîëè÷åñòâî äåéñòâèé:xn+1 − xn1−ξγ1+ Axn = f + (other) ⇒ kxn+1 − xk ≤ ρkxn − xk, ρ =, ξ=τ1+ξγ2γ1 = minλAkγ2 = maxλAk, ξ = ηÏîëàãàÿη = O(m−2 )íàéä¼ì ÷èñëî èòåðàöèé:1 1+η(1 + η)2⇒ ==≈ 1 + 2ηρ 1−η1 − η211ln ≈ η ⇒ n0 (ξ) ≈ ≈ O(m2 )ρη íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõm = 106 . .

. 10733Ÿ 9. Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿÐåøåíèå ïðîáëåìû íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþõàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.Ïóñòü äàíà ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöàA(m, m).Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõçíà÷åíèéAx = λx, x 6= 0 (!),ãäå(1.50)λ - ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, õàðàêòåðèñòè÷åñêèé êîðåíü. x - ñîáñòâåííûé âåêòîð.Åñëè çàäà÷à ðåøàåòñÿ íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿâñåãäà ñóùåñòâóþò è èõ m øòóê. Íîðìàëüíûé îïåðàòîð èìååò áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ (ñàìûé øèðîêèé êëàññ).Íåîáõîäèìî óçíàòü êîëè÷åñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.

Âñå ìåòîäû èòåðàöèîííûå.kxk = 1- ñîáñòâåííûé âåêòîð âñåãäà íîðìèðîâàííûé.Ïóñòü ó íàñ ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè m ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (â òîì ÷èñëå è êîìïëåêñíûõ). Çàíóìèðóåì èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:| λ1 |≤| λ2 |≤ . . . ≤| λm |Åñëè ìàòðèöà âåùåñòâåííàÿ, à ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíûå, òîãäà ñîáñòâåííûå âåêòîðà - êîìïëåêñíûå.Ïðîáëåìû:1)×àñòè÷íàÿ ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé2)Ïîëíàÿ ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (çàäà÷à íàõîæäåíèÿ âñåãî ñïåêòðà)Ÿ 10. Ñòåïåííîé ìåòîäÀíàëèòè÷åñêè ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ïðàêòè÷åñêè íå ðàçðåøèìà.Îäèí èç ñàìûõ ïðîñòûõ ìåòîäîâ äëÿ ñïåêòðà - ñòåïåííîé ìåòîä.Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ: äàííîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìàòðèâàåì ïðîèçâîëüíóþ êâàäðàòíóþ ìàòðèöó À.Íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íå íàêëàäûâàåì, ñîîòâåòñòâåííî å¼ ñïåêòð ïðîèçâîëüíûé.(Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî áîëüøèíñòâî çàäà÷ ðàáîòàþò ñ âåùåñòâåííîé ìàòðèöåé,à äëÿ èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ òðåáóåòñÿ èñêàòü ãðàíèöû ñïåêòðà (min è maxñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé))34Ðàññìîòðèì ñòåïåííîé ìåòîä.Ïóñòü äàëåå:x0xn - n-àÿèòåðàöèÿ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà;- íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèåxn + 1 = Axn ðåêóðåíòíàÿ ôîðìóëà.

:n = 0, 1, ..., x0(1.51) çàäàíî.Ïðèìå÷àíèå:Çäåñü ìû ïîéì¼ì, ÷òî äëÿ òåîðåòè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå îãðàíè÷åíèÿ. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü òå ïîäõîäû, êîòîðûå ìîæåì ïðèìåíÿòü áåç ñïåöèàëüíûõ (ñëîæíûõ) ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîäõîäîâ. (Ò.å. âîçìîæíî âíåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óñëîâèÿ ìîæíî è ñìÿã÷èòü, íî ìû ýòèì íå çàíèìàåìñÿ)Ìîæåì âûðàçèòün-óþèòåðàöèþ ÷åðåçx0 :xn = An x0(1.52)Ñîáñòâåííûå âåêòîðà óïîðÿäî÷èì â ïîðÿäêå íåâîçðàñòàíèÿ ìîäóëåé ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé:|λ1 | ≤ |λ2 | ≤ . .

. ≤ |λm |.Íà÷èíàåì äåëàòü íóæíûå äîïóùåíèÿ:A) Ïóñòü ìàòðèöà îáëàäàåò ïîëíûì íàáîðîì èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ (ò.å. ñóùåñòâóåò áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ; ïîêà íåâàæíî - îðòîíîðìèðîâàííûé îí èëè ïðîèçâîëüíûé):{ei }mi=1 : Aei = λi ei , i = 1, . . . , m.xn = c1 λn1 e1 + c2 λn2 e2 + . . .

+ cm λnm em ,(1.53)Ïðèìå÷àíèå:Ñàìûé øèðîêèé êëàññ, äëÿ êîòîðîãî áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñóùåñòâóåò, - ýòî íîðìàëüíûé îïåðàòîð.Ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû âõîäÿò â ýòîò êëàññ, à èìåííî îíè ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ íà ïðàêòèêå. Ïîýòîìó îãðàíè÷åíèå íå òàêîå óæ è ñèëüíîå.B) Ïóñòücm 6= 0,ãäåmîòâå÷àåò ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ (ñì.ôîðìóëó 1.53).C) λm−1 λm < 1.Óòâåðæäåíèå:ÏóñòüäëÿìàòðèöûâûïîëíåíûóñëîâèÿA,B,C.Òîãäàñòåïåííîéìåòîäñõîäèòñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ê ñîáñòâåííîìó âåêòîðó, îòâå÷àþùåìó ìàêñèìàëüíîìó35ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ.Ïðèìå÷àíèå:Åù¼ ðàç íàïîìíèì: ñîáñòâåííûé âåêòîð îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû.Ïîýòîìó âñåãäà ïðè ñ÷åòå ïðîâîäèòñÿ íîðìèðîâêà âåêòîðà.

È ìû áóäåì âåñòè ðå÷üíå î äëèíå ñîáñòâåííîãî âåêòîðà, à î åãî íàïðàâëåíèè.xn= c1λnmλ1λmne1 + c2λ2λmne2 + . . . + cm em . ñîîòâåòñòâèè ñ îãðàíè÷åíèåì Â:c1xn=λnm cmcmÒàêèì îáðàçîì, ïðèem ,âåêòîðóλ1λmnc2e1 +cmn → ∞ xnλ2λmne2 + . . . + em .ñòðåìèòñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ê ñîáñòâåííîìóîòâå÷àþùåìó ìàêñèìàëüíîìó ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ.λm .Ýòîò ìåòîä ëåãêî ïîçâîëèò íàéòè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèåÒî÷íåå, äîêàæåì ÷òî:λ(n)m − λm = Oxin - i-àÿ êîîðäèíàòà n-îéiiÐàñïèñûâàåì xn è xn+1 :Ïóñòü(i)λm−1λmn èòåðàöèè.(i)(i)n+1n+1 (i)xn+1 = c1 λn+11 e1 + c2 λ2 e2 + · · · + cm λm em(i)(i)xn(i) = c1 λn1 e1 + c2 λn2 e2 + · · · + cm λnm e(i)mÏîäåëèâ(i)xn+1(i)xn(i)xn, ïîëó÷àåì:(i)cm λn+1m em(i)xn+1íà=(i)cm−1 em−1(i)cm em1+(i)cm λnm em 1 +(i)cm−1 em−1cm e(i)m= λm + Oλm−1λmn+1λm−1λmλm−1λmn(i)+ ··· +c1 e1cm e(i)m(i)+ ··· +n c1 e 1cm e(i)mλ1λmλ1λmn+1 n == λ(n)mÏðèìå÷àíèå:Íèêòî íå ãàðàíòèðóåò, ÷òî i-àÿ êîîðäèíàòàìîæåò áûòün − 1,íî íèêàê íån.n-îé èòåðàöèè íå íîëü.

Ýòèõ íóëåéÑîîòâåòñòâåííî, ïðè íåîáõîäèìîñòè ìû ìîæåìïîìåíÿòü êîîðäèíàòû.36Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé A,B,C,ñòåïåííîé ìåòîä ïîçâîëÿåò íàéòè ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå è ñîáñòâåííûé âåêòîð, åìó îòâå÷àþùèé.Åñëè ìû âîçüìåì ìàòðèöó ñèììåòðè÷íóþ (ó êîòîðîé åñòü ÎÍÁ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ), òî ìû íàéäåì ñîáñòâåííûé âåêòîð áûñòðåå, è ñõîäèìîñòü áóäåò íåëèíåéíîé, à â ñòåïåíè2n.Ïîêàæåì, ÷òî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå òàêæå ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî ïî ôîðìóëå:λ(n)m =(xn+1 , xn ) (Axn , xn )=(xn , xn )(xn , xn )(1.54)Ðàññìîòðèì 2 ñëó÷àÿ (è êîãäà åñòü ÎÍÁ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, è êîãäà íåò)1. ÏóñòüA = A∗ . Òîãäà äëÿ íåãî ñóùåñòâó∃ {ei }i=mi=1 - îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ èç- ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð:åò ÎÍÁ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ:ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû A:Aek = λk ek ,k = 1, .

. . , m,ek 6= 0(el , ej ) = δlj- óñëîâèå îðòîíîðìèðîâàííîñòè.n+1n+1xn+1 = c1 λn+11 e1 + c2 λ2 e2 + · · · + cm λm emxn = c1 λn1 e1 + c2 λn2 e2 + · · · + cm λnm em+ · · · + c2m λ2n+1+ c22 λ2n+1(xn+1 , xn ) c21 λ2n+1m21===22n22n22n(xn , xn )c1 λ1 + c2 λ2 + · · · + cm λm2 2n+1 2 2n+1 cλλ1m−1c2m λ2n+11 + m−1+ · · · + ccm1mcmλmλm==2 2n 2 2n cλcλm−1m−11c2m λ2n1 + cm+ · · · + cm1mλmλm(n)λm= λm + Oλm−1λm2n !(ïåðâûé çíàê ðàâåíñòâà îáåñïå÷èâàåò óñëîâèå îðòîíîðìèðîâàííîñòè).Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû ìû ìîæåì íàéòè ñîáñòâåííûéâåêòîð áûñòðåå, è ñõîäèìîñòü áóäåò íå ëèíåéíîé, à ñòåïåíè372n.Çàäà÷à 1:(n)Äîêàçàòü: λ1− λ1 = o nλ1λ2.Çàäà÷à 2:Ïóñòü∗−1A = A , ∃A(n); λ1=(xn ,xn )(xn+1 ,xn ) . Äîêàçàòü:(n)λ1− λ1 = O 2nλ1λ2Ðåøåíèÿ áóäóò ïîçæåÒàêèì îáðàçîì, â ïðåäïîëîæåíèÿõ A,B,C ñ ïîìîùüþ ñòåïåííîãî ìåòîäà ìûìîæåì íàéòè ñîáñòâåííûé âåêòîð, îòâå÷àþùèé ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìóçíà÷åíèþ, è íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè íàéòè ñàìî ýòî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå.Çàìå÷àíèå î íà÷àëüíîì ïðèáëèæåíèè:Ìàòðèöà âåùåñòâåííàÿ, íî å¼ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìîãóò áûòü è êîìïëåêñíûå(åñëè ìàòðèöà ïðîèçâîëüíàÿ, à íå ñàìîñîïðÿæåííàÿ).

Òîãäà îíè ñîïðÿæåííûå,è âåêòîð, îòâå÷àþùèé ýòîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ êîìïëåêñíûé, ÷òî âöåëîì íåïðàâèëüíî. Òîãäà ìû íå ìîæåì âçÿòü íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå â âèäåâåùåñòâåííîãî âåêòîðà.Ìåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèé.Îáîáùàåì ìåòîä äëÿ íàõîæäåíèÿ è äðóãèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, â ÷àñòíîñòè- âíóòðè ñïåêòðà.Ñïåðâà çàéìåìñÿ ìèíèìàëüíûì ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì.Íóæíî íàêëàäûâàòü îãðàíè÷åíèÿ íà ìàòðèöóA.Ìàòðèöà âûðîæäåííàÿ, åñ-ëè åñòü â ñïåêòðå íóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå. Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåì òîëüêîìàòðèöûA,äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ (ò.å.

íåâûðîæäåííûå).Axn+1 = xn ,n = 0, 1, . . . ,Ìåòîä íåÿâíûé. Íî óìíîæèâ îáå ÷àñòè ñëåâà íàxn+1 = A−1 xn ,n = 0, 1, . . . ,x0 çàäàí.A−1 ,x0ïîëó÷èì: çàäàí.Òåïåðü ìåòîä ïðåâðàòèëñÿ â ñòåïåííîé, íî äëÿ îáðàòíîé ìàòðèöû.Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èòñÿ, ÷òî ñòåïåííûì ìåòîäîì ìû íàéä¼ì ñîáñòâåííûéâåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé ìèíèìàëüíîìó çíà÷åíèþ ìàòðèöû À.Ïðèìå÷àíèå:Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû - îáðàòíûå ÷èñëà äëÿ :λAk−1À ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû=1∀k, λk 6= 0λAkA−1 ñîâïàäàþò c ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìèÝòî âàæíî, òàê êàê äàëåå ìû ðàñïèñûâàåì âåêòîð ÷åðåç áàçèñ .Ââîäèì îãðàíè÷åíèÿ:38A.1.

(A) Ìàòðèöà A èìååò áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ2. (B)| λλ21 | < 13. (Ñ)x0 = c1 e1 + c2 e2 + · · · + cm em ,ãäå{ei }i=mi=1c1 6= 0Òîãäà:−n−nxn = c1 λ−n1 e1 + c2 λ2 e2 + · · · + cm λm emn nλ1λ1e2 + · · · + cmemλn1 xn = c1 e1 + c2λ2λm n nc2 λ1xncm λ1= e1 +e2 + · · · +emc1 λ2c1 λmλ−n1 c1Òàêèì îáðàçîì,xn → e1n → ∞.(ïî íàïðàâëåíèþ) ïðèÌåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèé ñî ñäâèãîì.Îðãàíèçóåì ìåòîä ñëåäóþùèì îáðàçîì òàê:(A − αE)xn+1 = xnn = 0, 1, . . . ,αÏðè ýòîì−1(A − αE)x0 çàäàí.- òàêîå ÷èñëî, ÷òîáû äëÿ ìàòðèöû= B.(A − αE)ñóùåñòâîâàëà îáðàòíàÿ:Ïîëó÷èì ñòåïåííîé ìåòîä äëÿ ìàòðèöû B:xn+1 = Bxn ,n = 0, 1, . . .

,x0 çàäàí.Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû B:λBk =Òîãäàxn → el1λAk −α(ïî íàïðàâëåíèþ), ãäå l òàêîâî, ÷òî:11=k=1,...,m λA − αλAkl −αλBl = maxÅñëè èòåðàöèîííûé ìåòîä çàïèñàòü êàê(A − αE)xn+1 = xn ;x0n = 0, 1, 2...α ∈ R òàêîå, ÷òî ∃(A − αE)−1xn+1 = (A − αE)−1 xn- çàäàíî,ÒîãäàÈìååìB = (A − αE)−1- äëÿ ýòîé ìàòðèöû íàø ìåòîä ñòàë ñòåïåííûì.39Èòåðàöèÿ áóäåò ñõîäèòñÿ ê ñîáñòâåííîìó âåêòîðóñòèãàåòñÿx n → λl ,äëÿ êîòîðîãî äî-max:11=1≤k≤m |λk − α||λl − α|maxÇäåñü ìîæíî íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:(l)λl = lim (α +n→∞xn(l)xn+1)Ÿ 11. Ïðèâåäåíèå ìàòðèöû ê âåðõíåé ïî÷òè òðåóãîëüíîé ôîðìå (ÂÏÒÔ)A- ïðîèçâîëüíàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêàÓäîáíî áûëî áû ïðèâåñòè ìàòðèöóAêCm.- äèàãîíàëüíîé èëè òðåóãîëüíîé. Íîíóæíî, ÷òîáû ïðîöåññ ïðèâåäåíèÿ ìàòðèöû ñîõðàíÿë å¼ ñïåêòð: íàïðèìåð ÷åðåçïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ:C = Q−1 AQ(1.55)Ïîä âåðõíåé ïî÷òè òðåóãîëüíîé ôîðìîé ìàòðèöû ïîäðàçóìåâàþò âèä:xx00....0xxx0....0........................xxxx....0xxxx....xxxx,x....xò.å.

åñòü ïîáî÷íàÿ äèàãîíàëü â äîïîëíåíèå ê òðåóãîëüíîé ìàòðèöå.Ìû ðàññìîòðèì ìåòîä ýëåìåíòàðíîãî îòðàæåíèÿ äëÿ ïðèâåäåíèÿ ìàòðèöû êÂÏÒÔ.Îïðåäåëåíèå:ÌàòðèöàS- îðòîãîíàëüíà, åñëèS −1 = S Tñòâå).Îïðåäåëåíèå:Ïóñòüv- âåêòîð-ñòîëáåöv1 v2 v=....vmò.å.v T = (v1 , v2 , ...., vm ).40(S −1 = S ∗â óíèòàðíîì ïðîñòðàí-Ýëåìåíòàðíûì îòðàæåíèåì, ñîîòâåòñòâóþùèì âåêòîðó-ñòîëáöóvíàçûâàåòñÿïðåîáðàçîâàíèå, çàäàâàåìîå ìàòðèöåé:2vv TH=E−kvk2(1.56)Ó ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ 3 âàæíûõ ñâîéñòâà:1. îíî ñèììåòðè÷íî2. îíî îðòîãîíàëüíî3.