Численные методы. Ионкин (2012) (v1.1) (косяки есть), страница 14

âòîðîé âàðèàíò óñëîâèÿ.Òàêèì îáðàçîì, ñïóñòÿ íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ðåøåíèå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ïåðâîé êîìïîíåíòîé, íî ïðè ýòîì øàã ñ÷åòà ëèìèòèðóåòñÿ âòîðîéêîìïîíåíòîé.Ìû ìîãëè áû èäòè ñ áîëüøèì øàãîì, íî äëÿ óñòîé÷èâîñòè íàì ïðèõîäèòñÿ èäòè ñ î÷åíü ìàëûì øàãîì.Ïîýòîìó ÿâíûå ñõåìû îêàçûâàþòñÿ íåïðèãîäíûìè â äàííîì ñëó÷àå.

Âûõîä- â ïðèìåíåíèè íåÿâíûõ ñõåì.•Íåÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà. yn+1 −yn11+ a1 y1n+1 = 0, τ y2n+1 −y2nτ(5.34)+ a2 y2n+1 = 0,Ñõåìû ýòè àáñîëþòíî óñòîé÷èâû, øàã ðåãëàìåíòèðîâàí òîëüêî óñëîâèÿìè òî÷íîñòè, íî íèêàê íå óñòîé÷èâîñòè.Íåñìîòðÿ íà èñêóññòâåííîñòü äàííîãî ïðèìåðà, â æåñòêèõ ñèñòåìàõ òàêàÿ æåêàðòèíà.  ñèñòåìå èç n óðàâíåíèé åñòü áûñòðîóáûâàþùèå êîìïîíåíòû è ìåäëåííî óáûâàþùèå.

Ýòî áóäåò ñâÿçàíî ñî ñïåêòðîì ìàòðèöû ñèñòåìû, äåéñòâèòåëüíûå÷àñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé êîòîðîé áóäóò ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ.Íà÷íåì ñ ëèíåéíûõ ñèñòåì:du+ Au(t) = 0,dtt>0(5.35)A(m×m) ñ ïîñòîÿííûìè ÷èñëàìè (íå çàâèñèò îò âðåìåíè), u(0) = u0 . (ñèñòåìà5)Îïðåäåëåíèå:Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (5) íàçûâàåòñÿ æåñòêîé, åñëè:1)Re λAk > 0, k = 1, m2)s=max1≤k≤m |Re λAk|>> 1min1≤k≤m |Re λA|k128(s ÷èñëî æåñòêîñòè).Ïðèìå÷àíèå:Åñëè ðàçëè÷èå â óñëîâèè 2 - íà 2-3 ïîðÿäêà, òî óæå ñèñòåìó íàçûâàþò æåñòêîé.Ïåðâîå óñëîâèå îçíà÷àåò óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó.

À âòîðîå ÷èëî æåñòêîñòè äîëæíî áûòü áîëüøèì. Ýòî êàê ðàç ãîâîðèò î ðàçáðîñå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé(èõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷àñòåé).Ðàññìîòðèì òåïåðü íåëèíåéíóþ çàäà÷ó Êîøè.du= f (t, u(t)), t > 0dt(5.36)u(0) = u0u(t) = (u1 (t), u2 (t), . . . , um (t))T.f (t, u(t)) = (f1 (t, u(t)), f2 (t, u(t)), . . . , fm (t, u(t)))T(ñèñòåìà 6)Áîëüøèíñòâî ìåòîäîâ, êîòîðûå ìû èñïîëüçîâàëè ïðè ðåøåíèè îäíîãî óðàâíåíèÿ, ñþäà ëåãêî ïåðåíîñÿòñÿ. Íî âîçíèêàþò îñîáåííîñòè, ñâÿçàííûå ñ òåì,÷òî êîìïîíåíòûâåêòîðàuìîãóò âåñòè ñåáÿ ïî-ðàçíîìó (áûñòðî è ìåäëåííîóáûâàòü), ÷òî óñëîæíÿåò ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå.Ââåäåì ïîíÿòèå æåñòêîñòè.

Ïðè îïðåäåëåíèè èñõîäÿò èç ëèíåàðèçîâàííîéñèñòåìû.Ïðîâåäåì ïðîöåññ ëèíåàðèçàöèè â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîãî èçâåñòíîãî ðåøåíèÿ.Ïóñòüv(t) íåêîòîðîå èçâåñòíîå ðåøåíèå çàäà÷è. Ðàññìîòðèì âåêòîðz(t) = u(t) − v(t)Ïðàâóþ ÷àñòü (â ïðåäïîëîæåíèè íóæíîé ãëàäêîñòè) ðàñêëàäûâàåì ïî ôîðìóëå Òåéëîðà:dzk= fk (t, v(t) + z(t)) − fk (t, v(t)), k = 1, mdt129dzk∂fk∂fk= fk (t, v(t)) +(t, v(t))z1 (t) + . .

. +(t, v(t))zm (t) + o(|z|) − fk (t, v(t))dt∂u1∂umÒàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì:∂z= J(t, v(t))z∂t(5.37)(ñèñòåìà 7)J(t, v(t))z = aij =∂fi (t, v(t)), i, j = 1, n.∂ujÑèñòåìà (7) íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ.Ââåäåì ïîíÿòèå æåñòêîñòè:max ReλJks=min ReλJkÎïðåäåëåíèå:Ñèñòåìà (6) íàçûâàåòñÿ æåñòêîé íà ðåøåíèèv(t) è ìîìåíòå âðåìåíè 0 ≤ t ≤ T ,åñëè âûïîëíåíû 2 óñëîâèÿ:1.ReλJk < 02.s(t) >> 1Ÿ 6. Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì èíòåãðèðîâàíèÿ æåñòêèõ ñèñòåì ÄÓÊîíå÷íî, èññëåäóÿ óñòîé÷èâîñòü æåñòêèõ ñèñòåì, ìû ìîæåì èñõîäèòü èçíàøåãî ñòàðîãî îïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâîñòè. Íî ïðè èíòåãðèðîâàíèè æåñòêèõñèñòåì ââîäÿò áîëåå óçêèå îïðåäåëåíèÿ.Ïîñòàâèì èñõîäíóþ çàäà÷ó:du= f (t, u(t)),dtt > 0, u(0) = u0130(5.38)Ëèíåàðèçóÿ, ïîëó÷àåìdu= Λu(t),dtt>0(5.39)u(0) = u0Λ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèå ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿJ:Λ = ΛJÏðîâåäåì àïïðîêñèìàöèþ áóäåò âîçíèêàòü êîìïëåêñíûé ïàðàìåòð:τ λ = µ, µ = µ0 + iµ1Îïðåäåëåíèå:Îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîãî ìåòîäà äëÿ çàäà÷è 5.38 íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê êîìïëåêñíîé ïëîñíîñòèµ = τ λ, äëÿ êîòîðûõ äàííûé ìåòîä, ïðèìå-íåííûé ê óðàâíåíèþ 5.39, óñòîé÷èâ.ßâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà:yn+1 − yn= f (tn , yn )τyn+1 − yn= λynτ(ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷å 1 è 2 ñîîòâåòñòâåííî).yn+1 = yn + τ λy0 = (1 + µ)yn|1 + µ| ≤ 1|1 + µ0 + iµ1 | ≤ 1(1 + µ0 )2 + µ21 ≤ 1Îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè âíóòðåííîñòü êðóãà ñ öåíòðîìÍåÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà:yn+1 − yn= f (tn+1 , yn+1 )τyn+1 − yn− λyn+1 = 0τ(ïðèìåíèòåëüíî ê äâóì çàäà÷àì ñîîòâåòñòâåííî)yn+1 = yn + τ λyn+1131(−1, 0).Ðèñ.

5.2:(1 − µ)yn+1 = ynyn+1 =1yn1−µÄëÿ îáåñïå÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè òðåáóåì:|1|≤11 − τλ|1 − µ| ≥ 1(1 − µ0 )2 + µ21 ≥ 1Ðèñ. 5.3:132Îïðåäåëåíèå:Ðàçíîñòíûé ìåòîä A-óñòîé÷èâûé, åñëè îáëàñòü åãî óñòîé÷èâîñòè ñîäåðæèò âñþëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè (ò.å.Re(µ) < 0).(ðèñ. 5.4)Ðèñ. 5.4:Òàêèì îáðàçîì, ÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà íå ÿâëÿåòñÿ -óñòîé÷èâîé, à íåÿâíàÿ A-óñòîé÷èâà.Çàìå÷àíèå:Åñëè ðàçíîñòíûé ìåòîäò.å.

Óñòîé÷èâ ïðè ëþáûõòî îí àáñîëþòíî óñòîé÷èâ,τ > 0.Îêàçûâàåòñÿ, ýòèì óñëîâèåìÄîêàçàíî, ÷òî ÿâíûõA-óñòîé÷èâ,A-óñòîé÷èâîñòè îáëàäàåò î÷åíü óçêèé íàáîð ñõåì.A-óñòîé÷èâûõìåòîäîâ â ïðèðîäå íå ñóùåñòâóåò. Òàêæåäîêàçàíî, ÷òî ñðåäè íåÿâíûõ ñóùåñòâóþò ðàçíîñòíûå ìåòîäû íå âûøå âòîðîãîïîðÿäêà. êà÷åñòâå ïðèìåðà, ðàññìîòðèì ñèììåòðè÷íóþ ñõåìó:yn+1 − yn= 0.5(f (tn , yn ) + f (tn+1 , yn+1 ))τÏðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷å 5.39, ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ïðèìåò âèä:yn+1 − yn= 0.5λ(yn + yn+1 )τ(yn+1 − yn ) − 0.5µ(yn + yn+1 ) = 0(1 − 0.5µ)yn+1 = (1 + 0.5µ)ynyn+1 = qyn , q =(1 + 0.5µ)(1 − 0.5µ)|q| ≤ 1133|1 + 0.5µ| ≤ |1 − 0.5µ|(1 + 0.5µ0 )2 + µ21 ≤ (1 − 0.5µ0 ) + µ211 + µ0 + 0.25µ20 ≤ 1 − µ0 + 0.25µ20µ0 ≤ 0.Ðèñ. 5.5:Òàêèì îáðàçîì, ñõåìà ÿâëÿåòñÿA-óñòîé÷èâîé.Êîëü êðóã îêàçàëñÿ óçêèé, òî áûëî ñäåëàíî ñìÿã÷åíèå â îïðåäåëåíèè, è áûëîââåäåíî ïîíÿòèåA(α)-óñòîé÷èâîãîÎïðåäåëåíèå:ìåòîäà:åãî óñòîé÷èâîñòè ñîäåðæèò óãîë ëåâîé ÷àñòíîñòè,A(α)-óñòîé÷èâûì, åñëè îáëàñòüïîëóïëîñêîñòè: | arg(−µ)| < αÐàçíîñòíûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ( π2 )-óñòîé÷èâûéÎêàçàëîñü, ÷òî ÿâíûõìåòîä åñòüA(α)-óñòîé÷èâûõA-óñòîé÷èâûé.ìåòîäîâ íå ñóùåñòâóåò.

À ñðåäè íåÿâ-íûõ áûëè ïîñòðîåíû ñõåìû òðåòüåãî è äàæå ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè (÷èñòîíåÿâíûå, ïðàâàÿ ÷àñòü áåðåòñÿ òîëüêî íàTn ,íà ïîñëåäíåì âðåìåííîì ìîìåíòå). çàêëþ÷åíèå, ïðèâåäåì ïðèìåð ñõåìû 4 ïîðÿäêà:25yn+4 − 48yn+3 + 36yn+2 − 16yn+1 + 3yn= f (tn+4 , yn+4 )12τÒàêàÿ ñõåìà èìååò ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê è ïðè íåêîòîðîìóñòîé÷èâîé.134α > 0ÿâëÿåòñÿA(α)-Ðèñ. 5.6:Ðèñ. 5.7:135.